1、1归纳函数极限的计算方法摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算The sum of the Method of Computing Function LimitAbstract：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.Key Words：Function Limit；Computing
2、 method； LHospital rules; Four fundamental rules前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧.1. 预备知识1.1 函数极限的 定义1设函数 在点 的某个空心邻域 内有定义， 为定数，若对任给的f0x0(;)Ux A，存在正数 ，使得当 时有 ，则称函数当趋于0()|()|fx时以 为极限，记作 或 .xA0lim(xfA()fx02.求函数极限
3、的方法总结极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质有界函数与无穷小量的积2仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.2.1 依据函数极限的迫敛性求极限函数极限的迫敛性 设 ，且在某 内有00lim()li()xxfgA0(;)Ux，则 .()()fxhgx0li()xhA例 1 求极限 1mx解：当 时，有11x
4、而 ,由函数迫敛性可得1)(li0xx lim0x同理可得 时, ，即1li0x1x注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式： 1cos,1sin),0(),0( xxx2.2 依据极限的四则运算求极限 2依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：分母极限为 0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：例 2 求极限 （ 和 都是正整数）1limnx解：原式= )1)(li211 nmxx= nx li21等未定型：因“ ”不是一个数，故该类型的题目不能
5、直接使用,0运算法则，但可以利用“无穷大量的导数” 、 “分式有理化”或“通分”等方法，将3其转化为极限存在后，再运用法则计算. 例 3 求极限 )13(lim21xx解：原式= )(li21x= 13)(li21 xx2.3 依据两个重要极限求极限两个重要的极限: ， .0sinlm1xli()xxe函数经过一定变形，若能出现以下情况： )()(1),()(),()sin 1xhgxfxf时，也可采用重要极限来求.例 4 求极限 2 320sinlmxx解：原式= 103sil20 xx例 5 求极限 1)(limx解：原式= 23123)(li exxx 2.4 依据等价无穷小替换求极限求
6、函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当 时:0x.1)(,)1ln(,arctn,arcsi,tn,si xxexxx 例 6 求极限 230itlmx解:原式 snoco1ix230ilix42301limcosxx注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代.2.5 依据洛必达法则求极限洛必达法则 :1型不定式极限 若函数 和 满足:0fg(i) ;00lim()li()xxf(ii)在点 的某空心邻域 内两者都可导, 且0
7、)Ux()0gx(iii) ( 可为实数 , 也可为 或 ), 则0)lixfAg00()()limlixxffAg型不定式极限 若函数 和 满足:f(i) ;00lim()li()xxfg(ii)在点 的某右邻域 内两者都可导, 且0Ux()0gx(iii) ( 可为实数 , 也可为 或 ), 则0)lixfAg00()()limlixxffAg因此函数为 型，通常可采用此法，如下：,0例 7 计算极限 )cos1(artnli02xdutx解：原式txin)s(rtlim2020arct(1)lisixx52204arctn(1)1lim3osix x20rt()lic6xx注：“洛必达法
8、则”是求函数极限的有力工具，但在运用中，由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加, 导致求极限过程繁琐，因此用法则求 型的极限是不够的，需综合运用其它方法才能发挥作用.HoshitalL ,02.6 依据麦克劳林展开式求极限一般常见函数的麦克劳林公式 :121()!nxxe35212sin()()!)!mmx24221co1()(!mx231ln()()()nx2 1)1 ()!nx x 2()nx利用洛必达法则求 型极限时，其结果是化成某阶导数的比，而麦克劳林展,0开式的各项系数正分别含着各阶导数的值，因此对 型函数极限也可采用此法.,0例 8 求极限 402coslimxex解：
9、25 s1()2245()8xxe6原式=2454001()cos 1limli 2xx xe注：若本题采用洛必达法则去做，会导致计算过程繁杂.2.7 运用函数的连续性求极限函数的连续性定义 : 设函数 在某 内有定义, 若1f0()Ux,0limxf则称 在点 连续. f0x若函数 在区间 上的每一点都连续, 则称 为 上的连续函数.I fI例 9 计算极限 35lim2x思路： 为连续函数, 为 的定义区间上的一点，则 .)(f0)(xf )(lim00xffx解：原式= 93252.8 运用导数的定义求极限导数的定义 : 设函数 在点 的某邻域内有定义, 若极限1 ()yfx000()l
10、imxfx存在, 则称函数 在点 处可导, 并称该极限值为函数 在点 处的导数, 记作f0x f0x.0()fx若函数 在区间 上的每一点都可导(对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数), 则fI称 为 上的可导函数.fI例 10 计算 )0(ln)l(im0hxx思路：对具有 或 形式的极限，可由导数的00lifx hxfxfh)(lim00定义来进行计算.7解：原式= hx1|)(ln2.9 运用定积分的定义求极限定积分的定义 : 设 是定义在 上的一个函数, 是一个确定的实数.若对1fabJ任意给的正数 , 总存在某一正数 , 使得对 的任何分割 , 以及在其上任意选T取的点集 , 只要 ,
11、 就有iT1()niifxJ则称函数 在区间 上可积或黎曼可积;数 称为 在区间 上的定积分或黎f,abf,ab曼积分, 记作 ()aJfxd例 11 计算 301limcos1cs1cos2n nn思路：和式极限，利用定积分定义 求得极限.001lim()()niffxd解：原式 01licosnii0()xd1022cos2.10 运用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理 : 若函数 满足如下条件：1f（i） 在闭区间 上连续；f,ab（ii） 在开区间 内可导，则在内至少存在一点 ，使得() .()fbaf例 12：计算 3sin0limxe思路：对函数 在区间 上运用拉格朗日中值定理，即可求得.()fsi,x8解：原式 （其中 在 区间内）0lim1esin,x综上所述，求极限时，在不同的函数类型下，所采用的技巧是各不相同的，对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.参考文献 1华东师范大学数学系. 数学分析（第五版）M. 高等教育出版社，2001.2钱志良. 谈极限的求法J. 常州信息职业技术学院学报，2003.3李占光. 函数极限的计算方法J. 长沙民政职业技术学院学报，2004.
