1、 419 附录 A 拉普拉斯变换及反变换 1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()( saFtafL 叠加性 )()()()( 2121 sFsFtftfL 2 微分定理 一般形式 11)1()1(1222)()()0()()(0)0()()()0()()(kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（初始条件为 0 时 )()( sFsdt tfdL nnn 3 积分定理 一般形式 nktnnknnnntttdttfsssFdttfLsdttfsdttfssFdttfLsdttfssFdttfL1010220
2、220)(1)()()()()()()()()()(个共个共 初 始条件为 0 时 nnns sFdttfL )()( 个共 4 延迟定理（或称 t 域平移定理） )()(1)( sFeTtTtfL Ts 5 衰减定理（或称 s 域平移定理） )()( asFetfL at 6 终值定理 )(lim)(lim 0 ssFtf st 7 初值定理 )(lim)(lim0 ssFtf st 8 卷积定理 )()()()()()( 210 210 21 sFsFdtftfLdftfL tt 420 2表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序号 拉氏变换 E(s) 时间函数 e(t) Z 变换
3、 E(z) 1 1 (t) 1 2 Tse1 1 0 )()( nT nTtt 1zz3 s1 )(1t 1zz 4 21st 2)1( zTz5 31s 22t 32 )1(2 )1(z zzT 6 11ns!ntn )(!)1(lim0 aTnnna ezzan 7 as1 ate aTez z 8 2)( 1as atte 2)( aTaTezTze 9 )( ass a ate1 )(1( )1( aTaTezz ze 10 )( bsas ab btat ee bTaT ez zez z 11 22 s tsin 1cos2 sin2 Tzz Tz 12 22 s s tcos 1c
4、os2 )cos(2 Tzz Tzz 13 22)( as te at sin aTaTaT eTzez Tze22 c o s2 s in 14 22)( as as te at cos aTaT aT eTzez Tzez 22 2 c o s2 c o s 15 aTs ln)/1( 1 Tta/ azz 421 3 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(sF 是 s 的有理真分式 01110111)( )()( asasasa bsbsbsbsA sBsF nnnnmmmm （ mn ） 式中系数 nn aaa
5、a ,., 110 ， mm bbbb , 110 都是实常数； nm, 是正整数。按代数定理可将 )(sF 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 0)( sA 无重根 这时， F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。 ni iinnii ss css css css css csF 12211)( （ F-1） 式中， nsss , 21 是特征方程 A(s) 0 的根。 ic 为待定常数，称为 F(s)在 is 处的留数，可按下式计算： )()(lim sFsscissi i （ F-2） 或 issi sAsBc )( )( （ F-3） 式中， )(sA 为 )(sA 对 s
6、 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（ F-1）可求得原函数 ni iiss cLsFLtf111 )()( tsni iiec 1(F-4) 0)( sA 有重根 设 0)( sA 有 r 重根 1s ， F(s)可写为 )()()( )(11 nrr sssssssBsF =nniirrrrrr ss css css css css css c 11111111 )()()(式中， 1s 为 F(s)的 r 重根， 1rs ， , ns 为 F(s)的 n-r 个单根； 422 其中， 1rc ， , nc 仍按式 (F-2)或 (F-3)计算， rc ， 1rc ， , 1c 则按下式计算： )()(lim 11 sFssc rssr )()(lim 111sFssdsdc rssr )()(lim!1 1)( )(1 sFssdsdjc rjjssjr (F-5) )()(lim)!1( 1 1)1( )1(1 1 sFssdsdrc rrrss 原函数 )(tf 为 )()( 1 sFLtf nniirrrrrr ss css css css css css cL 111111 111 )()()( tsnri itsrrrr iecectctr ctr c 112211 1)!2()!1( （ F-6）
