1、第22卷第3期 2009年9月 湖南理工学院学报(自然科学版) Journal ofHunan Institute ofScience and Technology(Natural Sciences) VhI22 NO3 Sep2009 Virasoro李代数的自同构 余德民，甘向阳，周立仁 (湖南理工学院数学与应用数学系，湖南岳阳414006) 摘要：无中心的Virasoro代数最早出现于1909年，由ECartan定义，本文创造性构造了Virasoro李代数自同构，证 明了Virasoro李代数只有此四类反自同构 关键词：自同构：特征向量；特征向量 中图分类号：O1525 文献标识码：A
2、文章编号：1672-5298(2009)03001202 Automorphisms 0f Virasoro Algebra YU Demin，GAN XiangYan，ZH0U Liren (DepartmentofMathematics&AppliedMathematics，HunanInstituteofScience andTechnology,Yueyang414006，China) Abstract：Centerless Virasoro algebra，first appeared in 1 909，was defined by ECartanIn this papeautomo
3、rphisms of the Virasoro are completely determinedIn addition，adsimple subalgebra is studied Key words：automorphism characteristic value；characteristic vector 无中心的Virasoro代数最早出现在1909年，由ECartan定义，l9391941年被大量研究，1970年物理 学家Virasoro给出了无中心的Virasoro代数的中心扩张，即后人所称的Virasoro代数(以后简写为一VIR)无 中心的Virasoro代数的定义如下， 一
4、VIR=Cdi (1) ieZ ， ，】=(iJ)4+， (2) 容易验证(2)式对di(iz)满足Jacobi恒等式， 关于(2)的定义的李运算构成李代数，且 的中心为 零Virasoro李代数是最重要，最基本的一类无限维李代数，而李代数的一类基本问题是决定其自同构，本 文构造和决定了Virasoro李代数自同构，最主要的结果是命题7 定义1 Vi，di张成的一维交换子代数为g 命题l 一VIR是a 一半单的，当且仅当 g 证明充分性Vxe go， =kdo(kc)，Vnz， ， 】=一，z ，口 ( )=一玎 ，从而V z， 为特征 向量，一础为相应的特征根，而所有的 (nz)线性张成 李
5、代数，故 = 为 一半单的 必要性假设结论不成立，即存在 一VIR， 仨g ，使得 是为a 一半单的我们不妨假定 = di，( i2 ，0aic)，则 必须由aa的特征向量线性生成，且设 ， ：， ，张成的 子空间为 ，则对任意的 仨 ，必有ad(y) Cy，因而x不能为半单的 命题2 是 的唯一的极大 一半单子代数 证明设g为包含g。的口 一半单子代数，g。 el Vxg，则 为口 一半单，由命题1， go，从而 g g。，g=g。原命题成立 命题3 g 是 的极大交换子代数 证明设g为包含g。交换子代数，g。 g则dim(g)1，据文1】，一VIR无二维交换子代数，从而也无 收稿日期：20
6、0810-1 5 基金项目：国家自然科学基金项目(10671061)；湖南省教育厅一般项N(08C395，05C601)；湖南省重点建设学科建设项目 作者简介：余德L(1975一)，男，博士，湖南理工学院数学与应用数学系副教授主要研究方向：李代数与代数表示论 第3期 余德民等：Virasoro李代数的自同构 二维以上的交换子代数，从而dim(g)=l，g=g。命题3成立 命题4 g 是丽 的极大交换子代数 证明设g为包含g 交换子代数，g g，则dim(g)1，据文1， 无二维交换子代数，从而也无 二维以上的交换子代数，因此dim(g)=l，g=g。命题4成立 命题5对于每个非零复数 ，线性变
7、换 ： 一VIR， _ 在 的基向量 线性扩张，则 是 的自同构，V ， ， = ， 证明因为 0，所以， 是 的一一变换，且 ( ， 】)= ( 一m)4 + )= 一 ) + ) 【 ( )，tad)】=【 ， = 一 ) ) 于是 ( ， )= ( )， ( )】，从而 是 的自同构 又V ， ( )=n 也 ， 。 (dA= ，从而 = 。+ 当 =1时， 为VIR的恒 等自同构 命题6线性变换 ：一VIR VIR, 一 在 的基向量 线性扩张，则 是 的自同构，且 =1，0-2-20-= 证明显然，0-为 的一一变换且 0-(do， )= ( 一 ) + =(m一刀) ( )，0-(
8、 )， ( )=_ -d = 一”) (玎+ ) ( ， 】)= ( )，0-( )，从而 是 的自同构 显然，0- =1，且V vm，ov20-(dD= ， ( )= ，从ov20-= 命题7 Aut(一VIR= 10ra2e C) 证明设矿是 的李代数同构，则 必然把极大 一半单子代数映射到极大 一半单子代数，即 do)= do，由于 ， 】=一 ，即 )， )】=一 )，从而屈do， )=一 )， do， )】：一噙 )，而 的特征值只能为整数，又由于 )o，则 z，而 为同构映射， =1或 -1 当 =I，Po=1，则 do)=do由于 ， 】=一” ，则 )， )】=一 )=do，
9、)】= 一玎 )， ( )=一 )，而线性变换 关于特征值一 的特征向量只能是 ( C)，于是设 )= 由于 ， 】=2,o，则 )， ( )】=2nq(do)=2n屈do，从而 = =1，于是 = 又由于【 ， =(m-n)d ( )， )=( n) )，因此 ， 】：( ) ，故 =层 特别地， = ，即 = = 于是Vm z， = ，故 = 当 =一1，屈=一1时， )=-do，其中 为命题6所定义，则0-(do)=do，且 也为 的李代 数同构，从而按照 =1的情形，可同样推出 = ，故tp=0- ，= 参考文献 f1余德民，卢才辉Virasoro李代数的子代数的若干结果 数学学报，2
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