1、1.5 定积分15.1 曲边梯形的面积课时目标 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念建立的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想1曲边梯形：由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x) 所围成的图形称为曲边梯形2计算曲边梯形面积的方法：把区间 a， b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形对每个小曲边梯形可“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值作和，就得到曲边梯形面积的近似值3求曲边梯形面积的流程： .一、填空题1在求 由 xa，x b (ab)，y f(x) f(x)0 及 y0 围成的曲
2、边梯形的面积 S 时，在区间 a， b上等间隔地插入 n1 个分点，分别过这些分点作 x 轴的垂线，把曲边形分成 n个小曲边梯形过程中，下列说法正确的是_(填序号 )n 个小曲边 梯形的面积和等于 S；n 个小曲边梯形的面积和小于 S；n 个小曲边梯形的面积和大于 S；n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定2把区间1,3n 等分，所得 n 个小区间的长度 x_.3在求由抛物线 yx 26 与直线 x1，x2，y0 所围成的平面图形的面积时，把区间1,2等分成 n 个小区间，则第 i 个区间为_4. _.n i 1in5以速度 v6t 沿直线运动的物体在 t1 到 t6 这段时间
3、内所走的路程为_6求由曲线 y x2 与直线 x1，x2，y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等12分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点 )是_ 7由直线 yx 1 与 x0， x2，y0 所围成的四边形的面积为_8汽车以 v(3t2) m/s 作变速直线运动时，在第 1 s 到第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是_二、解答题9求抛物线 f(x)1x 2 与直线 x0，x 1，y0 所围成的平面图形的面积 S.10求由直线 x0，x 1，y0 和曲线 y x2 所围成的图形的面积12能力提升11求由直线 x1，x 2 和 y0 及曲线 yx 3 围成的图形的面积12已知一物体做变
4、速直线运动，其瞬时速度是 v(t)2t(单位：m/s)，求该物体在出发后从 t1 s 到 t5 s 这 4 s 内所经过的位移来源:Z+xx+k.Com1曲边梯形面积的四步曲：分割、以直代曲、作和、逼近2物理上常见的“变力做功” 、 “变速直线运动的位移”等可转化为求曲边梯形的面积问题答 案知识梳理3分割 以直代曲 作和 逼近作业设计1 2.2n3.n i 1n ， n in 解析 在区间1,2 上等间隔地插入 n1 个点，将它等分成 n 个小区间 ，1，n 1n ， ， ， ，所以第 i 个区间为n 1n ，n 2n n i 1n ，n in 2n 1n ，2(i1,2，n) n i 1n
5、，n in 4.n 12510561.02解析 将区间 5 等分所得的小区间为 ， ， ， ， ，1，65 65，75 75，85 85，95 95，2于是所求平面图形的面 积近似等于 1.02.110(1 3625 4925 6425 8125) 110 2552574解析 所围成的四边形为直角梯形，x0 时，y1，x 2 时，y3.S (13)1224.86.5 m解析 将1,2n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则t ，v( i) v(1 )3(1 )21n i 1n i 1n (i1) 5.3nSn (i 1)5n i 13n 1n 012 ( n1)5n3n 1n 5 (1
6、 )5.3n2n(n 1)2 32 1n当 n时，S n 56.5.329解 (1)分割把区间0,1等分成 n 个小区间 (i1,2，n)，其长度 x ，把曲边梯形分i 1n，in 1n成 n 个小曲边梯形，其面积分别记为 Si(i1,2，n) (2)以直代曲用小矩 形面积近似代替小曲边梯形的面积Si f x(i 1n ) (i1,2，n)1 (i 1n )21n(3)作和Si .ni 1ni 11n1 (i 1n )2(4)逼近当 n时， Si1 .i 1 13 43S .4310解 (1)分割将区间0,1等分为 n 个小区间：， ， ， ， ，0，1n 1n，2n 2n，3n i 1n，i
7、n n 1n ，1每个小区间的长度为 x .in i 1n 1n过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1， S2， Sn.(2)以直代曲在区间 上，以 的函数值 2作为高，小区间的长度 x 作为底边的i 1n，in i 1n 12(i 1n ) 1n小矩形的面积作为第 i 个小曲边梯形的面积，即 Si 2 .12(i 1n ) 1n(3)作和曲边梯形的面积近似值为S Si 2 来源:学科网n i=1 n i=112(i 1n ) 1n0 2 2 21n 12(1n) 1n 12(2n) 1n 12(n 1n ) 1n 122 2 ( n1) 212n3
8、 .16(1 1n)(1 12n)(4)逼近来源:学科 网当 n时， .16(1 1n)(1 12n) 16S .1611解 (1)分割把求面积的曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，用分点 ， ，n 1n n 2n把区间 1,2等分成 n 个小区间1， ， ， ， ， ，n (n 1)n n 1n n 1n n 2n n i 1n n in， ，2，每个小区间的长度为 x ，过各分点作 x 轴的垂线，n (n 1)n n in n i 1n 1n把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1，S 2，S n.(2)以直代曲取各小区间的左端点 i， 用以点 i
9、的纵坐标( i)3为一边，以小区间长x 为其邻边的小矩形面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表1n示为：S i(i)3x( )3 (i1,2,3，n) 来源:学_科_网 Z_X_X_Kn i 1n 1n(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值，即 S Si ( )3 ni=1 n i=1 n i 1n 1n(4)逼近当分点数目愈多，即 x 愈小时，和式的值就愈接近曲边梯形 ABCD 的面积 S.来源:学科网 ZXXK因此，n即 x0 时，和式 的极限就是所求的曲边梯形 ABCD 的面
10、积 ( )3 (ni1) 3n i=1n i 1n 1n 1n4n i=1 (n1) 33(n1) 2i3(n1)i 2i 31n4 n i=1 n(n1) 33(n1) 2 3(n1) (n1)(2n1) n2(n1) 2，1n4 n(n 1)2 n6 14当 n 无限趋向于时， ( )3 无限趋近于 .即 S .n i=1n i 1n 1n 154 15412解 (1)分割：把时间段1,5分成 n 等份，分点依次是：1，1 ，1 ，14n 8n4,5，n 1n每个小区间的长度 x .4n(2)以 直代曲：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，经过的位移 SiSiv (1 4in)4n ，其中 i1,2，n.(2 8in)4n(3)作和：所求的位移SSn Sini=1 4nn i=1(2 8in)8 81 632n2n(n 1)2 n 1n 816 .(1 1n)(4)逼近当 n时，S n81624，S24.即所求物体所经过 的位移是 24 m.
