1、恩施职业技术学院学报null综合版nullnullnull null null null null null null null null nullnullnull null null null nullnull nullnull nullnull nullnull nullnullnullnull nullnullnullnull null null null nullnullnullnull nullnullnullnull null nullnullnullnullnull null null第 null 卷第null 期nullnull null nullnull 年第null 期nu
2、llnullnull null null null nullnull nullnull nullnullnull null null nullnull null null null对数的产生与发展李春艳 , 龙发山nullnull null 湖北省巴东县教研室, 湖北 巴东 null null nullnull null null null 恩施职业技术学院, 湖北 恩施 null nullnull nullnull摘要 null 文艺复兴运动促使天文、近代力学等自然科学从封建神学的桂桔下解放出来。 十四世纪下半叶, 改进数学计算方法已成为数学家们的当务之急。 经过数个世纪酝酿的对数思想终于由
3、英国数学家纳皮尔等人在十六世纪末确立为一门新的计算技术对数, 并得到了进一步地发展。关键词 null 对数null 产生中图分类号null nullnull 文献标识码null null 文章编号 null nullnull null 一 nullnull nullnull nullnull null null nullnull 一 null null 一 null null对数null肠null null nullnull null一词 , 源于希腊文的入null null null null拉丁文玩null null null, 是表示思想的文字或记号。 也可作“计算”或“比率”讲。 它与
4、另一字 null null, null卜null null null数null结合起来, 便成肠null null nullnull 这个词。对数的产生 , 是计算技术的又一次重大进步 , 系十七世纪数学三项重大成果之一。null nullnullnull邵null null, nullnull null null一约 nullnull nullnull 年null。首先是法国十六世纪著名的神学教授、数学家施蒂费尔于 nullnull null 年在其整数的算术中, 写出了 null 与null” 的两个数列 nullnull null null ! null null null null n
5、ull nullnull null null nullnull对数是天文学与三角学相结合的产物。其基本思想可追朔到古希腊的阿基米德nullnull null null null null null , nullnullnull nullnull一null null 年null时代。 当时的阿基米德研究了这样两个数列 nullnull nullnull nullnull nullnull , nullnull null nullnull nullnull null nullnullnullnull null null null null null null nullnull null发现了它们之
6、间的一一对应关系。 即可用数列nullnull 的加减关系来替代数列nullnull 的乘除关系, 但没有将这项研究继续下去。文艺复兴运动促使了欧洲封建社会的解体。 天文、航海、近代力学从封建神学的侄桔下解放出来, 发展十分迅速。 这使数学家们碰到了许多计算方面的困难。特别是在计算星球运行轨道和研究星球之间的位置关系时 , 为了得到一个结果, 时常需花去几个月的时间, 问题主要集中在三角函数表的制作上。到十六、十七世纪之交, 精密的三角函数表虽然已经制成 , 但却增加了不少的繁重的演算。 因此, 改进数字计算方法, 成为数学家们的当务之急, 一种新的计算方法便应运而生。 而为这种新的计算方法作
7、出了实质性贡献的当属施蒂费尔nullnull null nullnullnullnull nullnull, nullnull nullnull一nullnullnullnull 年null和舒开nullnullnullnullnullnull null null nullnull nullnull nullnull nullnull null null null null null 】nullnull nullnull null null nullnullnull上一列是等差数列 , 施称之为指数 null德文 nullnull null nullnull null , 原意是“代表人物”或
8、“代表者” null , 下一列是等比数列 , 他称之为原数。施蒂费尔发现null 若要求下一列任意两数之积 , 只需要计算与这两个数对应的上列数之和即可。 下一列数的乘方、 开方运算也可转化为上列数的乘除运算。 例如要计算 null null nullnull , null 与 nullnull 对应的仁列数分别为 null 和 null , 而 null 与 null 之和为 null , 再找到上列数null 所对应的下一列数null , 即为所求 null 而要求 null 的算术平方根, 与 null 对应的上列数为null , null 令 null 二 null , 与 null
9、 对应的下列数为 null , 即得所求。 由此可以看出null 施蒂费尔所给出的两个数列, 实际上是下一列以 null 为底的对数就是上一列的对应数, 如null 乡nullnull 二 null , 这也说明施实际一null已注意到了下null 运算法则null nullnull 乡nullnull null null null nullnull nullnullnull null nullnull null null至,null null洽null ,。null nullnull 一 null nullnull null这正是对数运算的萌芽。 由于当时指数概念尚没完善, 对于诸如 nul
10、l null null , nullnullnull null null 的情况感到束手无策而终止研究。收稿日期null nullnull nullnull 一 nullnull 一 nullnull作者简介null null null 李春艳nullnull null nullnull null 龙发山nullnull nullnull null, 湖北省巴东县教研室教研员。, 恩施职业技术学院, 高级讲师。施蒂费尔的这些成果, 法国数学家舒开于 null null年在其数学科学中的三部曲中指出过。但因书中内容太深, 以至与他同时代的人都无法读懂。 直到十九世纪才得以出版。 尽管如此, 但上
11、述事实已能充分说明null 施与舒为对数的产生作出了实质性的贡献。对数的创始人纳皮尔nullnullnull nullnull nullnullnull null , nullnullnullnull 一 nullnull nullnull 年null出生于苏格兰爱丁堡附近的契斯顿堡。 nullnull null 年人圣 安德卢斯大学。是一位对天文学很感兴趣的业余数学家。 主要从事球面三角学的研究工作, 以“纳皮尔比拟式” , “纳皮尔法则”闻名于世。对数字计算有特别的研究。 他以半径为 null少的圆作为出发点探求对数。 经过二十多年的艰苦努力, 撰奇妙的对数定理说明书和 奇妙对数定理的构造
12、。 前者长达两百多页 , 于nullnull null 年null 月在爱丁堡出版。 后者是在纳皮尔逝世后 ,由他儿子 null nullnull nullnullnull null 整理后 , 于 nullnull nullnull 年出版的。 但撰写年代可能早于奇妙的对数定理说明书。该书对对数的定义、性质和对数表的构造方法等有其充分的解释, 给出了以分弧为间隔的角的八位正弦的对数表。首创“对数”术语。 在此仅摘其纳皮尔对数定义 , 展示其发现过程。“设线段巧null长 null少null 为半径, null null 为同一线段上给定的正弦null , 设 null 从 null 在某一特
13、定时间内以几何级数移动到null 。 又设 null 为另一条线, null 的一端为无穷远。 设null 沿直线以 null 在null 点时的速度以算术级数移动, 从固定点null 向 null的方向, null 在同一时间内到达的点为 null null null的长叫做给定正弦 null null 的对数。 ”用现代数学语言与符号叙述即nullnull null nullnull null null 一 null一 , 二含一 一 一,一,null二 null 哗null 就是 null 的对数, 我们叫它 “纳皮尔对数” , 用null nullnull nullnull盯来表示。即
14、nullnull null “ null null 谬二 null 进一步考察, 我们即可发现 , “纳皮尔对数” 实际上是以告为底的对数。 为避免分数计算, 纳氏取 null 二 , null null , 有 null null , 二 卜击null null 】。二命卜命nullnull。null 二 null null一null nullnull 二 , 一奋, 一命卜备, 二 , 一命,null于是得到下面两列数值。null null null null 卜奋 null卜击,null 卜青, nullnull山 null 奋 共 泛二nullnull 了 nullnull null用
15、 null null , 乘以每个幂 , 如果null 二 null, , 一奋,null则纳氏称 null为 null 的对数。由于 , 一命”又鳃, 告一告将 null null ” 代人nullnullnull , 即可得纳皮尔对数与自然对数的关系 nullnull null null null ,。null 。二 null nullnull null。砂null兴null 二 null 。, nullnull卫null null 一 null null nullnull null null nullnull null null null null 令TS则Td10, d s = y,b
16、C二 a ,二 m 一 y , 由此可知g的移动速度d(m 一 v )一 dt分离变量积分得:一 In y 二 t + e当t二o 时, g = m故C二 一In m(1)另一方面 , a 的移动速度 二奈二 m即a 二m t将t, 。 的值代人(1)得:纳皮尔造对数表, 实质上是给出上述微分方程的近似积分。最先掌握对数思想的是瑞士的钟表 、 仪器修理匠 , 后来成为数学家的比尔吉(J.Bu飞e, 1 5 5 2 一1632年)。 他是著名天文学家开普勒(J.kepler, 一571一1630年)的助手。他在接触繁杂的天文计算中, 产生了需要简化计算的思想。 从 1603 年到161 年 ,
17、比尔吉用了八年的时间编出了世界上最早的对数表。 但直到1620年, 由于开普勒的坚决请求, 才得以出版。 书名为算术级数和几何级数表。 而这时纳皮尔对数已闻名全欧州了。 但纳皮尔的途径是几何的, 而比尔吉的途径却是代数的。 实际情况是, 两人在很早以前都发现了对数。纳皮尔对数在爱德堡发表后, 震动了当时伦敦的数学界。 年过五旬的牛津大学天文 、数学家布里格斯(H、 B r i g g s , 1 5 6 7 一 16 3 一年)声称说他 “未读过一本能够使我这样惊异和喜爱的书” 。 在 16巧 一 16 16 年间,先后两次到爱丁斯堡。表示他对这位伟大的对数发明者表示敬意, 同时也讨论了对数的
18、改进问题。 双方一致同意, 1 0 9 1 = 0 与109、。1 0 二 10 0 = 1 。 这也就是今天的以 10 为底的常用对数 , 即所谓布里格斯对数。 1 6 17 年4月 , 纳皮尔逝世 , 布以其毕生精力, 继承了纳皮尔未对纳皮尔来说, 正弦即一线段或线段的长, 正如我们现在用线段表示三角函数一样。竟之业。布在计算他的对数时 ,取 俪, 抓而 一直取到54 次这样的平方根 , 得出了一个略大于 1的数A , A 二 “【专)5。 然后他取肠gl0A 二 合, , 再利用两数乘积的对数等于它们的对数和这一事实, 算出了世界上第一张常用对数表 , 即 1到20 0 和90 0 0
19、到1000 0之间的14 位常用对数表。 过J寸的布里格斯已是五十六岁的高龄了, 考虑到自己在有生之年难以把所缺部分算完 , 于是他又以七年的时间对表进行整理, 刊载于他撰写的对数算术中, 并在1624 年发表。 由于他引进了 “首数” 一词 , 而使其篇幅大为减少。 而从20 0 到90 00之间的常用对数还没来得及算出, 这位天文、数学家就去世了。这个空档则是由荷兰的青年出版商弗拉格(A.Vlaeq, 1 6 0 0 ? 一1667年)于1628 年补齐, 并于 1629 年正式出版。 几位对数制表人, 象接力赛那样 , 跑完了全程。布与弗所发表的对数表, 直到1924和 19 49 年,
20、 才被为了纪念对数发现300周年, 在英国算出的20 位对数表所代替。实践表明, 在理论研究和实际计算的过程中, 采用以e为底的对数, 更为方便, 这就是自然对数。世界上第一张自然对数表以 肠9.10 xIJ 的形式出现在英国人赖特(Reit er , 生卒年代不详)于 1618 年所编英文版的奇妙的对数定理说明书的第16 页的附录中。 一般认为 , 这个附录的作者是奥特雷德(W.Qughrre.1574一1660年)。关于以 e为底的自然对数的准确涵义是由伦敦的一位中学教师佩特尔(J.sPe iden, 生卒年代不详)首先提出的。他在 161 9年出版了新对数一书, 书中包含有 l一1000
21、 的自然对数表。 1 7 2 8 年, 瑞士数学家欧拉 (L.Eu一ar, 1 7 0 7 一1753年)在其一篇未发表的手稿遗作中, 首先用e表示自然对数的底 , 并在 1748年出版的 无穷小分析引论中, 算出了无理数e二2.7 18 2 8 18 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 6 2 8 卡尔登(w G ar di ne r ) 的对数表所写的序言中对此进行了系统的论述。 欧拉在两卷本的无穷小分析引论(1745年)中, 引人了以a为底的x的对数109。x (他简写为Inx), 作为满足a, 二x 的指数y, 更是直接把对数建立在指数的逆运算基础上。他的“指数源于对数
22、”这个见解也很快被人接受。 至此, 对数逐渐得到完善,成为我们今天所使用的对数。十七世纪微积分的诞生 , 此后复变函数的建立,使人们对对数有了更为深刻的认识。首先是比利时的数学家格雷果里 (V Greg() rg,1554一1667年)在研究双曲线xy=l下的ul1- 积I讨, 发现其面积函数具有对数函数的一般性质 , 并以穷竭法证明了可用现代符号表示的公式 !二十dx二 kls yi , ( 其中y二十)。 他的学生萨拉沙(Alfons.A.de.saras。 , 1 6 , 8一1667年)是第一个把面积解释为对数的学者。1 6 6 8 年, 法国数学家麦卡托(N Me r e a t o
23、 :1 6 2 0 一,687 年)在他的对数技术一书中, 将y二青展开为无穷级数 , 并推出了ln( 1+x) 的幂级数展开式:xZ x3 x月fo g L +x二 x 一才+寸一了+ “ “ 该书还给出了由自然对数变换到常用对数的比例因子:04 3429= 谕, 这使得自然对数又可以用积分加以定义。指数函数与对数函数的出现是数学史上的一次重大突破。 十八世纪初 , 牛顿 (Newto:1, 1 6 4 3 一 7 2 7年), 莱布尼茨(Le ibniz, 1 6 4 6 一 17 16 年)等人对指数函数进行了深人研究, 指出指数函数与对数函数互为反函数。 在复变函数中:若Z二 e w
24、,则称W 为Z 的对数函数, 记为W 二 l;12 ,对数函数作为指数函数的反函数定义。而Inz二 1 2卜iArgz, 由于Ar gz 可取无穷多个值 , 故知Inz是一个多值函数。众所周知:世界上最早的指数概念可以追朔到14 世纪中期 , 但最终完善的时间却是十八世纪初。 纳皮尔从 159 0年左右就开始研究对数, 那时, “指数” 、 “底数”的概念尚没形成。 在这种情况下, 他从连续的几何量出发 , 通过比较几何级数与算术级数, 进而发现了对数。 对数的发现先于指数, 为数学史上的珍闻。第一次把对数定义为指数问题的是英国数学家琼斯(J.William., 1 6 7 5 一1749年)
25、。 他于 1742年在给纳皮尔对数发表后, 由于布里格斯和刻 卜勒等人的努力 , 很快传遍欧州, 并得到了广泛的应用 、 一十l:1 计纪中叶.西方的耶稣会士将对数及对数表传人我It 、在 192二 0 . 3 0 1 0 这样的式子里 , 2 叫做 真数” , r f l j0.3 0 1 0 叫做“假数” 。 “真数与假数又t列成表” 。 所以I!L“对数表” 。 后来假数这个名称渐渐不用 ,把0.301创叫做2的对数。有文字可考的是由波兰耶稣会士卜弥格(M.Boym, 1 6 一2 一 16 5 9 年)于 164 6年底从澳门发寄纳皮尔对数表是不分“首” 、“尾”数的, 所以篇幅很长。
26、 “尾数”一词则最早出现在英国数学家华利斯(J.wal is, ) 的代数中。 在数学发展史上 , 负分数指数幕早于指数概念。 法国数学家奥雷姆(N.oresme. 约 1320 一138 2年)在比例算法(l36()年)中最早引人了分数指数幂的概念。! 67 9 年, 莱布尼茨第一个使用变数指数。(在给c.c H uy , ns . 162 9一169 5年)的信中。北京的鲁道夫星表。 这是一部较早把对数用于天文计算的星表, 书中涉及对数内容。 1 64 6 年, 波兰耶稣会士穆尼阁(J.N.Smo即lenski, 1 6 1 1 一 16 5 6 年)带着比例对数表等各种算术书来到我国澳门
27、, 先后在南京、福建、广东一带从事传授活动。 16 53 年, 清政府派方中通 (Fang zhongta叮 1633一 26 9 5 年)、 薛凤柞(xue rengzuo? 一 16 80 年)等人向其学习, 同年, 国人薛凤柞在穆的传授下, 将比例对数表一书译成中文 , 成为我国第一本对数著作。 数理精蕴(1723 年)则比较详细地介绍了常用对数的求法和造表法, 推动了中国数学家从事对数的研究。 其中以戴煦(DaixU,1805一1860年)、 李善兰(U shanlan 1811一1882)的成就最为显著。清代数学家戴煦 , 字鄂士, 号鹤墅, 浙江钱塘(今杭州)人。 “十龄后即好畴人
28、学(天文、数学)。他在研究对数的过程中, 觉得旧有求对数的方法头绪纷繁, 初学者颇难了解。 于是详加研究, 把开方运算转变为有限次或无限次加减乘除运算。 在数理精蕴的“递次开方求假数值”的基础上, 创开方表求对数、假设求对数、展开式求对数等捷法 , 著成对数简法二卷(1845年), 续对数简法一卷(1846年)、 外切密率四卷(1852年)、假数测圆二卷(1852 年), 总名总表捷术。在此仅择其由假设对数求对数法 ,共同领略戴氏这项具有世界领先意义的成果。戴氏在对数简法卷上给出了如求191.00 0 02.1 91.0阅仪刃2 二 1. 0 0 0 0 1x 1. 0(X) (X) 0( 为
29、Inl.侧X均(X) 2 =0.0X)X)01 + 0.00以X均o二0 .0 0 0 2.1 9 1.0 0 0 0 0 0=Inl.O0() 0()0Inl o二 0 .0 00 0 0 1戴氏用此法给出了一张65 个数的自然对数表。而在西方,最完整的自然对数表出现于1850 年。 1 8 54年, 英国人艾约瑟(Joseph, E d k i n s , 1 5 2 5 一1905年)在李善兰等处见到戴氏之著述, “甚为钦服, 以为理近微分” 。这年他专程从上海来杭州踵门求见 , 被他托故谢绝 , 这使艾约瑟大失所望。 但他对戴煦的崇敬并未消减 , 将戴煦的书“转译之, 寄人彼国算学公会
30、” ,成为对数历史上的一段佳话。李善兰是清代著名数学家, 他把自己独有的 “尖锥术” (相当于现代定积分)用于对数研究, 建立了对数积的概念。土叮上、_ _: 一旦一石 J 、 二 , 一 a ll厂丁 , Il fl 一 L并用尖锥术求得:_,h、 二 矛 1b、丁二“h六那二订不 二 乙七h ,烈可万标万声J-_ / , 、山 , r.1 产凡2 = 、a一r12=a一 、又, 个 又甲, 丁 .甲丁 + 戈a 乙 一 片 a 著对数探源二卷(1845年)、 对数尖锥变法释一卷(1859一1864 年间)。 在对数探源中, 给出的结论多达13 条, 亦给出了求表办法多种。 他指出:“对数之
31、积 , 诸乘尖锥之合积也” 。 下面的这个式子是景+19(一+ :) 二土+2 4 6In(l +x)Inl o共二 . “34.6(l)其中之一:fogx 二 兴+兴+弄X 一 J X K X他先用公式(1),步骤为:(2)求出72个数的常用对数, 具体 设In1.00 0 01 二0 .0 0 0 1 依次求出下列63 个数的假设对数。a.1.0() 0() 0() 2,1.0 0 0 0 0 0 9,1.0 0 0 0 0 0 1 ;b.1.o 0()0 2,1.0 (X) 09,1.00 0 1;e.1.0 (X)2,1. 加阅9,1.0 (X) l :d.1.0() O2,1. 阅0
32、9,1.0 0 1 ;e.1.(X)2,1.0 09,1.0 1f. 1.0 2,1.09,1.1j.1.2,1.9,2 利用上述结果求得Inlo二 2 . 3 0 2 5 8 2 5 利用公式 (2), 求出上面共65 个数的常用对(其中)2蕊x鉴10利用这个公式算出2 到10 的各自然数的自然对数 。 为了计算其常用对数 , 他首先求出 u二0.43 42 9 45, 然后计算出合U, 含直到命 , 通过这 ”个数组成定积表 , 再计算出常用对数 , 例如:192二 告+击+击+示丽石) 二 0, 。, 。J总之, 我国清代数学家们所获丰硕成果, 为我国十九世纪数学史上写下了光辉的一页。在对数发展史上也占有一定位置。数 由对数的性质求出1, 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 的常用对参考文献:【l李文林.数学珍宝【Ml 北京科学出版社, 19 98 年.【2 李兆华.戴煦关于对数研究的贡献【J 自然科学史研究.1985年第4期.【31 李兆华.李善兰对数论研究川.自然科学史研究.1992 年第2期.数以上72个常用对数为造表的基本数据。 责任编辑:顾雄声
