动态规划解TSP问题.docx

1、用动态规划方法编程求解下面的问题：某推销员要从城市v1 出发，访问其它城市v2 ，v3，v6 各一次且仅一次，最后返回v1。D 为各城市间的距离矩阵。问：该推销员应如何选择路线，才能使总的行程最短？ 012625874635019218204vv1、变量设定阶段 k：已遍历过 k 个结点，k=1,26,7 。K=1 表示刚从 V1 出发，k=7 表示已回到起点 V1状态变量 Xk=(i，Sk)：已遍历 k 个结点，当前位于 i 结点，还未遍历的结点集合为 Sk。则 X1=(1，2,3,4,5,6) ，X6=(i，) ，X7=(1 ，)决策变量 Uk=(i，j) ：已遍历 k 个结点，当前位于

2、i 结点，下一个结点选择 j。状态转移方程：X k+1 = T(Xk，Uk) = (j，Sk-j)第 k 阶段的指标函数 Vk = Di,j。最优指标函数 Fk(Xk) = Fk(i，Sk)：已遍历 k 个结点，当前从 i 结点出发，访问 Sk中的结点一次且仅一次，最后返回起点 V1 的最短距离。则 Fk(i，Sk) = min Di,j + Fk+1(j，Sk-j) 1k6F7(X7) = F7(1，) = 02、分析：（1）k=6 时，F6(i，) = minDi,1 + F7(X7) = Di,1 i=2,3,4,5,6X6=(i，) U6=(i，j) X7=(1，) V6=Di,j F

3、7(1，) V6 + F7(X7)(2，) (2，1) (1，) 12 0 12=F6(2,)(3，) (3，1) (1，) 23 0 23=F6(3,)(4，) (4，1) (1，) 34 0 34=F6(4,)(5，) (5，1) (1，) 45 0 45=F6(5,)(6，) (6，1) (1，) 56 0 56=F6(6,)即 k=6 时，对于每一种状态 X6，都有唯一的决策 U6。（2）k=5 时，F5(i，S5) = minDi,j + F6(j，) i=2,3,4,5,6X5=(i,S5) U5=(i,j) X6=(j, ) V5=Di,j F6(j,) V5 + F6(X6)(

4、2,6 (2,6) (6，) 21 56 77=F5(2,6)(2,5 (2,5) (5，) 25 45 70=F5(2,5)(2,4 (2,4) (4，) 30 34 64=F5(2,4)(2,3 (2,3) (3，) 18 23 41=F5(2,3)(3,6) (3,6) (6，) 15 56 71=F5(3,6)(3,5) (3,5) (5，) 10 45 55=F5(3,5)(3,4) (3,4) (4，) 5 34 39=F5(3,4)(3,2) (3,2) (2，) 19 12 31=F5(3,2)(4,6) (4,6) (6，) 16 56 72=F5(4,6)(4,5) (4,

5、5) (5，) 8 45 53=F5(4,5)(4,3) (4,3) (3，) 4 23 27=F5(4,3)(4,2) (4,2) (2，) 32 12 44=F5(4,2)(5,6) (5,6) (6，) 18 56 74=F5(5,6)(5,4) (5,4) (4，) 10 34 44=F5(5,4)(5,3) (5,3) (3，) 11 23 34=F5(5,3)(5,2) (5,2) (2，) 27 12 39=F5(5,2)(6,5) (6,5) (5，) 12 45 57=F5(6,5)(6,4) (6,4) (4，) 20 34 54=F5(6,4)(6,3) (6,3) (3

6、，) 16 23 39=F5(6,3)(6,2) (6,2) (2，) 22 12 34=F5(6,2)即 k=时，对于每一种状态 X5，都有唯一决策 U5。（3）k=4 时，F4(i,S4) = min(Di,j + F5(j,S5) ) i=2,3,4,5,6X4=(i,S4) U4=(i,j) X5=(j,S5) V4=Di,j F5(j,S5) V4 + F5(j,S5)(2,3) (3,4) 18 39 57=F4(2,3,4)(2,3,4)(2,4) (4,3) 30 27 57=F4(2,3,4)(2,4) (4,5) 30 53 83(2,4,5)(2,5) (5,4) 25

7、44 69=F4(2,4,5)(2,5) (5,6) 25 74 99(2,5,6)(2,6) (6,5) 21 57 78=F4(2,5,6)(2,3) (3,5) 18 55 73(2,3,5)(2,5) (5,3) 25 34 59=F4(2,3,5)(2,3) (3,6) 18 71 89(2,3,6)(2,6) (6,3) 21 39 60=F4(2,3,6)(2,4) (4,6) 30 72 102(2,4,6)(2,6) (6,4) 21 54 75=F4(2,4,6)(3,2) (2,4) 19 64 83(3,2,4)(3,4) (4,2) 5 44 49=F4(3,2,4)

8、(3,2,5) (3,2) (2,5) 19 70 89(3,5) (5,2) 10 39 49=F4(3,2,5)(3,2) (2,6) 19 77 96(3,2,6)(3,6) (6,2) 15 34 49=F4(3,2,6)(3,4) (4,5) 5 53 58(3,4,5)(3,5) (5,4) 10 44 54=F4(3,4,5)(3,4) (4,6) 5 72 77(3,4,6)(3,6) (6,4) 15 54 69=F4(3,4,6)(3,5) (5,6) 10 74 84(3,5,6)(3,6) (6,5) 15 57 72=F4(3,5,6)(4,2) (2,3) 32 4

9、1 73(4,2,3)(4,3) (3,2) 4 31 34=F4(4,2,3)(4,2) (2,5) 32 70 102(4,2,5)(4,5) (5,2) 8 39 47=F4(4,2,5)(4,2) (2,6) 32 77 109(4,2,6)(4,6) (6,2) 16 34 50=F4(4,2,6)(4,3) (3,5) 4 55 59(4,3,5)(4,5) (5,3) 8 34 42=F4(4,3,5)(4,3) (3,6) 4 71 75(4,3,6)(4,6) (6,3) 16 39 55=F4(4,3,6)(4,5) (5,6) 8 74 82(4,5,6)(4,6) (6

10、,5) 16 57 73=F4(4,5,6)(5,2) (2,3) 27 41 68(5,2,3)(5,3) (3,2) 11 31 42=F4(5,2,3)(5,2) (2,4) 27 64 91(5,2,4)(5,4) (4,2) 10 44 54=F4(5,2,4)(5,2) (2,6) 27 77 104(5,2,6)(5,6) (6,2) 18 34 52=F4(5,2,6)(5,3) (3,4) 11 39 50(5,3,4)(5,4) (4,3) 10 27 37=F4(5,3,4)(5,3) (3,6) 11 71 82(5,3,6)(5,6) (6,3) 18 39 57=F

11、4(5,3,6)(5,4) (4,6) 10 72 82(5,4,6)(5,6) (6,4) 18 54 72=F4(5,4,6)(6,2) (2,3) 22 41 63(6,2,3)(6,3) (3,2) 16 31 47=F4(6,2,3)(6,2) (2,4) 22 64 86(6,2,4)(6,4) (4,2) 20 44 64=F4(6,2,4)(6,2) (2,5) 22 70 92(6,2,5)(6,5) (5,2) 12 39 51=F4(6,2,5)(6,3) (3,4) 16 39 55(6,3,4)(6,4) (4,3) 20 27 47=F4(6,3,4)(6,3) (

12、3,5) 16 55 71(6,3,5)(6,5) (5,3) 12 34 46=F4(6,3,5)(6,4) (4,5) 20 53 73(6,4,5)(6,5) (5,4) 12 44 56=F4(6,4,5)（4）k=3 时，F3(i,S3) = minDi,j + F4(j,S4) i=2,3,4,5,6X3=(i,S3) U3=(i,j) X4=(j,S4) V3=Di,j F4(j,S4) V3 + F4(j,S4)(2,3) (3,4,5) 18 54 72(2,4) (4,3,5) 30 42 72(2,3,4,5)(2,5) (5,3,4) 25 37 62=F3(2,3,4

13、,5)(2,3) (3,4,6) 18 69 87(2,4) (4,3,6) 30 55 85(2,3,4,6)(2,6) (6,3,4) 21 47 68=F3(2,3,4,6)(2,3) (3,5,6) 18 72 90(2,5) (5,3,6) 25 57 82(2,3,5,6)(2,6) (6,3,5) 21 46 67=F3(2,3,5,6)(2,4) (4,5,6) 30 73 103(2,5) (5,4,6) 25 72 97(2,4,5,6)(2,6) (6,4,5) 21 56 77=F3(2,4,5,6)(3,2) (2,4,5) 19 69 88(3,4) (4,2,5)

14、 5 47 52=F3(3,2,4,5)(3,2,4,5)(3,5) (5,2,4) 10 54 64(3,2) (2,4,6) 19 75 94(3,4) (4,2,6) 5 50 55=F3(3,2,4,6)(3,2,4,6)(3,6) (6,2,4) 15 64 79(3,2) (2,5,6) 19 78 97(3,5) (5,2,6) 10 52 62=F3(3,2,5,6)(3,2,5,6)(3,6) (6,2,5) 15 51 66(3,4) (4,5,6) 5 73 78(3,5) (5,4,6) 10 72 82(3,4,5,6)(3,6) (6,4,5) 15 56 71=F

15、3(3,4,5,6)(4,2) (2,3,5) 32 59 91(4,3) (3,2,5) 4 49 53(4,2,3,5)(4,5) (5,2,3) 8 42 50=F3(4,2,3,5)(4,2) (2,3,6) 32 60 92(4,3) (3,2,6) 4 49 53=F3(4,2,3,6)(4,2,3,6)(4,6) (6,2,3) 16 47 63(4,2) (2,5,6) 32 78 110(4,5) (5,2,6) 8 52 60=F3(4,2,5,6)(4,2,5,6)(4,6) (6,2,5) 16 51 67(4,3) (3,5,6) 4 72 76(4,5) (5,3,

16、6) 8 57 65(4,3,5,6)(4,6) (6,3,5) 16 46 62=F3(4,3,5,6)(5,2,3,4) (5,2) (2,3,4) 27 57 84(5,3) (3,2,4) 11 49 60(5,4) (4,2,3) 10 34 44=F3(5,2,3,4)(5,2) (2,3,6) 27 60 87(5,3) (3,2,6) 11 49 60=F3(5,2,3,6)(5,2,3,6)(5,6) (6,2,3) 18 47 65(5,2) (2,4,6) 27 75 102(5,4) (4,2,6) 10 50 60=F3(5,2,4,6)(5,2,4,6)(5,6)

17、(6,2,4) 18 64 82(5,3) (3,4,6) 11 69 80(5,4) (4,3,6) 10 55 65=F3(5,3,4,6)(5,3,4,6)(5,6) (6,3,4) 18 47 65=F3(5,3,4,6)(6,2) (2,3,4) 22 57 79(6,3) (3,2,4) 16 49 65(6,2,3,4)(6,4) (4,2,3) 20 34 54=F3(6,2,3,4)(6,2) (2,3,5) 22 59 81(6,3) (3,2,5) 16 49 65(6,2,3,5)(6,5) (5,2,3) 12 42 54=F3(6,2,3,5)(6,2) (2,4,

18、5) 22 69 91(6,4) (4,2,5) 20 47 67(6,2,4,5)(6,5) (5,2,4) 12 54 66=F3(6,2,4,5)(6,3) (3,4,5) 16 54 70(6,4) (4,3,5) 20 42 62(6,3,4,5)(6,5) (5,3,4) 12 37 49=F3(6,3,4,5)（5）k=2 时，F2(i,S2) = minDi,j + F3(j,S3) i=2,3,4,5,6X2=(i,S2) U2=(i,j) X3=(j,S3) V2=Di,j F3(j,S3) V2 + F3(j,S3)(2,3) (3,4,5,6) 18 71 89(2,4

19、) (4,3,5,6) 30 62 92(2,5) (5,3,4,6) 25 65 90(2,3,4,5,6)(2,6) (6,3,4,5) 21 49 70=F2(2,3,4,5,6)(3,2) (2,4,5,6) 19 77 96(3,4) (4,2,5,6) 5 60 65=F2(3,2,4,5,6)(3,5) (5,2,4,6) 10 60 70(3,2,4,5,6)(3,6) (6,2,4,5) 15 66 81(4,2) (2,3,5,6) 32 67 99(4,3) (3,2,5,6) 4 62 66=F2(4,2,3,5,6)(4,5) (5,2,3,6) 8 60 68(4,

20、2,3,5,6)(4,6) (6,2,3,5) 16 54 70(5,2) (2,3,4,6) 27 68 95(5,3) (3,2,4,6) 11 55 66(5,4) (4,2,3,6) 10 53 63=F2(5,2,3,4,6)(5,2,3,4,6)(5,6) (6,2,3,4) 18 54 72(6,2) (2,3,4,5) 22 62 84(6,3) (3,2,4,5) 16 52 68(6,4) (4,2,3,5) 20 50 70(6,2,3,4,5)(6,5) (5,2,3,4) 12 44 56=F2(6,2,3,4,5)（6）k=1 时，F1(1,S1) = minD1,

21、j + F2(j,S2)X1=(1,S1) U1=(1,j) X2=(j,S2) V1=D1,j F2(j,S2) V1 + F2(j,S2)(1,2) (2,3,4,5,6) 10 70 80=F1(1,2,3,4,5,6)(1,3) (3,2,4,5,6) 20 65 85(1,4) (4,2,3,5,6) 30 66 96(1,5) (5,2,3,4,6) 40 63 103(1,2,3,4,5,6)(1,6) (6,2,3,4,5) 50 56 1063、伪代码和时间复杂度为方便计算，结点编号改为 0 到 5.(1)用一张二维表格 F表示 F(i,Sk)，行数是 n，列数是 2n-1。

22、(2)行号表示当前所在的结点 i。列号对应的五位二进制表示表示V5,V4,V3,V2,V1 的一个子集，1 表示在集合中，0 表示不在集合中。例如：00110 表示的集合为V3,V2，00000 表示空集(3)再用一张 n*2n-1 的表格 M存储对应每个状态(i，Sk)所做的最优决策，以便回溯找最短路线。伪代码：TSP(int D， int n)/输入 n 个顶点的有向图，矩阵 D是有向图的邻接矩阵/D是原图的邻接矩阵/F中存储阶段最短路径，M中存储阶段最优策略 , 行数是 n，列数是 2n-1/找到从 V0 出发，遍历所有城市一次且仅一次再回到 V0 的最短路径长度/并输出最短路径for(i=0; i0; )j = Mji;/下一步去往哪个结点i = i 2j-1;/从 i 表示的集合中删除 j输出 Vj考虑算法中所做的加法和比较次数:+ (n-1) = (n-1)(n-2)2n-3 + (n-1) = O(n22n)1=2(1)(1 )