1、1.3 函数的基本性质,人教A版数学必修1,黄山中学 陈秀群,复习回顾单调性,增函数： 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。,函数的单调性不是定义域上的整体性质,在初中你学习过轴对称图形和中心对称图形吗？,轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称图形，这条直线称作轴对称图形的对称轴。,中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某 一点的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称图形
2、，这个点称作中心对称图形的对称中心。,复习回顾图像的对称,1.3 函数的基本性质奇偶性,观察下面几个函数的图象，它们是否具有对称性？,1,-1,1,-1,（1）,（2）,两类具有对称性的函数图象,例如：画函数 的图象,S1：列表：,S2：描点,S3：连线,概念生成,例如：画函数f(x)=x3的图象,S1：列表：,S2：描点,S3：连线,概念生成,函数f(x)=x3的图象特征关于原点对称,-x,x,奇函数,概念生成,关于原点对称,奇函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.,概念生成,奇函数性质: 函数f(x)是奇函数 函数f
3、(x)的图象关于原点对称,数形结合,函数f(x)=x2的图象特征关于y轴对称,关于y轴对称,概念生成,-x,x,偶函数,奇函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数。,概念生成,偶函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数。,偶函数性质: 函数f(x)是奇函数 函数f(x)的图象关于原点对称,奇函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数。,概念生成,偶函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任
4、意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数。,奇偶性:如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。,问题1：奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意”几个字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？,强调定义中“定义域内任意”二字，说明函数的奇偶性是定义域上的一个整体性质，而函数的单调性不是定义域上的一个整体性质 .,概念剖析,问题2：x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？,奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.,概念剖析,例1、判断下列函数的奇偶性：,典例分析,偶函数,奇函数,奇函数,偶函数,判断函数的
5、奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称.,例2、判断下列函数的奇偶性：,典例分析,非奇非偶函数,既是奇函数又是偶函数,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数,偶函数,1.用定义判断函数奇偶性的步骤：,(1) 先求定义域，看是否关于原点对称；,(2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,规律总结,2.从函数的奇偶性，函数可以分为四类：,是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.,3.既是奇函数又是偶函数的函数解析式为：,f(x)=0 (前提是定义域关于原点对称).,1.判断下列
6、说法是否正确,练 习,(1)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称; (2)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数； (3)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数；,当堂检测,（4）若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)一定成立.,通过本堂课的探究：（1）你学到了哪些知识？（2）你最深刻的体验是什么？（3）你心里还存在什么疑惑？,课堂小结,课堂小结知识,1、两个定义： 对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数,2、两个性质：一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称一个函数
7、为偶函数 它的图象关于y轴对称,3、用定义判断函数奇偶性的步骤： (1) 先求定义域，看是否关于原点对称； (2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,4、重要数学思想数形结合“以形助数”、“以数解形”,课堂小结思想方法,5、研究问题的重要思路方法从特殊到一般，从具体到抽象，归纳概括；感受数学的对称美，研究数学中的对称。,课后思考,已知奇函数f(x)在a,b上是减函数，试判断f(x)在-b,-a上是增函数还是减函数。并证明你的结论。,作业： 习题1.3 A组 第6题B组 第3题,课后作业,谢谢大家！,例2、 判断下列函数的奇偶性,深化提高合作探究,偶函数,非奇非偶函
8、数,既是奇函数又是偶函数,动动手：已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.,解：画法略,若函数y=f(x)是奇函数,课堂练习 P36,(1)判断下列函数的奇偶性：,课堂练习 P36,（2）将函数图象补充完整,作业： 1.习题13 A组 第6题,2.课后思考：(一). 有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？(二). 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究 （1）F（x）f（x）g（x）的奇偶性 （2）G（x）f（x）g（x）的奇偶性,问题3：如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？,概念剖析,如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.,奇函数与偶函数图象的性质,（1）奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.,（2）偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.,说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法. b、判断函数的奇偶性,
