1、http:/ 的关系式设 为任一数列， 表示数列 的前几项和，则有 ；： 为等差数列 =d (nN 且 d 为常数) =d (n 2, nN 且 d 为常数)此为判断或证明数列 为等差数列的主要依据.2.公式 （1）通项公式： = +（n1）d：引申： = +（nm）d （注意：n=m+(nm) ）认知： 为等差数列 为 n 的一次函数或 为常数 =kn+b (n )（2）前 n 项和公式： = 或 =n + 认知： 为等差数列 为 n 的二次函数且常数项为 0 或 =n = +bn(n )? 1 ? 内 容 与 要 求 ： 掌 握 等 差 数 列 的 前 n项 和 公 式 ， 并 能 用 此
2、 解 决 一些 简 单 问 题 . 2)(1nnaS 或 2)1(1dnaSn 或 dd)2(1. http:/ 为递增数列 d0; 为递减数列 d0; 为常数列 d=0(2)设 m,n,p,q ,则 m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = + .即在等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列 的前 n 项和,次 n 项和,再次 n 项和,则 , , 依次成等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
3、公比.认知：（1） 为等比数列 =q (nN 且 q 为非零常数)=q (n2，n N 且 q 为非零常数)(2） 为等比数列 (n2 ，且 0 )(n ，且 0)2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(nm) ）http:/ 为等比数列 =c (c,q 均是不为 0 的常数，且 n )（2）前 n 项和公式 认知： 为等比数列 =A +B （其中 n ，且 A+B=0）.3主要性质：（1）设 m,n,p,q ,则有 m+n=p+q ;（2）2m=p+q 即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.（3）设 , , ，分别表示等比
4、数列的前 n 项和，次 n 项和，再次 n 项和，则 , , ，依次成等比数列。（三）等差数列、等比数列的联系与个性等差数列与等比数列定义中的一字之差，导致它们的主要性质具有惊人的相似之处，也造就出它们之间密切联系的必然.然而，它们毕竟是两种不同的数列，各自又必然具有鲜明的个性.因此，认知联系，了解个性，是我们分析和解决等差数列与等比数列综合问题的必要的基础和准备.1.联系（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即 为等比数列且（i=1,2,n,） ( 且 )为等差数列.引申：若 为正项等比数列，且定义 ，则 亦为等差数列.http:/ 1 的正数为底数，则以等差数列各项为指
5、数的方幂依次组成等比数列.即设 a0 且 a1，则 为等差数列 为等比数列.（3） 既是等差数列，又是等比数列 是非零常数列.2.个性（1）倒数等比数列各项的倒数仍成等比数列；除常数列外，等差数列各项的倒数不再成等差数列（它们组成一个新数列，称为调和数列）.（2）中项任何两数的等差中项存在且唯一；只有两个同号数才有等比中项，并且它们的等比中项是互为相反数的两个值.（3）解题策略解决等差数列基本策略：两式相减，消元化简；解决等比数列基本策略：两式相除，消元降幂.特殊数列求和? 1 例 题 ：例 1 求 数 列 ， 167854321的 前 n项 和 Sn. ? 分 析 与 解 答 ： 这 个 数
6、 列 既 不 是 等 差 数 列 又 不 是 等 比 数 列 ， 但 每 一 项都 可 写 成 和 的 形 式 。 因 此 ， 可 将 它 们 化 为 两 个 数 列 的 求 和问 题 ， 其 中 一 个 是 等 差 数 列 ， 另 一 个 是 等 比 数 列 。 .2121)(2)1( )84(53 21)81()4()21(nn nnS ? 1 例 2 求 Sn=-1+3-57+(-1)n(2-1). ? 1 分 析 与 解 答 ： 应 对 n是 奇 数 或 偶 数 进 行 讨 论 。 当 为 偶 数 时 ， 从 第 一 项 开 始 相 邻 的 两 项 结 合 后 均为 2， 共 有 组
7、， Sn=. http:/ 1? 当 n为 奇 数 时 ， 从 第 一 项 开 始 共 有 21n个 2， 最 后 还 有 一项 -(2n-1), Sn=(-1)-(2n-1)=-n. )(为 奇 数为 偶 数n . ? 1 当 n为 奇 数 时 ， 从 第 一 项 开 始 共 有 21n个 2， 最 后 还 有 一项 -(2-1), Sn=(-1)(2n-1)=-. )(为 奇 数为 偶 数 . ?1 例 3 求 数 列 ,4321,21的 前 n项 和 。 ? 1 分 析 与 解 答 ： 这 显 然 不 能 用 通 分 的 办 法 去 解 决 ， 因 此 应 当 从 通 项 入手 ， 再
8、想 办 法 。 )1(2)1(2)(132 nnan 。 )()()3()( Sn 。 此 法 叫 “裂 项 法 ”， 将 每 一 项 均 化 为 两 数 差 的 形 式 ，而 且 每 一 项 的 第 二 个 数 均 与 下 一 项 的 第 一 个 数 互 为 相 反数 ， 从 而 达 到 化 简 的 目 的 。 ?1 例 4 求 数 列 (3-2)(3+1)的 前 n项 和 。 ? 1 分 析 与 解 答 ： (3n-2)(3+1)是 此 数 列 的 通 项 ， 若 按 其 算 出 前 几 项 ，我 们 找 不 到 规 律 ， 无 法 求 Sn. 因 此 ， 我 们 还 要 从 an入手 ，
9、 将 其 变 形 ， 则 an=(3-2)(3+1)=9n2-3， 即 每 一 项也 可 按 变 形 后 的 运 算 得 出 结 果 ： a1=92-31-2 2 a392-3-2 ? 1 ? 依 次 类 推 ， 可 看 出 ， 这 个 数 列 的 前 n项 和 可 以 化 为 三 个数 列 的 前 n项 和 。 .2322)1(3)12)(1(619 )3)3( 2222 nnnnnSn ? 1 依 次 类 推 ， 可 看 出 ， 这 个 数 列 的 前 n项 和 可 以 化 为 三 个数 列 的 前 n项 和 。 .232)1(3)2)(619 )3(222 nnnS http:/ 1 ?
10、 依 次 类 推 ， 可 看 出 ， 这 个 数 列 的 前 n项 和 可 以 化 为 三 个数 列 的 前 n项 和 。 .2322)1(3)12)(1(619 )3)3( 2222 nnnnnSn ? 1 例 5 求 和 ： nn aaS321。 ?1 分 析 与 解 答 ： 显 然 na成 等 比 数 列 ， 其 系 数 构 成 的 数 列 n是 等 差数 列 ， 故 可 用 “错 位 相 减 ”的 方 法 求 前 n项 和 。 当 a=1时 ， 2)1(321Sn ， ? 1 当 a 时 ， nn aa132 141S ， 则 32)( nn aaa )1(1111 na nnn 。
11、? 1 “错 位 相 减 ”本 质 是 合 并 同 类 项 ， 从 而 出 现 新 的 等 比 数 列 。 )1()1(1 aan ? 1 例 6 求 证 ： 等 差 数 列an的 前 项 和 公 式 ： nS。 ? 1分 析 与 解 答 ： 欲 证 2)(1nnaS， 只 须 证 2Sn=(a1+n) n=a1+(1d)+a1(n-)d Sn- - ? 1? 两 式 相 加 得 )( )()(21 11nn nna aaS 个共 ， 2)(1nnaS。 我 们 根 据 等 差 数 列 的 定 义 ， 用 “倒 转 相 加 ”的 方 法 ，可 得 到 n个 a1+n。 从 而 使 公 式 得
12、以 证 明 。 http:/ 1 两 式 相 加 得 )( )()(21 11nnnnaaS个共 ， )(1nnaS。 我 们 根 据 等 差 数 列 的 定 义 ， 用 “倒 转 相 加 ”的 方 法 ，可 得 到 n个 a1+n。 从 而 使 公 式 得 以 证 明 。 ? 1例 7 an是 等 差 数 列 ， 且 an 0， 求 ： naa1321 。 ? 1 分 析 与 解 答 ： 从 各 项 的 形 式 上 看 ， 此 题 应 使 用 “裂 项 法 ”， 既 然 此 数 列是 等 差 数 列 ， 因 此 一 定 要 注 意 使 用 定 义 和 公 式 。 若 将 na1裂 为 nna
13、1， 它 们 不 是 恒 等 变 形 。 因 为nnn11， 其 中 ， an-1=d， 所 以 na1可裂 项 为 )(1nnad。 ? 1 a132 )1()1()(321 naaad nnnn aadadad 1111 )()( 。 ? 1 例 8 等 比 数 列 的 首 项 为 a， 公 比 q 1， Sn为 前 项 和 ， 求 S1+2+Sn。 1 分 析 与 解 答 ： 从 q 1时 ， 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 入 手 ， S1+S2+S3+Sn )1()1()1 )()()()(232nnqqqaaa 2)(ann 其 中 ， S1=a1=a， 用 Sn的 公
14、式 也 适 用 aqS1)(。 http:/ .商数关系： .倒数关系： 4、 诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角 k360 （kZ ） ， ，180 ，360 （共性：偶数90 形式）的三角函数值，等于 的同名函数值，前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号； 90 ，270 （共性：奇数90 ）的三角函数值，等于 的相应余函数值，前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号。两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。（2）诱导公式的引申；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数 两角差的三角函数http:/ 2、倍角公式； ；3、倍角公式的推论推论 1（降幂公式）
15、： ；.推论 2（万能公式）：http:/ 3（半角公式）：；.其中根号的符号由 所在的象限决定.例 2 函 数 y=cos2x-3cosx+2的 最 小 值 为 （ ） 。 A、 B、 0 C、 41 D、 6 分 析 与 解 答 ： 41)23(cosxy， 但 cosx -1,， 而 在 -1，1上 函 数 是 减 函 数 ， =1时 ， 函 数 的 最 小 值为 y=-31+=0， 故 选 B。 注 意 cosx的 范 围 ， 这 是 二 次 函 数 闭 区 间 上 的最 值 问 题 。 例 9 求 tan20+4sin20的 值 。 分 析 与 解 答 ： 角 是 相 同 的 ， 所 以 从 名 称 入 手 ， 化 切 为 弦 ： 20cos4in)i(sin20cos4iin20cosisi si4i420ta .360sin220cos6sin220cos4in8sin 0cos4in120cos40si130si2
