1、- 1 -2008 年考研数学（三）真题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）()fx1,0x0()()xftdg跳跃间断点. 可去间断点.AB无穷间断点. 振荡间断点.CD（2）曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分 等于（ ()yfx()fx0,a0()atfxd）曲边梯形 面积. 梯形 面积.ABBACD曲边三角形 面积. 三角形 面积.CD（3）已知 ，则24(,)xyfe（A） ， 都存在 （B） 不存在， 存在0x(,
2、)yf (0,)xf(0,)yf（C） 不存在， 不存在 （D） ， 都不存在(,)f0（4）设函数 连续，若 ，其中 为图中阴影部分，则 （ ）f 2()(,)uvfyf dxuvDFu（A） （B） （C） （D）2()vfu2f()f()f（5）设 为阶非 0 矩阵 为阶单位矩阵若 ，则（ ）E30A不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.ABEA可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. CD（6）设 则在实数域上域与 合同矩阵为（ ）12A. .A12B21. . CD21（7）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ）,XYXFxmax,ZXY- 2 -. .A2FxBFxy.
3、. C21D1Fy（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）0,XN1,4YXY. .A2PB21P. . CD二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数 在 内连续，则 . 21,()xcf(,)c（10）设 ，则 .341()xf2()_fxd（11）设 ，则 .2,1Dy2Dy（12）微分方程 满足条件 的解 .0x()（13）设 3 阶矩阵 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则 .A 14_AE（14）设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 .X2PX三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸
4、指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分 10 分）求极限 .201sinlimxx(16) （本题满分 10 分）设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 2 阶导数且(,)zy2yzxyz时.1（1）求 dz（2）记 ，求 .1,zuxyxyux(17) （本题满分 11 分）计算 其中 .ma(,),Dd(,)02,Dy(18) （本题满分 10 分）- 3 -设 是周期为 2 的连续函数，fx（1）证明对任意实数 ，有 ；t220tfxdfx（2）证明 是周期为 2 的周期函数0xtGfst(19) （本题满分 10 分）设银行存款的年利率为 ，并依年复
5、利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，实现第一年提取.5r19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分 12 分）设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ，221naAa AXB1,Tnx，1,0B（1）求证 ;1nA（2） 为何值，方程组有唯一解;a（3） 为何值，方程组有无穷多解.（21） （本题满分 10 分）设 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，12,aA1,3a323Aa证明（1） 线性无关；12,（2）令 ，求 .3,P1P（22） （本题满分 11 分）
6、设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的概率密度为XYX1,03PXiY，记10Yyfy其 它 ZY（1）求 ；02PX（2）求 的概率密度Z（ 23） （本题满分 11 分）是总体为 的简单随机样本.记 ， ，12,nX 2(,)N1niiX221()niiSX- 4 -.21TXSn（1）证 是 的无偏估计量.2（2）当 时 ，求 .0,1DT- 5 -2008 年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】 B【详解】 ，00 0()lim()lilimxx xftdgff所以 是函数 的可去间断点(2)【答案】 C【详解】 000 0()()()()()aaaaxfdxffx
7、fdxffxd其中 是矩形 ABOC 面积， 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以 为曲边三角形的0a 0()afx面积(3)【答案】 B【详解】2400 0(,)(,)1(,)limlimlixxxxffeef ，001lili1xxee00lilixx故 不存在(,)xf 2420 20 00(,)(,)1,limlimlilimyyyy y yffeef 所以 存在故选 .(,)yfB(4)【答案】 A【详解】用极坐标得 22()2011, ()vuufrDfuvFvddvfrd所以 .2vfu(5)【答案】 C【详解】 ， .23()EAEA23()EAE故 均可逆,(6)【答案】 D【
8、详解】记 ，则 ，12 21142ED- 6 -又 ，21142EA所以 和 有相同的特征多项式，所以 和 有相同的特征值.DAD又 和 为同阶实对称矩阵，所以 和 相似由于实对称矩阵相似必合同，故 正确.D(7)【答案】【详解】 .2max,Z ZZFzPXYzPzYFzz(8)【答案】 【详解】 用排除法. 设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除 、b1XY,0aAC由 ，得 (0,1)(,4)XNY0,E所以 所以 . 排除 . 故选择 .EaXab1BD二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知 ，所以|0cx2,()1,xcf因为 ，22limli(1)xcxcf2limlixcxcf
9、又因为 在 内连续， 必在 处连续(),(f所以 ，即 .lili)xcxcff 21c(10)【答案】 1n32【详解】 ，令 ，得221xxfx1tx2tf所以 .22211lnln6ln3xfxddx(11)【答案】 4【详解】 2 221()DDDxydxdyxyd利 用 函 数 奇 偶 性.1204r- 7 -(12)【答案】 1yx【详解】由 ，两端积分得 ，所以 ，又 ，所以 .d1lnyxCxCy(1)y1yx(13)【答案】3【详解】 的特征值为 ，所以 的特征值为 ，A1,21A,2所以 的特征值为 ， ，14E43441所以 .3B(14)【答案】 12e【详解】由 ，得
10、 ，又因为 服从参数为 1 的泊松分布，所以22()DXE22()EXDX，所以 ，所以 .1211Pe！三、解答题(15) 【详解】方法一： 22001sin1sinliml1xxx32000coilililm6xxx方法二： 2 2301sncsncosinilii2xx洛 必 达 法 则201li6x洛 必 达 法 则(16) 【详解】(I) dyzxyzdyz1z221xyd1(II) 由上一问可知 ，2,zxzy所以 1112,()()1yxuxyxyx- 8 -所以 .2233(1)(1) (12)(12)xzu xxxx (17) 【详解】 曲线 将区域分成两y个区域 和 ，为了
11、便于计算继续对1D23区域分割，最后为 max,Dyd123Dxdy122 1002xxdy51lnl49(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数 ，t20220t ttfxdfxfxdfxd 令 ，则u 2 00t t tuufxd所以 202 20 0t t tfxfxfxfx (II) 由(1)知，对任意的 有 ，记 ，则2td afx. 所以，对任意的 ，0()2xGfudaxx20 0()()2fufudx2xf da所以 是周期为 2 的周期函数.G方法二：(I) 设 ，由于 ，所以 为常数，从而有()()tFfx()2)(0Ftfft()Ft. 而 ，所以 ，
12、即 .()0t20d0xd220tfxdfx(II) 由(I) 知，对任意的 有 ，记 ，则t220tfxf 0aO 0.5 2 xD1D3 D2- 9 -， 0()2xGfudax 20()(2)xGfudax由于对任意 ， ，(2)()fa(Gfa所以 ，从而 是常数0x 2x即有 ()()(GG所以 是周期为 2 的周期函数.x(19) 【详解】方法一：设 为用于第 年提取 万元的贴现值，则nA(109)n()109)nAr故 111110209()()()()nnnnnnrrr 设 1(),nSxx因为 21()()(1,)(1)nx所以 (万元)420.5Sr故 (万元)，即至少应存
13、入 3980 万元.20938A方法二：设第 年取款后的余款是 ，由题意知 满足方程ttyty， 即 (1)1(.5)()t ty1.05(9)ttt(1)对应的齐次方程 的通解为 1.05tty.05ttyC设(1)的通解为 ，代入(1)解得 ，*tab8a3b所以(1)的通解为 (.)39ttyC由 ， 得 0yAt0AC故 至少为 3980 万元(20) 【详解】(I)证法一：- 10 -2 2212113012130434(1)2()1()0 nnn aaAraaaanaran 证法二：记 ，下面用数学归纳法证明 |nDAnnDa当 时， ，结论成立112a当 时， ，结论成立n223
14、假设结论对小于 的情况成立将 按第 1 行展开得nD21 2212101()(1)nnnnnnnaDaa a 故 |()A证法三：记 ，将其按第一列展开得 ，|nD 21nnnD所以 211 2()nnaaa2321()nn- 11 -即 1212()nnnnnDaaDa 21() 1()nn(II) 因为方程组有唯一解，所以由 知 ，又 ，故 AxB0(1)nAa0由克莱姆法则，将 的第 1 列换成 ，得行列式为nDb22 12 2(1)1101 nn naa Daaa 所以 1()nDx(III) 方程组有无穷多解，由 ，有 ，则方程组为0Aa121100nxx 此时方程组系数矩阵的秩和增
15、广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数10,TTk k (21)【详解】(I)证法一：假设 线性相关因为 分别属于不同特征值的特征向量，故 线性无关，则123,12,12,可由 线性表出，不妨设 ，其中 不全为零(若 同时为 0，则 为3 312l12,ll30，由 可知 ，而特征向量都是非 0 向量，矛盾)23A201,，又323212l31212()All，整理得：1l0- 12 -则 线性相关，矛盾. 所以， 线性无关.12,123,证法二：设存在数 ，使得 (1)3,k10kk用 左乘(1)的两边并由 得A,A2(2)1233()kk(1)(2)得 (3)0因为 是
16、 的属于不同特征值的特征向量，所以 线性无关，从而 ，代入(1)12,A12, 130k得 ，又由于 ，所以 ，故 线性无关.20k02k123,(II) 记 ，则 可逆，123(,)PP123(,)AA123(,)1230(,)0所以 .101PA(22)【详解】(I) 1201(0,)112(0)()()22PXYPZXPYPdy(II) )ZFzzz,1,0,1YXYXYz1,PzPzPzP 13YzzYz()(1)YFF- 13 -所以 1()()(1)3ZYYfzfzfzf,230z其 它(23) 【 详 解 】 (I) 因为 ，所以 ，从而 2(,)XN:2(,)XNn:2,EXDn因为 21()ETSn21ES2)()D2n所以， 是 的无偏估计2(II)方法一： ， ，22()()TE()0T2()1ES所以 2D4422Xn42421()()()S因为 ，所以 ，0,1XN:0,Nn:有 ，EDn22EX所以24221()()()()()DXEXn2221()nX23n4221ESSES因为 ，所以 ，22(1)()()nWn:2(1)DWn又因为 ，所以 ,所以2()DS2(1)4()ES所以 .2231nETn()方法二：当 时0,- 14 -(注意 和 独立)21()DTXSnX2S222 221(1)()DDnSn
