1、- 1 -2004 年考研数学（三）真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）(1) 若 ，则 a =_，b =_.5)(cosinlm0bxaex(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0，则 .2fuv(3) 设 ，则 .21,)(2xexf 21()fd(4) 二次型 的秩为 .21322131 )()()(),( xxf (5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布, 则 _.XDXP(6) 设总体 服从正态分布 , 总体 服从正态分布 , 和 )(
2、21NY)(2N1,21nX分别是来自总体 和 的简单随机样本, 则2,1nY Y.12212()()nni ji jXE二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数 在下列哪个区间内有界 .2)(1sin|)(xxf(A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). (8) 设 f (x)在( , + )内有定义，且 ， ，则axf)(lim0,)1()xfxg(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0
3、 必是 g(x)的第二类间断点.(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. (9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0) 不是曲线 y = f (x)的拐点.(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0) 也不是曲线 y = f (x)的拐点. (10) 设有下列命
4、题：- 2 -(1) 若 收敛，则 收敛.12)(nnu1nu(2) 若 收敛，则 收敛.10n(3) 若 ，则 发散.limnuu(4) 若 收敛，则 ， 都收敛.1)(nv1nnv则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). (11) 设 在a , b上连续，且 ，则下列结论中错误的是)(xf 0)(,)(bfaf(A) 至少存在一点 ，使得 f (a).,0bx(B) 至少存在一点 ，使得 f (b).)(x)0f(C) 至少存在一点 ，使得 .,0ax(D) 至少存在一点 ，使得 = 0. )(bx)(0f(
5、12) 设 阶矩阵 与 等价, 则必有nAB(A) 当 时, . (B) 当 时, .)0(|aa| )0(|aAaB|(C) 当 时, . (D) 当 时, . | |(13) 设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的nA,*4321,bAx互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系0Ax(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. (14) 设随机变量 服从正态分布 , 对给定的 , 数 满足 , X)10(N)1(uuXP若 , 则 等于xP|(A) . (B) . (C) . (D) . 2u21u
6、21u1三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分 8 分)求 .)cossinlm20xx- 3 -(16) (本题满分 8 分)求 ，其中 D 是由圆 和 所围成的Ddyx2 42yx1)(2yx平面区域(如图).(17) (本题满分 8 分)设 f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)， .dtt)( badtgtf)()(证明： .aagf(18) (本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性 (
7、0)；dE(II) 推导 (其中 R 为收益)，并用弹性 说明价格在何范围内变化时，1dPRdE降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分 9 分)设级数 )(8642426 xxx的和函数为 S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20)(本题满分 13 分)设 , , , , T021T)3,21(2Tb)2,1(3T)3,1(试讨论当 为何值时 , ba,() 不能由 线性表示;321() 可由 唯一地线性表示, 并求出表示式; ,() 可由 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 321(21) (本题满分 13 分)设 阶矩阵n-
8、4 -.1 bA() 求 的特征值和特征向量;() 求可逆矩阵 , 使得 为对角矩阵.P(22) (本题满分 13 分)设 ， 为两个随机事件,且 , , , 令AB41)(A31)|(BP21)|(BA不X0,1.0,不Y求() 二维随机变量 的概率分布;),(Y() 与 的相关系数 ; XX() 的概率分布. 2Z(23) (本题满分 13 分)设随机变量 的分布函数为不不xxF0,1),(其中参数 . 设 为来自总体 的简单随机样本,1,0nX,2() 当 时, 求未知参数 的矩估计量;() 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量; () 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量. 2-
9、5 -2004 年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）(1) 若 ，则 a = ，b = .5)(cosinlm0bxaex 14【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为 ，且 ，所以)(csil0xex 0)(cosinlm0bxx，得 a = 1. 极限化为)(limx，得 b = 4.51)(cosli)cosnli 00 bxbxe因此，a = 1，b = 4.【评注】一般地，已知 A，)(limxgf(1) 若 g(x) 0，则 f (x) 0；(2) 若 f (x) 0，且 A 0，则 g(x) 0
10、.(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0，则 .22g【分析】令 u = xg(y)，v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) = ，)(g所以， ， .)(1gf)(2vf(3) 设 ，则 .21,)(2xexf 21)(21dxf【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令 x 1 = t， 12122 )()()( dtxftfdxf .)
11、(0)(2121dex- 6 -【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型 的秩为 2 .213221321 )()()(),( xxxxf 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为 213221321 )()()(),( xxxxf 23122 于是二次型的矩阵为 ,A由初等变换得 ,03213021从而 , 即二次型的秩为 2. 2)(Ar【详解二】因为 21322131 )()()() xxxxf 3232221x3)()( xx, 221y其中 .,2131xx32x
12、y所以二次型的秩为 2.(5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布, 则 .XDXPe1【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于 , 的分布函数为21D.0,)(xexF故.DXP1DXP1P)(Fe1【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体 服从正态分布 , 总体 服从正态分布 ,)(21NY)(2N- 7 -和 分别是来自总体 和 的简单随机样本, 则1,21nX 2,nY XY.22121 )()( Ejjii 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 , ,21)(Xnii 212)(2YnEjj故
13、应填 .2【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数 在下列哪个区间内有界 .2)(1sin|)(xxf(A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). A 【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限 与 存在，则函数 f (x)(limxfa)(lixfb在(a , b) 内有界.【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f ( x)连续，而 ， ，183sin)(li1xf
14、x 42sin)(lim0xf， ， ，4sin)(lim0fx )(li1fx)(lim2fx所以，函数 f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间 a , b上连续，则 f (x)在闭区间 a , b上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 与 存在，则函数 f (x)在开区间( a , b)内有界.lia)(lixf(8) 设 f (x)在( , + )内有定义，且 ，则0,1(xfg(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.(C) x = 0 必是 g(x)的
15、连续点.(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. D 【分析】考查极限 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 ，lim xu1- 8 -可将极限 转化为 .)(lim0xg)(lixf【详解】因为 = a(令 )，又 g(0) = 0，所以，)lim10ufxxx1当 a = 0 时， ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时，)(li，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x )在点 x = 0 处的连续性)(ligx与 a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设 f
16、 (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0) 不是曲线 y = f (x)的拐点.(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0) 也不是曲线 y = f (x)的拐点. C 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】
17、设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点.显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ( , 0)时，f (x ) = x(1 x)， ，2(f当 x (0 , )时，f ( x) = x(1 x)， ，所以 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.02f故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题：(1) 若 收敛，则 收敛.12)(nnu1nu(2) 若 收敛，则 收敛.10n(3) 若 ，则 发散.limnuu(4) 若 收敛，则 ， 都收敛.1)
18、(nv1nnv则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令 ，显然， 分散，而 收敛.nu)1(1nu12)(nnu- 9 -(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由 可得到 不趋向于零(n )，所以 发散.1limnuu1nu(4)是错误的，如令 ，显然， ， 都发散，而v,1nnv收敛. 故选(B).1)(nvu【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本
19、题型.(11) 设 在a , b上连续，且 ，则下列结论中错误的是)(xf 0)(,)(bfaf(A) 至少存在一点 ，使得 f (a).,0bx(B) 至少存在一点 ，使得 f (b).)(x)0f(C) 至少存在一点 ，使得 .,0ax(D) 至少存在一点 ，使得 = 0. D )(bx)(0f【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知 在a , b上连续，且 ，则由介值定理，)(f 0)(,)(bfaf至少存在一点 ，使得 ；0bax0)(xf另外， ，由极限的保号性，至少存在一点)(lim)(ffax ),(0bax使得 ，即
20、. 同理，至少存在一点00ff )(0afxf ),(使得 . 所以，(A) (B) (C) 都正确，故选(D).)(bfxf【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设 阶矩阵 与 等价, 则必有nAB(A) 当 时, . (B) 当 时, .)0(|aa| )0(|aAaB|(C) 当 时, . (D) 当 时, . D | |【分析】 利用矩阵 与 等价的充要条件: 立即可得.AB)(r【详解】因为当 时, , 又 与 等价, 故 , 即 , 故选(D). 0|nr)(ABn0|B- 10 -【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设
21、 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的nA,0*4321,bAx互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系0Ax(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数= , 而且)(rn.1)(,0,1,)(*nArr根据已知条件 于是 等于 或 . 又 有互不相等的解, ,*)(rn1bAx即解不惟一, 故 . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).)(r【评注】本题是对矩阵 与其伴随矩阵
22、的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考A*查.(14) 设随机变量 服从正态分布 , 对给定的 , 数 满足 , X)10(N)10(uuXP若 , 则 等于xP|(A) . (B) . (C) . (D) . C 2u21u21u1【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由 , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得xX|. 故正确答案为(C).21P【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分 8 分)求 .cos
23、sin1lm20xx【分析】先通分化为“ ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.0【详解】 xxx 2020 sincolim)cossin1(l = .346)(21lim64s1li41li4lim0203020 xxxx- 11 -【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“ ”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.0(16) (本题满分 8 分)求 ，其中 D 是由圆 和 所围成的平面区域( 如图).Ddyx2 42yx1)(2yx【分析】首先，将积分区域 D 分为大圆 减去小圆|),(1，再利用对称性与极坐标计算即可.)1(|,22yxy【详解】令 ，1)(|,4|
24、 22yxy由对称性， .0Dd2122Ddyxdyxyx .cos0230rdr)(9163所以， .)23(9162Ddyx【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) (本题满分 8 分)设 f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)， .dtt)( badtgtf)()(证明： .aagf【分析】令 F(x) = f (x) g(x)， ，将积分不等式转化为函数不等式即可.xadtFG)(【详解】令 F(x) = f (x) g(x)， ，由题设 G(x) 0，x
25、a , b，G(a) = G(b) = 0， .)(F从而 ， babaa dxGdxxGd)()(由于 G(x) 0，x a , b，故有- 12 -，0)(badxG即 .F因此 .babaxgxf)()(【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性 ( 0)；dE(II) 推导 (其中 R 为收益) ，并用弹性 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而1dPRdE使收益增加.【分析】由于 0，所以 ；由 Q =
26、 PQ 及 可推导EdPPQd.)1(dQPR【详解】(I) .20(II) 由 R = PQ，得.)1()1(dEQdPdQP又由 ，得 P = 10.20Ed当 10 1，于是 ，d0R故当 10 0 时，需求量对价格的弹性公式为 .dE dPQEd利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：， ， ，QdpR)1(QRd)1(pRd)1(收益对价格的弹性 ).dEp(19) (本题满分 9 分)设级数- 13 -)(8642426 xxx的和函数为 S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.【分析】对 S(x)进行求导，可得到 S(x)所满
27、足的一阶微分方程，解方程可得 S(x)的表达式.【详解】(I) ，8642426易见 S(0) = 0， )(753xx)642(2.)(xS因此 S(x)是初值问题的解.0)(,23yy(II) 方程 的通解为x23Cdxeyxd，1由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1.故 ，因此和函数 .2xey 12)(xexS【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002 年考过类似的题.(20)(本题满分 13 分)设 , , , , T01( T)3,21(2 Tb),1(3 T)3,1(试讨论当 为何值时 , ba,() 不能由 线性表示;321- 14 -() 可由 唯一地线性
28、表示, 并求出表示式; 321,() 可由 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将 可否由 线性表示的问题转化为线性方程组321 kk321是否有解的问题即易求解.【详解】 设有数 使得,321k. (*)32记 . 对矩阵 施以初等行变换, 有),(321A)(A.32011),(ba 001ba() 当 时, 有a.101),(A可知 . 故方程组(*)无解, 不能由 线性表示.),()r321,() 当 , 且 时, 有0ab0011),(baA01a, 方程组(*)有唯一解：3),()r, , ak1k203此时 可由 唯一地线性表示, 其表示式为321,21)()
29、当 时, 对矩阵 施以初等行变换, 有0ba)(A- 15 -，0011),(baA01a, 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为2),()r, , ， 其中 为任意常数ak1ck2k3c可由 线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321,321)()(c【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分 13 分)设 阶矩阵n.1 bA() 求 的特征值和特征向量;() 求可逆矩阵 , 使得 为对角矩阵.P【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程和齐次线性方程组 来解决.0|AE 0)(xAE【详解】 () 当 时，1b1|
30、 bAE ,)()1( nn得 的特征值为 ， Abn2对 ，b)(1- 16 -bnbnAE )1()1()(1 )1(1)(nn 0011 n 0011 n00 nn01 解得 ，所以 的属于 的全部特征向量为T)1,(1A1( 为任意不为零的常数) k, k对 ，b2bbAE 2 01 得基础解系为， ， T)0,1,(2T)0,1,(3Tn)1,(,故 的属于 的全部特征向量为A( 是不全为零的常数) nkk32 nk,32当 时，0b,nAE )1(01| 特征值为 ，任意非零列向量均为特征向量11n- 17 -() 当 时， 有 个线性无关的特征向量，令 ，则10bAn ),(21
31、nP bbP1)1(1 当 时， ，对任意可逆矩阵 , 均有20bEAP P1【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.(22) (本题满分 13 分)设 ， 为两个随机事件,且 , , , 令AB41)(AP31)|(B21)|(BAP不X0,1.0,不Y求() 二维随机变量 的概率分布;),(Y() 与 的相关系数 ; XX() 的概率分布. 2Z【分析】本题的关键是求出 的概率分布，于是只要将二维
32、随机变量 的各取值对转化为随机),(Y ),(YX事件 和 表示即可AB【详解】 () 因为 ， 于是 ，12)|()(ABPA 61)|()BAP则有 ，1,YXP，6)()(0，12,ABPBA，32)()()(1)( ABPPYXP( 或 )，3620,即 的概率分布为：),- 18 -YX0 101322611() 方法一：因为 ， ， ，4)(APEX)(BPEY2)(XYE， ，12 62， ，3)(D165)(22D，41,(EXYYXCov所以 与 的相关系数 5),(CovY方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P P 436则 ， ，DY= , E(XY
33、)= ,6,1ED352故 ，从而241)()( EYXYXCov.5,ovY() 的可能取值为： 0，1， 2 Z，3,YXP，41,0YXP，12,2Z即 的概率分布为：0 1 2 P 34【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23) (本题满分 13 分)- 19 -设随机变量 的分布函数为X不不xxF0,1),(其中参数 . 设 为来自总体 的简单随机样本,1,0nX,2() 当 时, 求未知参数 的矩估计量;() 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量; () 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量. 2【分析
34、】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】 当 时, 的概率密度为1X不不10,),(1xxf() 由于 11,);( dxdfEX令 , 解得 , 1X所以, 参数 的矩估计量为 .1() 对于总体 的样本值 , 似然函数为Xnx,21 ni ini nxfL1 121 .,0),2,1(,)();()( 不当 时, , 取对数得),2(1ixi)(,niixnL1lll对 求导数，得- 20 -，niixdL1l)(ln令 ， 解得 ，0l)(l1nii niix1l于是 的最大似然估计量为 nii
35、x1l( ) 当 时, 的概率密度为2X不不xxf0,2),(3对于总体 的样本值 , 似然函数为Xn,21ni ini nxxxfL1 321 .,0),2,1()();()( 不当 时, 越大， 越大, 即 的最大似然估计值为),2(ixi)(L,min21nx于是 的最大似然估计量为 ,i21nX- 21 -2005 年考研数学（三）真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）极限 = .12sinlmxx（2） 微分方程 满足初始条件 的特解为_.0y2)1(y（3）设二元函数 ，则 _.ln)(ezx )0,1(dz（4）设行向量组
36、 ， ， ， 线性相关，且 ，则 a=_.)1,2(,a),3(41a（5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 中任取一个数，记为 Y, 则X,2=_.YP（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件 与 相互独立，则 a= ， b= .二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当 a 取下列哪个值时，函数 恰好有两个不同的零点.axxf 129)(3(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. （8）设
37、, , ,其中dyxID21cos dyID)cos(2 dyxID23)cos(，则),(2yx(A) . （B ） .123II321II(C) . (D) . 3 3（9）设 若 发散， 收敛，则下列结论正确的是,21,0na1na1)(nna(A) 收敛， 发散 . （B ） 收敛， 发散.12n12n 12n12na(C) 收敛. (D) 收敛. )(12nna)(12nna（10）设 ,下列命题中正确的是xxfcosi)- 22 -(A) f(0)是极大值， 是极小值. （B） f(0)是极小值， 是极大值.)2(f )2(f（C） f(0)是极大值， 也是极大值. (D) f(0
38、)是极小值， 也是极小值. （11）以下四个命题中，正确的是(A) 若 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界 . )(xf（B）若 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界 . （C）若 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界 . )(xf(D) 若 在（0，1）内有界，则 在（0，1）内有界. )(xf（12）设矩阵 A= 满足 ，其中 是 A 的伴随矩阵， 为 A 的转置矩阵. 若3)(ijaTA*T为三个相等的正数，则 为132,a1(A) . (B) 3. (C) . (D) . 33（13）设 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为
39、，则 ，21, 21,1线性无关的充分必要条件是)(21A(A) . (B) . (C) . (D) . 0102102（14） 设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件，),(2N,测得样本均值 ，样本标准差 ，则 的置信度为 0.90 的置信区间是)(2cmxcms(A) (B) ).16(40,1640(5.5. tt ).16(420),16(420( tt(C) (D) )( 5),5.1.t三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15） （本题满分 8 分）求 ).1(lim0xex（16） （
40、本题满分 8 分）设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求)(),(yxffyxg.22ygx（17） （本题满分 9 分）- 23 -计算二重积分 ，其中 .dyxD12 10,),(yxyD（18） （本题满分 9 分）求幂级数 在区间(-1,1)内的和函数 S(x).12)(nnx（19） （本题满分 8 分）设 f(x),g(x)在0，1 上的导数连续，且 f(0)=0, , .证明：对任何 a ,有0)(xf)(g10a adxgfdxfg010 .1)()(（20） （本题满分 13 分）已知齐次线性方程组（i） ,0532,132ax和（ii） ,)1(2321xcbx同解，求 a
41、,b, c 的值.（21） （本题满分 13 分）设 为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 矩阵.BCADT nm(I) 计算 ，其中 ；PnmEoA1（II）利用(I )的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论.CBT1（22） （本题满分 13 分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,1,),(其 他 xyxyxf 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 ；)(,fYX（II） 的概率密度YXZ2.zZ( III ) .1P（23） （本题满分 13 分）- 24 -设 为来自总体 N(0, )的简单随机样本， 为样本均值，记)2(,21nX 2X
42、.iYii 求：（I） 的方差 ；iYniD,1,（II） 与 的协方差1n).(YCov（III ）若 是 的无偏估计量，求常数 c. 2)(c- 25 -2005 年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）极限 = 2 .1sinlm2xx【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 =il2x .1li2x（2） 微分方程 满足初始条件 的特解为 .0y)(y2xy【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 ，积分得 ，)(xCx代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2.（3）
43、设二元函数 ，则 .)1ln(yezyx )0,1(dzdyex)2(【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】 ,)l(xyxy,ezy1于是 .)0,1(ddx)2(（4）设行向量组 ， ， ， 线性相关，且 ，则 a= .,),a),123(),4(1a2【分析】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a.【详解】 由题设，有, 得 ，但题设 ，故1234a0)12(21,a1a.2（5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 中任取一个数，记为 Y, 则X,= .YP48【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 = +2121XYP22XYP+ +33 44- 26 -= .4813)20(41（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件 与 相互独立，则 a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】 首先所有
