1、椭圆 与双曲线- 经典结论椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处 的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5. 若 0(,)Pxy在椭圆21xyab上， 则过 0P的椭圆的切 线方程是 021xyab.6. 若 ,在椭圆 2外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 0xy.7. 椭圆 xyab (ab0) 的
2、左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F，则椭圆的焦点角形的面 积为 12tanPSb.8. 椭圆 xy（ab0）的焦半径公式：1|Me, 20|ex( 1,)Fc , 2(0)0,)Mxy).9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点， A 为椭圆长轴 上一个顶点， 连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点， A1P 和A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 2xyab的不平行于对称
3、轴的弦， M ),(0yx为 AB 的中点， 则2OMABk，即 02yaxbKAB。12. 若 0(,)Pxy在椭圆 21x内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是02ab.13. 若 0(,)xy在椭圆21xyab内， 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是202xyab.双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处 的内角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内
4、切：P 在右支；外切：P在左支）5. 若 0(,)Pxy在双曲线21xyab（a0,b0）上，则过 0的双曲线的切线方程是21ab.6. 若 0(,)xy在双曲线2xy（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 021xyb.7. 双曲线 ab（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 12F，则双曲线的焦点角形的面 积为 12tPSco.8. 双曲线 xy（a0,bo）的焦半径公式：( (,0) , 2()当 0(,)M在右支上时， 10|MFexa, 2|exa.当 在左支上时， , 0F9. 设过双
5、曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线 xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M ),(0yx为 AB 的中点，则 02KABOM，即 02yxbAB。12. 若 0(,)Pxy在双曲线 1xya（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是202ab.13. 若
6、 0(,)Pxy在双曲线21xyab（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是202ab.椭圆与双曲线推导的经典结论椭 圆1. 椭圆21xyab（abo）的两个顶点为 1(,0)Aa, 2()，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 1xb.2. 过椭圆 xyab (a 0, b0)上任一点 0(,)y任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且20BCxka（常数）.3. 若 P 为椭圆21xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点, 12F, 21，则 tant2co.4. 设椭圆 2
7、xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF 1F2 中， 记 12P, 12P, 12FP，则有sincea.5. 若椭圆21xyb（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为椭圆21xyab（ab0）上任一点,F 1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点， 则211|2|AFPAF,当且仅当 2,P三点共线时，等号成立.7. 椭圆2200()()1xyab与直线 0AxByC有公共点的充要条件是2 2ABx.8. 已知椭圆2（
8、ab0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OPQ.（1） 2221|b;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为24ab;（3）S的最小值是 a.9. 过椭圆21xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 |2eMN.10. 已知椭圆21yab（ ab0） ,A、B、是 椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 (,)x, 则220abx.11. 设 P 点是椭圆21yab（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F2为其焦点记12F，则(1)212|cosPF.(2) 12tanPFSb.12.
9、设 A、B 是椭圆2xyab（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，P, A, B，c、e 分别是椭圆 的半焦距离心率，则有(1)2|cos| .(2) 2tn1.(3) 2cotPABabS.13. 已知椭圆21xyab（ ab0）的右准线 l与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C在右准线 l上，且 Cx轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以 长轴为直径的 圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.1
10、6. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶 点的内、外角平分 线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到 椭圆中心的比例中 项.椭圆与双曲线的经典结论双曲线1. 双曲线21xyab（a 0,b0）的两个顶点为 1(,0)Aa, 2()，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是21xb.2. 过双曲线2xyab（a0,bo）上任一点 0(,)xy任意作两条倾斜角互补的直线交双
11、曲线于 B,C 两点， 则直线 BC 有定向且20BCxka（常数）.3. 若 P 为双曲线21xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12F, 21PF，则 tantcco（或tantcco）.4. 设双曲线21xyb（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF 1F2 中， 记 12P, 12, 12P，则有 sin()cea.5. 若双曲线21xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e 2时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d与 PF2 的比例
12、中项.6. P 为双曲线21xyab（a0,b0）上任一点,F 1,F2为二焦点， A 为双曲线内一定点，则 21|AFPF,当且仅当 2,P三点共 线且 和2,在 y 轴同侧时，等号成立 .7. 双曲线21xab（a 0,b0）与直线 0AxByC有公共点的充要条件是 2ABC.8. 已知双曲线2y（ba 0）， O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且 OPQ.（1） 2221|;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为24ab;（3） OPQS的最小值是 ab.9. 过双曲线21xy（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于
13、 P，则 |2eMN.10. 已知双曲线21xyab（a0,b0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 (,)x, 则20ab或20abx.11. 设 P 点是双曲线21yab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F2为其焦点记 12F，则(1)22|cosbPF.(2) 12cotPFSb.12. 设 A、B 是双曲线21xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， P, A, B，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)2|cos|.(2) 2tan1e.(3) 2cotPABabS.13. 已知双曲线2xyb（a0,b0）的
14、右准线 l与 x 轴相交于点 E，过双曲线右焦点 F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C在右准线 l上，且 BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以 长轴为 直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲 线中心的比例中 项.
