1、 2003 年 4 月 晋东南师范专科学校学报 Apr. ,2003 第 20 卷 第 2 期 Journal of Jindongnan Teachers College Vol. 20. NO. 2收稿日期 :2002 12 25作者简介 :张文丽 (1971 ) ,女 ,山西晋城人 ,助教 ,主要从事高等代数教学研究。利用范德蒙德行列式的结论计算行列式张文丽(晋东南师专数学系 ,山西长治 046011)摘 要 :文章借助于行列式的运算、性质、拉普拉斯定理等 ,给出了利用范德蒙德行列式的结果来计算行列式的几个例子。关键词 :拉普拉斯定理 ;范德蒙德行列式 ;行列式的性质。中图分类号 :O1
2、51122 文献标识码 :A 文章编号 :1009 - 0266(2003) 02 - 0052 - 02范德蒙德行列式的标准规范形式是 :Dn =1 1 1x1 x2 xnx21 x22 x2n xn - 11 xn - 12 xn - 1n= n i j l( xi - xj)根据范德蒙德行列式的特点 ,将所给行列式化为范德蒙德行列式 ,然后利用其结果计算 .常见的化法有以下几种 :1. 所给行列式各列 (或各行 ) 都是某元素的不同次幂 ,但其幂次数的排列与范德蒙德行列式不完全相同 ,需利用行列式性质 (如提取公因式 ,调换各行 (或各列 ) 的次序 ,拆项等 )将行列式化为范德蒙德行列
3、式 .例 1 计算Dn =1 1 12 22 2 n3 32 3 nn n2 nn解 :Dn 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列 ,但不是从 0 变到 n - 1 ,而是由 1 递升至 n ,如提取各行的公因数则方幂次数便从 0 变到 n - 1Dn = n !1 1 1 11 2 22 2 n - 11 3 32 3 n - 1 1 n n2 nn - 1=n ! (2 - 1) (3 - 1) . . . (n - 1) (3 - 2) . . . (n - 2) . . . n -(n - 1) = n ! (n - 1) ! (n - 2) ! 2 ! 1 !例 2 计算
4、Dn + 1 =an ( a - 1) ( a - n) nan - 1 ( a - 1) n - 1 ( a - n) n - 1 a a - 1 a - n1 1 1解 :本项中行列式的排列规律与范德蒙德行列式的排列规律正好相反 ,为使 Dn + 1中各列元素的方幂次数自上而下递升排列 ,将第 n + 1 行依次与上行交换直至第 1 行 ,第 n行依次与上行交换直至第 2 行 第 2 行依次与上行交换直至第 n 行 ,于是共经过 n + (n - 1) + (n - 2) + + 2 + 1= n ( n + 1)2 次行的交换得到 n + 1 阶范德蒙德行列式 :Dn + 1 = ( -
5、 1) n ( n + 1)21 1 1a a - 1 a - n an - 1 ( a - 1) n - 1 ( a - n) n - 1an ( a - 1) ( a - n) n= ( - 1) n ( n + 1)2 (a - 1a)(a - 2 - a) (a - n - a) a - 2 - (a - 1) a - n - (a -(a - 1) ) = nk = 1K!若 Dn 的第 i 行 (列 )由两个分行 (列 ) 所组成 ,其中任意相邻两行 (列 )均含相同分行 (列 ) ;且 Dn 中含有由 n 个分行(列 )组成的范德蒙德行列式 ,那么将 Dn 的第 i 行 (列 )
6、 乘以25- 1 加到第 (i + 1) 行 (列 ) ,消除一些分行 (列 ) ,即可化成范德 蒙德行列式 :例 3.D =1 1 1 11 + sin 1 1 + sin 2 1 + sin 3 1 + sin 4sin 1 + sin2 1 sin 2 + sin2 2 sin 3 + sin2 3 sin 4 + sin2 4sin2 1 + sin3 1 sin2 2 + sin3 sin2 3 + sin3 3 sin2 + sin3 4解 :将 D 的第 1 行乘以 - 1 加到第 2 行得 :1 1 1 11 + sin 1 1 + sin 2 1 + sin 3 1 + si
7、n 4sin 1 + sin2 1 sin 2 + sin2 2 sin 3 + sin2 3 sin 4 + sin2 4sin2 1 + sin3 1 sin2 2 + sin3 sin2 3 + sin3 3 sin2 + sin3 4再将上述行列式的第 2 行乘以 - 1 加到第 3 行 ,再在新行列式中的第 3 行乘以 - 1 加到第 4 行得 :D =1 1 1 1sin 1 sin 2 sin 3 sin 4sin2 1 sin2 2 sin2 3 sin2 4sin3 1 sin3 2 sin3 3 + sin3 4= 1 j k l ( xj - xk) 通过比较系数得 :D
8、 = x1x2 xn ( 6ni = 11xi ) n j k l ( xj - xk)3. 拉普拉斯展开法 :运用公式 | D| = M1A1 + M2A2 + + MtAt 来计算行列式的值 :例 计算 D =1 0 x1 0 x1 n - 1 00 1 0 y1 0 y1 n - 11 0 x2 0 x2 n - 1 00 1 0 y2 0 y2 n - 1 1 0 xn 0 xnn - 1 00 1 0 yn 0 ynn - 1解 :取第 1、 3、 . . . 2n - 1 行 ,第 1、 3、 . . . 2n - 1 列展开得 :D =1 x1 xn - 111 x2 xn -
9、12 1 xn xn - 1n1 y1 yn - 111 y2 yn - 12 1 yn yn - 1n= n j i l( xj - xi) ( yj - yi)4. 乘积变换法 :例 :设 Sk = x1k + x2k + . . . + xnk = 6ni = 1xki (k = 0、 1. . . 2n - 2)计算 D =S0 S1 Sn - 1S1 S2 Sn Sn - 1 Sn S2 n - 2解 :D =n 6ni = 1xi 6ni = 1xin - 16ni = 1xi 6ni = 1xi2 6ni = 1xi n 6ni = 1xin - 1 6ni = 1xin 6ni = 1xi2 n - 2=1 1 1x1 x2 xnx12 x22 xn2 x1 n - 1 x2 n - 1 xnn - 11 x1 x12 x1 n - 11 x2 x22 x2 n - 1 1 xn xn2 xnn - 1= l i j n( xj - xj) 2利用范德蒙德行列式的结论计算并不复杂 ,难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式。这具有较高的技巧 ,这需我们在学习的同时不断总结 ,揣摩其规律。(责任编辑 赵巨涛 ) 35张文丽 利用范德蒙德行列式的结论计算行列式
