1、二重积分的变量代换,极坐标变换,一般变量代换,广义极坐标变换,一、利用极坐标系计算二重积分,极坐标下的面积元素,注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：,极坐标变换的适用情形: 积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如,二重积分化为二次积分的公式: -型区域,(1) 区域特征如图,1. 原点在区域的外面,(2) 区域特征如图,区域特征如图,2. 原点在区域的边界上,极坐标系下区域的面积,区域特征如图,3. 原点在区域的内部,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2
2、),区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式: r-型区域,解,解,解,由上题结论,解,解,解,二、二重积分的换元法,证明见本课件末,不做要求.,例7,解,例8,解,1. 二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,三、小结,基本要求:变换后定限简便，求积容易,思考题,思考题解答,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,练 习 题,练习题答案,定积分换元法,*附: 二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,
