1、第五篇 数列 （ 11 个知识点 7 个题型，考试考 2-3 个题目） 说明：知识 点或题型后面标注 为考试次重点，标注为考试重点，标注为常考内容。 只作为了解部分，一般不单独出考题。 1.通项公式 na 和前 n 项和 nS 的关系 （ ） 1 1 121 n - 1n = 1, S - S n 2 nn n i ni naSS a a a a a 注意： 1 2n n na S S n （ ），用此公式则不包含 1a !即用完此公式后，要进行验证首项是否符合公式，如果不符合，应该单列出首项。 2. 等差数列 （ ） （ 1） 通项公式 : 1 1 . ( , )na a n d d n N
2、 （ ） 为 常 数 ； 推广 1： 111na a n d d n a d 推广 2: . ( , )nma a n m d d n m N （ ） 为 常 数 、. 可变形 : nmaad nm （ 2） 等差中项 :如果 a,A,b 成等差数列 ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 ,即 2abA . （ 3） 前 n 项和 公式 : 2111() 1 ( ) ( )2 2 2 2nn a a n n n d dS n a d n a n （ ）. （ 4） 通项性质： m n p q ,则 ( , , , )m n p qa a a a m n p q N .特殊地 ,当 pq 时
3、 ,2m n pa a a . （ 5） .若 nS 为 na 的前 n 项和 ,则 2 3 2, , ,n n n n nS S S S S 成等差数列，公差为 2nd. 3、 等比数列 （ ） （注意等比数列任一个元素均不能为零！） （ 1） 、 通项公式 : 11 ( , )nna a q q n N为 常 数 ； 推广 : ( , )nmnma a q q n m N为 常 数 、. （ 2） 、等比中项 : 如果 a,G,b 成等比数列 , 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 , 0G a b a b ， 显 然. （ 3） 、前 n 项和 : 111.( 1 )(1 ) ( 1
4、 )11nn nn a qS a a qaq qqq 或（ 4） 、 设无穷等比数列 na 的公比为 q ，若 1q （ 0q ），则该数列的各项和为 11aS q 。 设 na 为等比数列 （ 5） 通项性质： 若 m n p q ,则 ( , , , )m n p qa a a a m n p q N . 特殊地 ,当 p=q 时 , 2m n pa a a . （ 6） 若 nS 为 na 的前 n 项和 ,则 2 3 2, , ,n n n n nS S S S S 成等比数列，公比为 nq 。 题型 1 求 Sn 和 an 的关系 （ ） 71.已知数列 的前 n 项和 则 的通项公
5、式 ( )。 （ A） （ B） （ C） （ D） （ E） 以上答案均不正确 【解析】 D。 72数列 an的通项公式是 an= ，若前 n 项和为 10，则项数 n 为（ ） 。 （ A） 11 （ B） 99 (C)120 (D)121 (E)125 【解析】 C an= = ， Sn=a1+a2+ an= =10， n=120。 题型 2 等差数列 （ ） 73.若 在等差数列中 ，前 15 项和 ，则前 10 项和 （ ） 。 （ A） 40 （ B） 45 （ C） 50 （ D） 55 （ E） 60 【 解 析 】 方 法 一 ： ，解得 ，从而na ,43 2 nnSn n
6、a na34n 45n 56n67n 221 3 4 3 1 4 1 6 7n n na S S n n n n n nn 11nn 11 nn-1 1-1n155S 12015S 10SdaSdaS214151512024551511515111da，因此选 D。 方法二：注意到 、 、 构成公差为 的等差数列，从而 ，于是 ，因此选 D。 74.在等差数列 中， ， .若 ，则 （ ） 。 （ A） 21 （ B） 20 （ C） 19 （ D） 17 （ E） 16 【解析】 由题意知： ，因此，解得，因此选 B。 75.（条件充分性判断）已知数列 a 为等差数列，公差为 d， a1 a
7、2 a3 a4 12，则 a4 0。 （ 1） d -2； （ 2） a2 a4 4。 【解析】 由 a1 a2 a3 a4 12 得 a2 a3 6，即 2a2 d 6，由条件（ 1）则 a2 4，则a4 0 充分。条件（ 2）： a2 a4 4，则得出 a1 a3 8 结合 a2 a3 6，得 d 2，则由（ 2）知充分。 题型 3 等比数列 （ ） 76.已知 为等比数列，若 与 是方程 的两个根，则 =（ ）。 （ A） 3 （ B） -3 (C)4 (D)-4 (E)无法确定 【解析】等比数列中 ,而 与 是方程 的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系有 题型 4 等差 ,等比数列
8、混合题型 （ ） 5545102 91010 110 daS551 Sai i 510106 SSaj j 10151511 SSak k d5)(2)( 51010155 SSSSS 5531201531 15510 SSSna 42a 84a 21511 1 nk kk aanndnaadadaa daa n 2)1(22384 111412 215)111(41)111(41)1( 141)1(22 11 1111 1 nkkkkkkaa nknknknk kk20nna 3a 9a 0432 xx 57aa5 7 3 9a a a a 3a 9a 0432 xx493 aa77.已知等
9、差数列 的公差不为 0，但第三、四、七项成等比数列，则 （ ）。 （ A） （ B） （ C） （ D）（ E）【解析】 A 由题意知： ，即 ，解得 ，从而 78.有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 512，后三个数成等差数列，其和为48，求这四个数中的第四个数 （ ）。 （ A） 15 （ B） 17 （ C） 19 （ D)24 （ E)32 【解析】设这四个数为 。 则 由 ，得 512， a 8 。 代入 ，得 3aq 48， q 2，所以这四个数为 4， 8， 16， 24。 所以答案选 D。 题型 5 复合题型 （ ） 79.设 ， ， ，则 。 （ 1） ； （ 2） 是
10、小于 20 的正整数 。 【解析】 由条件（ 1）知数列为： 1， 2， 1， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 1， 0 从第三项开始，相邻三项为 1， 1， 0，和为 2，故 ，充分；由条件（ 2）知数列为：1， ， ， 1， ， ， 1， ， ， ， 1， 1， 0， 1，1， 0， 1， 1， 0 由于 ，故至少 从第 57 项开始，数列相邻三项为 1， 1， 0，和为2，故 ，充分。因此选 D。 80.数列 从第三项起每一项为前两项之和， 能被 3 整除 。 （ 1） =0； na 7362 aa aa53 32 43 54 312473 aaa 2111 )3()6)(2( da
11、dada da 231 538)23(26)23(28262117362 dddddadaaaaaaaqaqaqa 2, 48)2(512aaqaqaaqaqa3a11a ka2 )2(11 naaa nnn 2102101100 aaa2kk2102101100 aaak 1k 2k 3k 4k 5k )1( kk kk20k2102101100 aaana 2014a1a（ 2） =3。 【解析】 B 由于 ： 所以 与 除 3 的整除性 相同，可以推出 与 ， 除以 3 的整除性相 同 。 题型 6 等差 ,等比数列 与函数关系 （ ） 81.（条件充分性判断）已知 为等差数列，则该数列
12、的公差为零 。 （ 1）对任何正整数，都有 ； （ 2） 。 【解析】 显然条件（ 1）由等差数列的求和公式有： ，无法判断出公差 d=0，故不充分；由条件（ 2）有 d 0，也不说公差 d 为 0，也不充分；联合起来可知： ，则 d0 , 条件（ 1）知道 d0 不可能 ，故联合充分。 题型 7 数列求和 （ ） 82.甲企业一年的总产值为 （ 1）甲企业一月份的产值为 a，以后每月产值的增长率为 p； （ 2）甲企业一月份的产值为 ，以后每月产值的增长率为 2p。 【解析】由题干得到 ，即 ；由条件（ 1）可得，条件（ 1）充分；由条件（ 2）可得 ，条件（ 2）不充分 83.方程 200
13、920092132121 xxxx 的解是 x 2a 1 1 1 2 1n n n n n na a a a a a 1 2 2 3 2 2 32 2 3 2n n n n n n na a a a a a a 1na 3na 2014a 2ana12 na a a n 21aa 1 2 1 12n nna a a n a d n 21aa 1-1 12ppa 2a 852 -12-1-1 qqq 63 21 q633324-224-1 6333 212211 1 1 184 . 1 ( 1 ) 20 091 2 1 2 3 1 2 20 091 2 1 12( )1 2 ( 1 ) 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2 3 3 4 4 5 20 09 20 102 20 09( ) 20 09 10 052010xn n n n nxxx 1 1 1 1( 2 ) 1 . . .1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 . . . 2 0 0 62 0 0 5 4 0 1 0 2 0 0 6 4 0 1 2 E2 0 0 6 2 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 7A B C D （ ）( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 以 上 都 不 对
