1、矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。若矩阵 A 可以经过有限次初等变换化为 B，则称矩阵 A与 B 等价，记为 。B2、矩阵等价的充要条件：A.PQA同 型 ， 且 人 r(A)=B存 在 可 逆 矩 阵 和 ， 使 得 成 立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同：1、概念，两个 n 阶方阵 A,B，若存在可逆矩阵 P，使得 AB成立，则称 A,B 合同，记作 该过程成为合同变换。PTABAB2、矩阵合同的充要条件：矩阵 A,B 均为实对称矩阵，则 二次型 与 有相等
2、的 E 负惯性指数，即有相同的标准型。xTTx（三）相似1、概念：n 阶方阵 A,B，若存在一个可逆矩阵 P 使得 成立，1BAP则称矩阵 A,B 相似，记为 。AB2、矩阵相似的性质：AB1,(,)|E-|(),TkBABAtrt前 提 ， 均 可 逆即 有 相 同 的 特 征 值 （ 反 之 不 成 立 ）=r)即 的 逆 相 等|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：充分条件：矩阵 A,B 有相同的不变因子或行列式因子。充要条件： ()()ABEB二、矩阵相等、合同、相似的关系（一） 、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 ，12(,)nA 12(,)mB1、若向量组（ ）是向量组（ ）的极大
3、线性无关,m 12,n组,则有 ，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱m者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵 B 与 A 亦不同型，虽然 但不能得出 。()rABAB2、若 m=n，两向量组（ ） （ ）则有矩阵 A,B12,n 12,m同型且 。()r;r()AB3、若 两向量组秩相同， 两向量组等价，即有()ABr1212(,)nn 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二） 、矩阵合同。相似，等价的关系。1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、合同、相似、等价之间的递推关系相似 等价： A,B 同型且AB()rA
4、B合同 等价： 同型且,;相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以、若 A,B 均为实对称矩阵，则有 A,B 一定可以合同于对角矩阵当 时， 二次型 与 有相AB|EAB()TfxXA()TgxXB同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数 ;即有 ;、存在一个正交矩阵 P，即 使得 即 则有TETPAB即有1TBPAB A;、若 A,B 实对称，且存在一个正交矩阵 P，则时有 ;、 、 、()ABr()ABr()ABr下面讨论 时 成立的条件。,由、的论述可知存在正交矩阵 P 时，有 ，则1TP记 则()(TrArBA()rB此时 ;即 P 为正交矩阵时，由 (),rAB;（三）1、矩阵等价：同型矩阵而言一般与初等变换有关秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：针对方阵而言秩相等是必要条件本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：针对方阵而言，一般是对称矩阵秩相等是必需条件本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵
