1、第10课 分式方程及其应用,基础知识,题型分类,要点梳理,题型一 分式方程的解法,基础自测,题型二 分式方程的增根问题,题型三 分式方程的应用,知识点索引,思想与方法,4.分式方程的增根问题,7.勿忘分式方程分母不能为零,易错警示,要点梳理,基础知识自主学习,知识点索引,1. 分式方程的解法分母里含有未知数的方程叫做_分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数，而不是是否出现了分母,分式方程,要点梳理,基础知识自主学习,知识点索引,2. 分式方程的解法解分式方程，其思路是去分母转化为_，要特别注意验根，使分母为0的未知数的值，是增根，需舍去,整式方程,分式方程有增根是由解分式方程去分母化
2、为整式方程时 扩大了未知数的取值范围而造成的，验根是解分式方程 必不可少的步骤,要点梳理,基础知识自主学习,知识点索引,3. 分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意，找出相等关系和数量关系；(2)设：根据所找的数量关系设出未知数；(3)列：根据所找的相等关系和数量关系列出方程；(4)解：解这个分式方程；,要点梳理,基础知识自主学习,知识点索引,(5)检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义； (6)答：写出分式方程的解 注：列分式方程解应用题的一般步骤和列方程解应用题 的一般步骤一样，只不过多了检验这一步骤,基础自测,基础知识
3、自主学习,知识点索引,A,A. x22x B. x22x2x C. x2x D. x2x4,解析 方程两边乘以最简公分母x(x2)， 去分母得：x22x.故选A.,基础自测,基础知识自主学习,知识点索引,C,A. 0 B. 1 C. 1 D. 1,基础自测,基础知识自主学习,知识点索引,A,解析 把x1代入方程，左边231右边， 所以x1是方程的解故选A.,基础自测,基础知识自主学习,知识点索引,4. (2014莱芜)已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地设乙车的速度为x千米/小时，依题意列
4、方程正确的是 ( ),基础自测,基础知识自主学习,知识点索引,4. (2014莱芜)已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是 ( ),解析 设乙车的速度为x千米/小时， 则甲车的速度为(x12)千米/小时， 根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，,基础自测,基础知识自主学习,知识点索引,4. (2014莱芜)已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时
5、到达C地设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是 ( ),B,基础自测,基础知识自主学习,知识点索引,C,解析 分式方程去分母得：m3x1， 解得：xm2， 由方程的解为非负数，得到：m20，且m21， 解得：m2且m3.故选C.,题型一 分式方程的解法,题型分类深度剖析,知识点索引,解 化为整式方程得：22xx2x4， 解得：x2， 把x2代入原分式方程中，等式两边相等， 经检验：x2是分式方程的解,题型一 分式方程的解法,题型分类深度剖析,知识点索引,探究提高 此题考查分式方程的解法，解分式方程去分母 时有常数项的注意不要漏乘，求解后要进行检验，这两项 都是容易忽略的注意：解分式方
6、程的基本思想是“转 化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方 程一定注意要验根,题型一 分式方程的解法,题型分类深度剖析,知识点索引,解 方程两边乘以x(x3)，得2x3(x3)， 解得x9. 经检验：当x9时，x(x3)0， 故原方程的解为x9.,题型一 分式方程的解法,题型分类深度剖析,知识点索引,解 去分母得：2x(x2)x24， 解得：x3， 经检验：当x3时，(x2)(x2)0， 故x3是原方程的根,题型二 分式方程的增根问题,题型分类深度剖析,知识点索引,【例 2】 (2013济宁)有教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程
7、中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解”,题型二 分式方程的增根问题,题型分类深度剖析,知识点索引,请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的 方程 是m. (1)求m和k的值； (2)求方程x2kx60的另一个根,解 (1)分式方程去分母得：m1x0， 由题意将x 1代入得：m110，即m2， 将m2代入方程得：42k60，即k5.,题型二 分式方程的增根问题,题型分类深度剖析,知识点索引,请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的 方程 是m. (1)求m和k的值；
8、 (2)求方程x2kx60的另一个根,(2)把k5代入方程x2kx60， 得x25x60，解得x12，x33， 方程的另一个根是3.,题型二 分式方程的增根问题,题型分类深度剖析,知识点索引,探究提高 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按 如下步骤进行： 让最简公分母为0确定增根； 化分式方程为整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值,题型二 分式方程的增根问题,题型分类深度剖析,知识点索引,1,解析 方程两边都乘以(x1)，得ax1(x1)0， 原方程有增根， 最简公分母x10，即增根为x1，把x1代入整式方程，解得a1.,题型二 分式方程的增根问题,题型分类深度剖析,知识点索引
9、,解析 去分母得：(xk)(x1)k(x1)x21，解得x2k1(2k11),题型三 分式方程的应用,题型分类深度剖析,知识点索引,【例 3】 (2015宁波)宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵(1)A、B两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？,题型三 分式方程的应用,题型分类深度剖析,知识点索引,解 (1)设B种花木的数量是x棵，则A种花木的数量是 (2x600
10、)棵 根据题意，得x(2x600)6600， 解得x2400，则2x6004200. 答： A种花木的数量是4200棵，B种花木的数量是2400棵,题型三 分式方程的应用,题型分类深度剖析,知识点索引,经检验，y14是原方程的根，且符合题意 则26y12. 答：安排14人种植A种花木，安排12人种植B种花木，才能 确保同时完成各自的任务,(2)设安排y人种植A种花木，则安排(26y)人种植B种花木,题型三 分式方程的应用,题型分类深度剖析,知识点索引,探究提高 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确 理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程注意不要 忘记检验,题型三 分式方程的应用,题型分类
11、深度剖析,知识点索引,变式训练3 (2015北京)为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍. 预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？,解 设2015年底全市将有租赁点x个，,经检验，x1000是原方程的解，且符合题意 答：2015年底全市将有租赁点1000个,题型分类深度剖析,思想与方法系列,思想与方法系列4,分式方程的增根问题,知识点索引,审题视角 原分式
12、方程去分母，化为整式方程，可知是一元二次方程，该一元二次方程的实根有两种情况：方程有两个相等的实数根，它们是原方程的一个实根；或方程有两个不相等的实根，恰有一个是增根，另一个是原方程的根,题型分类深度剖析,思想与方法系列,知识点索引,规范答题,去分母，得2x22(x2)24xa0， 4x24x8a0， 方程4x24x8a0只有一个实根的情况有两种： (1)这个二次方程有相等的两实根，那么有 (4)244(8a)0，解得a7，,题型分类深度剖析,思想与方法系列,知识点索引,(2)方程的两个不等实根中恰有一个是原方程的增根，这个 增根是x0或x2. 令(4)244(8a)0，解得a7， 若增根为x
13、0，代入4x24x8a0，解得a8， 此时4x24x0，解得x1是原方程的一个实数根， x0是增根，舍去 若增根为x2，代入4x24x8a0，解得a16， 此时4x24x80，x2x20，解得x1是原方程 的一个实数根，x2是增根，舍去,题型分类深度剖析,思想与方法系列,知识点索引,题型分类深度剖析,答题模板,知识点索引,第一步：去分母，把分式方程转化为整式方程； 第二步：通过原分式方程的各个分母来确定分式方程的增根； 第三步：把增根代入到转化得到的整式方程中，以确定分式方程中某些系数的值； 第四步：考虑方程根的性质，以确定分式方程中某些系数的值； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解
14、题步骤,题型分类深度剖析,思想与方法系列,知识点索引,批阅笔记 分式方程的求解过程中，多采用去分母这一步骤但这个步骤中的公分母含未知数，这个未知数的取值可能使得公分母为0，这样得到的一个整式方程的解和原分式方程的解就不一致了，多出了使公分母为0的一些未知数的取值，这些使得公分母为0的未知数的取值，是去分母后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，称之为分式方程的增根,题型分类深度剖析,思想与方法系列,知识点索引,正因为去分母后的整式方程的解中可能含有原分式方程 的解之外的“增根”，而增根的产生来自去分母过程中 方程两边同乘了一个含未知数的式子(公分母)，并且这 个式子的值等于0，所以，通过化分式
15、方程为整式方程解 得的方程的解，必须接受检验，而检验的方法当然是舍 去使公分母为0的未知数的取值(增根)了,题型分类深度剖析,思想与方法系列,知识点索引,由于分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，且增 根又是使公分母为0的未知数的取值，所以如果说某分式 方程有增根，其增根必是使公分母为0所得整式方程的解 (有限个)将它(们)代入去分母后的整式方程，就可以 确定分式方程中某些系数的值(或它们的关系式)了,题型分类深度剖析,易错警示系列,易错警示系列 7,勿忘分式方程分母不能为零,知识点索引,考题再现,的解是负数？,题型分类深度剖析,易错警示系列,知识点索引,学生作答解：原方程两边同乘以(x2)
16、(x1)，得x21x24x42xa，2xa5，,故当a5时，原方程的解是负数,题型分类深度剖析,易错警示系列,知识点索引,规范解答解：当x1且x2时，原方程两边都乘以(x2)(x1)，得x21x24x42xa，2xa5，,题型分类深度剖析,易错警示系列,知识点索引,老师忠告(1)分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时，往往忽视题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误；(2)利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同乘或同除的整式的值不能是零；,题型分类深度剖析,易错警示系列,知识点索引,(3)解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分 母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解 如果最后x取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符 合方程同解原理，这个取值就是方程的解；否则，不保 证新方程与原方程同解从另一角度看，既然使各分母 的最简公分母为零，则必使某个分母为零，该分式则无 意义，原方 程不可能成立，这个取值就不是原方程的 解,完成考点跟踪训练 10,知识点索引,
