1、例题2,例题3,例题4,例题7,例题5,例题6,第二章 习题课,例题1,例1 试列出图中的边界条件。,M,F,y,x,l,h/2,h/2,q,(a),第二章 习题课,解: (a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：,第二章 习题课,在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，,第二章 习题课,在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。,第二章 习题课,(b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件：,F,O,x,y,q,h,(b),b/2,b/2,第二章 习题课,在小边界y = 0，列出
2、三个积分的边界条件，当板厚 时，,第二章 习题课,注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核。,第二章 习题课,例2 厚度 的悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。,第二章 习题课,h/2,h/2,A,x,y,l,F,O,第二章 习题课,解： 此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:,(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式218）;,第二章 习题课,（2）应力边界条件（书中式219），在 所有受面力的边界 上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用三个积 分的边界条件来代替。
3、（3）位移边界条件（书中式214）。本 题在x = l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使三个积分的应力边界条 件已经满足。,第二章 习题课,因此，只需校核下列三个刚体的约束条件： A点（ x = l及y = 0），,读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。,第二章 习题课,例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在,第二章 习题课,解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 （a）相容； （b）须满足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，则,第二章 习题课,例4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：,第二章 习题课,
4、解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（当 ）。,第二章 习题课,（a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E 此外，还应满足应力边界条件。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A = B =-C/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。,第二章 习题课,例5 若 是平面调和函数，即满足拉普 拉斯方程 试证明函数 都满足重调和方程，因 而都可以作为应力函数使用。,第二章 习题课,解： 上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和
5、方程），,第二章 习题课,例6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，,(a),第二章 习题课,x,y,l,o,q,ql,h/2,h/2,第二章 习题课,解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程 ;（3）应力边界条件（在 上）。 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。,第二章 习题课,再校核边界条件，在主要边界上，,第二章 习题课,第二章 习题课,再将式（b）表达式代入次要边界条件，,第二章 习题课,第二章 习题课,由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。
6、,第二章 习题课,q(x),x,y,l,o,h/2,h/2,例7 在材料力学中，当矩形截面梁（度 ）,受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为,第二章 习题课,（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力 和挤压应力 的公式。,（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）,第二章 习题课,（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f (y)，再由相容方程确定f (y),并校核梁的左右边界条件。,第二章 习题课,解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足 （1）平
7、衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（在 上）。,第二章 习题课,（a）不计体力，将 代入平衡微 分方程第一式， 得:,两边对y积分，得,第二章 习题课,再由上下的边界条件,将 代入平衡微分方程的第二式,第二章 习题课,对y积分，得,得,由上下的边界条件，,第二章 习题课,由此得,上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。,第二章 习题课,（b）若q为常数，则 ，得 代入相容方程，为了满足相容方程，,第二章 习题课,此式 和式（c）、（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得积分得,第二章 习题课,由次要边界条件,由此得,第二章 习题课,可检测，式（c）、（d）、（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x =0, l小边界上的剪力即为 的主矢量 ），因而是该问题之解。,第二章 习题课,
