1、1. 按位移求解平面问题,平面应力,如果一组位移满足以上方程,且满足边界(位移、应力)条件,则就是原方程的解。,复习,2. 按应力求解平面问题 相容方程,相容方程(形变协调条件):,形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。,用应力表示的相容方程,(平面应力),应力法的方程(平面应力状态):,如果一组应力解满足以上方程,且满足全部应力边界条件,则对单连通体(相当于数学中的单连通域)就是原方程的解。对于多连通域,还要验证所对应的位移是否满足单值性(位移单值条件)。,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,在常体力情况下,应力法方程变为:,(1),(2),或,(3),其中:,称为Hami
2、lton算子,读作:Nabla(耐普拉)或del(戴尔)。,称为Laplace算子。,(1)(2)是非齐次方程,其解由齐次方程,(4),(5),的通解加原方程的特解组成。,特解可取为,齐次方程(4)可变为:,依据偏微分方程理论,则必存在A(x,y),使,同样,将方程(5)写作:,则必存在B(x,y),使,由此得:,又可得:,必存在,使,综合以上可得以,表示的齐次方程(4)(5)通解:,则原方程(1)(2)得通解为:,式中:,称为应力函数,又称Airy函数。,将以上通解代入(3),得:,或:,或展开为:,也可简写为:,或:,形如,的方程称调和方程,其中的函数f(x,y)称调和函数。,的方程称调和
3、方程,其中的函数f(x,y)称调和函数。,常应力下,应力法归结为:,称双(重)调和方程,F(x,y)称双(重)调和函数。,归纳:,(1)应力函数表示的相容方程;(2) 上的应力边界条件;(3)多连体中的位移单值条件连体。,求出 后,可由式应力函数与应力的关系求得应力。,在常体力下求解平面问题 ,可转变为按应力函数 求解, 应满足:,例:如果体力是有势的力,即可以表示为:,V是势函数,试求用应力函数表示的应力解。,(1),(2),提示:,解:将体力带入(1),必存在函数A(x,y),由(2)得必存在函数B(x,y),同理得必存在函数F(x,y),得:,思考与练习,P34 2-18题目可以思考也可以练习,也可以当作作业交上。可以全做也可以只做一部分。作业一定要认真独立完成。交作业地点:土建楼208室门前书架上。部分习题会在下次课讲评。其它问题联系:zhao_guo_,