1、1极值点偏移问题的处理策略及探究-答案例 1.（2010 天津理）已知函数 ，如果 ，且 ，()()xfeR12x12()fxf证明： 12.x【解析】法一： ，易得 在()1xfxe ()f上单调递增，在 上单调递减， 时，(,),x， ， 时， ， 函fx(0)fx()0f数 在 处取得极大值 ，且 ,如图所()1(1)f1e示.由 ，不妨设 ，则必有 ，1212(),fxfx12x120x构造函数 ，()(),(Ff则 ，所以 在 上单调递增，21() )xxf e()Fx(0,1，也即 对 恒成立.0()(ff0,1由 ，则 ，12x10,x所以 ，即 ，1 112()()()()ff
2、fxffx12()(fxf又因为 ，且 在 上单调递减，2,x,所以 ，即证112.x法二：欲证 ，即证 ，由法一知 ，故2x1120x，又因为 在 上单调递减，故只需证 ，又12,(,)()fx,)1()fxf因为 ，2fxf故也即证 ，构造函数 ，则等价于证明11()x()(2),(0)Hxfx对 恒成立 .)0Hx,由 ，则 在 上单调递增，所2()(2)()0xxffe()x(,1)以 ，即已证明 对 恒成立，故原不等式 亦成1xH(,2x2立.法三：由 ，得 ，化简得 ，12()fxf12xxe21xe不妨设 ，由法一知， .令 ，则 ，代入式，2112o21t210,txt得 ，反
3、解出 ，则 ，故要证：1txe1te121txe，即证： ，又因为 ，等价于证明：122t0te，()0tte构造函数 ，则 ，(2)1,()tGte()1,()0t tGtee故 在 上单调递增， ，从而 也在 上单调(),0tt,)递增， ，即证式成立，也即原不等式 成立.(0)t12x法四：由法三中式，两边同时取以 为底的对数，得 ，也即e2121lnlnx，从而 ，21lnx2212112121 1ln()llxxx x令 ，则欲证： ，等价于证明： ，21()xt12xln21t构造 ，则 ，ln()()ln,(1)tMtt 2l()ttM又令 ，则 ，由于21l,tt2ln1lnt
4、ttt对 恒成立，故 ， 在 上单调递增，所以ln()()0(),)，从而 ，故 在 上单调递增，由洛比塔法则知：()0ttt1,，即证 ， 即证1111()ln()lnlimliimi(l)2xxxxt tMt t()2Mt式成立，也即原不等式 成立.23【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.例 2.已知函数 有两个不同的零点 ，求证： .xaef)( 12,x21x【解析】思路 1：函数 的两个零点，等价于方程 的两个实根，从而这一
5、问题f xea与例 1 完全等价，例 1 的四种方法全都可以用；思路 2：也可以利用参数 这个媒介去构造出新的函数 .解答如下：a因为函数 有两个零点 ，()fx12,x所以 ，)(21xe由 得： ，)(211xea要证明 ，只要证明 ，12x2x由 得： ，即 ，121()x12xae即证： ，1212()xe)(21xe不妨设 ，记 ，则 ，12t0,t因此只要证明： ，te)(t再次换元令 ，即证xxt ln, 2(1)l0(1,)xx构造新函数 ，2(1)()lFF求导 ，得 在 递增，2 2140()()xx)(x),1所以 ，因此原不等式 获证.0)(12【点评】含参数的极值点偏
6、移问题，在原有的两个变元 的基础上，又多了一个参数，12,故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例 3.已知函数 ， 为常数，若函数 有两个零点 ，()lnfxa()fx12,x试证明： 21.e【解析】法一：消参转化成无参数问题：， 是方程 的两根，也是方ln()0lnlxfxxae12,()0fx程 的两根，则 是 ，设 ， ，lle12,xa12ln,lux()xge则 ，从而 ，此问题等价转化成12()gu12lnxe4为例 1，下略.法二：利用参数 作为媒介，换元后构造新函数：a不妨设 ，12x ，
7、，2ln0,ln0x12121212ln(),ln()xaxxa ，欲证明 ，即证 .12xa21e12l ，即证 ，1212ln()x12ax原命题等价于证明 ，即证： ，令 ，1212ln122()lnx12,()xtt构造 ，此问题等价转化成为例 2 中思路二的解答，下略.2()l,)(tgt法三：直接换元构造新函数：设 ，1221lnln,xxa211,()xtt则 ，112ll,tttxx反解出： ，1211lnlnl,lnl1t tttx故 ，转化成法二，下同，略.21l 2xext例 4.设函数 ，其图像与 轴交于 两点，且()()faRx)0,(),21xBA.证明： .21x
8、12)0x【解析】由 ，易知： 的取值范围为 ，(),()xfefea2(,)e在 上单调递减，在 上单调递增.()fx,lnaln,法一：利用通法构造新函数，略；法二：将旧变元转换成新变元： 两式相减得： ，120,xea21xea记 ，则 ，21,()xtt1212112() ()xxx ttefeet 5设 ，则 ，所以 在 上()2(),(0ttgte()2)0ttgte()gt0,)单调递减，故 ,而 ，所以 ，()tg10xet12()xf又 是 上的递增函数，且 ， .xfeaR120)(21xf容易想到，但却是错解的过程：欲证： ，即要证： ，亦要证 ，也即证：0)(21xf
9、12()0xf12xea，很自然会想到：对 两式相乘得：12xea1 12 2,(),x xea，即证： .考虑用基本不等式1212()xx12()，也即只要证： .由于 .当取212()124x12,lnxa将得到 ，从而 .而二元一次不等式 对任意3aex124x不恒成立，故此法错误.2(,)【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路? 【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：若函数 满足如下条件：()fx（1 ） 函数在闭区间 上连续；,ab（2 ） 函数在开区间 内可导，则在 内至
10、少存在一点 ，使得()(,)ab.()ffba当 时，即得到罗尔中值定理.f上述问题即对应于罗尔中值定理，设函数图像与 轴交于 两点，因此x12(,0),ABx， ，12 21()e)()0 0ABff axk21xea由于 ，显然 与 ，与已知12()0fxf1()fxf1()f不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.6例 5.（11 年，辽宁理）已知函数 2()ln().fxax（I）讨论 的单调性；（II）设 ，证明：当 时， ；0a1xa1()()fxfa（III）若函数 的图像与 轴交于 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明：()yf,AB0x.0()fx【解析】 （I）易得：当 时
11、， 在 上单调递增；当 时， 在0a()fx0,)a()fx上单调递增，在 上单调递减.1(,)a1(,（II）法一：构造函数 ，利用函数单调性证明，11)(),)gxffxaa方法上同，略；法二：构造以 为主元的函数，设函数 ，则a()()hffx， ，由()ln1)l()2hxax3211xaa ，解得 ，当 时， ，而 ， 所以 ，0a100()0h()h()0h故当 时， .x()()fxfa（III）由（ I）知，只有当 时，且 的最大值 ，函数 才会有两x1()fa()yfx个零点，不妨设 ，则 ，故 ，由1212(,0),AxB120x10,a（II）得： ，又由 在2)()()
12、ffxfffaa()fx上单调递减，所以 ，于是 ，由（I）知， .1(,)21120a0【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明例 1.（2010 天津理）已知函数 ，如果 ，且 ，()()xfeR12x12()fxf证明： 12.x【解析】法五：由前述方法四，可得 ，利用对数平均不等式得：12lnx7，即证： ，秒证.1212lnxx12x说明：由于例 2，例 3 最终可等价转化成例 1 的形式，故此处对数平均不等式的方法省略.例 4.设函数 ，其图像与 轴交于 两点，且)()(Raexfx)0,(),21xBA.证明： .21x0)21【解析】法三：由前述方法可得： ，等式两边取以
13、1212(ln)xxeaax为底的对数，得 ，化简得：e12lnl()ln)x，由对数平均不等式知：12()lnl(x，即 ，故要证1212()()ll(xx122()0x12121212lnln()0 1)lnf ax证 证 2 212lnl() (xxx x证 证 ，122()1l()l0而 21()0xxx 显然成立，故原问题得证.1221212ln()例 5.（11 年，辽宁理）已知函数 2()ln().fxax（III）若函数 的图像与 轴交于 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明：yf ,AB0x.0()fx【解析】 （I） （II ）略，（III）由 12()0ffx2 21 2l
14、nln()0xaax122121()(x81212ln()xxa故要证 1200()f a21211212lnln()xxxx.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证.1212lx练习 1：（2015 长春四模题）已知函数 有两个零点 ，则下列说法错()xfea12x误的是 A. B. C. D.有极小值点 ，且ae12x120120x【答案】C【解析】函数 导函数：()f ()xfea有极值点 ，而极值 ， ，A 正确.lnxa(ln)l0fa有两个零点： ， ，即：()f10xe2xe11lnx22xa-得： 1212lnx根据对数平均值不等式： 121212lxx，而 ， B
15、 正确，C 错误12x1212而+得： ，即 D 成立.12lnlnxaxa练习 2：（2016 年新课标 I 卷理数压轴 21 题）已知函数 有两2)1()2()xaexf个零点 .证明： .1,x12x9【解析】由 ，得 ，可知 在2()2)(1)xfxea()1(2)xfxea()fx上单调递减，在 上单调递增.要使函数 有两个零点 ，则必须(,1),yf12,.0a法一：构造部分对称函数不妨设 ，由单调性知 ，所以 ，又12x12(,)(1,)xx2(,)x在 单调递减，故要证： ，等价于证明： ，()f,)11(0ffx又 ，且222()xxea222()()xfxea ，构造函数
16、，22()xf eg,(,)x由单调性可证，此处略.法二：参变分离再构造差量函数由已知得： ，不难发现 ， ，120fxf1x2故可整理得： 122xxeea设 ，则21xgx12gx那么 ，当 时， ， 单调递减；当 时，3 xe0gx1x， 单调递增0gx设 ，构造代数式：m11122221 1mmmgeee设 ，2mhe0则 ，故 单调递增，有 21h0hm因此，对于任意的 ， 0m1g由 可知 、 不可能在 的同一个单调区间上，不妨设 ，12gx1x2x 12x则必有 10令 ，则有10mx111122gxgxgxgx而 ， ， 在 上单调递增，因此：22,112gxx整理得： 2法三
17、：参变分离再构造对称函数由法二，得 ，构造 ，利用单调性可21xegx()(2),(,1)Ggxx证，此处略.法四：构造加强函数【分析说明】由于原函数 的不对称，故希望构造一个关于直线 对称的函数 ，()fx 1xg()x使得当 时， ，当 时， ，结合图像，易证原不等式成立.1xfg1()fxg【解答】由 ， ，故希望构造一个函数2()2)()xea1(2)xea，使得 ，从而 在()Fx ()x ()Fx上单调递增，在 上单调递增，从而构造出 （ 为,1(1,)2()1egxc任意常数） ，又因为我们希望 ，而 ，故取 ，从而达到目的.故0F(1)fec，设 的两个零点为 ，结合图像可知：
18、2()1)eaxgxe()gx34,x，所以 ，即原不等式得证.13241234法五：利用“对数平均” 不等式 12122()(),0,xxeeaax参 变 分 离 得 ： 由 得,122()lnln()x将 上 述 等 式 两 边 取 以 为 底 的 对 数 ， 得 ：,221112ln(-)l(-)l-x x化 简 得 ： 2211121212()l)l(-)ln-(-ln)()xxxx故 ： （ ） （ ）11由对数平均不等式得：，221 221ln(-)l(-)()()xx，1212l(-)l(-)2x（ ） （ ） （ ） （ ）从而 1212()xx（ ） （ ）12 12()4()x1212()()xx等价于： 1212()04()xx12221 12() ()()x由 ，故 ，证毕.21 2()0,40xx练习 3：已知函数 与直线 交于 两点.()lnfym12(,)(,)AxyB求证： 120xe【解析】由 ， ，可得：lm2lx， 1lnx2lnmx-得： 211212 12()lllnx x+得： 2112(n)lmx根据对数平均值不等式 121212()lxx利用式可得：121212(ln)lnmxmx由题于 与 交于不同两点，易得出则ylx0上式简化为: 212ln()lxe 120xe
