1、第七章 习 题 7.1 已知频谱包含有直流分量至 1000 Hz 分量的连续时间信号 f(t)延续 1 min，现对 f(t)进行均匀抽样以构成离散信号。求满足抽样定理的理想抽样的抽样点数。答案7.2 已知序列 231470k,f()试将其表示成解析（闭合）形式，单位序列组合形式，图形形式和表格形式。答案 k 0 1 2 3 4 5 6 f(k) -2 -1 2 7 14 23 34 7.3 判断以下序列是否为周期序列，若是，则其周期 N 为何值？ )873cos()( 1ZkAkf 2)8(efkj )(cos)( 30Uf答案 解答：若存在一个整数 N，能使 )(kfkf则 )(kf即为周
2、期为 N 的周期序列；若不存在一个周期 N，则 )(kf即为非周期序列。 873cos8)(73cos)()1 NkAAkf取 ,.210,73nN故得 372n可见当取 n=3 时，即有 N=14。故 )(kf为一周期序列，其周期为 N=14。 )(28)()8( NjkjNkj eef 欲使 为周期序列，则必须满足 n2，即 nN16，但由于 n 为整数，不是整数，故 N 不可能是整数，因此 )(kf不可能是周期序列。（3）因 )(cos)(0kUAkf为因果序列。故为非周期序列。也可以理解为是在 k=0 时刻作用于系统的周期序列，其周期为 02N。7.4 求以下序列的差分。 );( ,3
3、2)( 12kyky求 );( ,)()( 20ifki求).1(),(),1(),( ),( )3( kykykUy求答案 解答：（1）方法一 1233)1(2)()1() 2 kkkkyky )()()2y方法二 233)1(2)(3)2()( )(1(2122 kkkk yyyyk )(.)(1)0()( 20ki fffy )1().)2()()1(0 kfffikyki故 )1()1()kfyky )(1()()( )3 kU。这是先延迟后求差分。因有 )(1()kyky故有 )(1()1()1( kUkyky 这是先求差分后延迟。可见先延迟后求差分和先求差分后延迟是是一样的。 )1
4、()2()1()2()1()( kUkyky （这是先求差分后延迟） )1()2()1()2()1()( kkyky （这是先求差分后延迟)7.5 欲使图题 7.5(a)与图题 7.5(b)所示系统等效，求图题 7.5(a)中的加权系数 h(k)。Df(k) Dy(k)D(a)Dh(0) h(1) h(2) h(k) 7.5Df(k) D5 -6y(k)(b)D1答案 解答：两个系统等效，意即它们的单位响应相等。图题(b)的差分方程为 )1()2(6)1(5) kfkyky故得转移算子 3216)3(21615)(2 EEEH故得 )1()341()23( 26)()()( 11 kUkkhk
5、k因为当 0k时有 10)(h故上式可写为 )(34)2()(kUkhk因由此式也可得到 143)0(h图题(a)的差分方程为 )()()(.)1()(0)( 0 kfikfihikfihkfhfky i 欲使图题 (b)和(a)两个系统等效，图题 (a)的单位响应也应为 )(34)2()(kUkhk7.6 已知序列 )(1f和 2f的图形如图题 7.6 所示。求 )()(21kfky(a) kf2(k)-3 -2 0 1 2 3 41-5 -4 1(b)21 7.6kf1(k)-3 -2 0 1 2 3 41-5 -4 1265答案 7.7 求下列各卷积和。 )()25.0( )( )1(
6、kUkUk )() (4 )(3)(5 )3( kk )答案 解答： )(1)( )1( kUkU )(25.0(134)(25.0)()25.0( 11 kUkk )(3)(2)()(3)( )3( 1111UkUkkkkk )2()1()2() 4( kUkkU7.8 求下列各差分方程所描述的离散系统的零输入响应 )(ky。 ;0)1(,0)(1(2)( )1 ykyky 5)3(,)2(,)(,3(2)(6)(7) 2( y。答案 解答：（1）对差分方程进行移序变换得 0)(12(kyE特征方程为 012得特征根为 121p故零输入响应的通解为 )(1)()21kUAky故有 1)0(y
7、， 0)(21y故得 1,21A故得零输入响应为 )(1)(kUky（2）对差分方程进行移序变换得 0)(12671(3kyEE即 0)(1267(23 kyE特征方程为 0126723特征根为 3,21p故零输入响应的通解为 )(32)()1kUAkky故有 132)()1y2321A5)()3321y联解得 1,132AA故得零输入响应为 )(32)1()kUky7.9 已知系统的差分方程为 )2()2(61)(5) kfkyky求系统的单位响应 )(h。答案 解答：系统差分方程的转移算子为 3123123323)1(2)1()3(1)3(2615651)(11212EEEEEEH故得 )
8、2()31(2)()31(2)( kUkUkhkk7.10 已知差分方程 )(6)1(5)2( kyky系统的初始条件 5)1(,)0(xxy求全响应 )(ky。答案 解答：（1）求零输入响应 )(kyx0652E得特征根为 3,21p故 kkxAy)3(2()1021x53)(21Ayx联解得 3,21故 )(3)2()3(2)( 11kUkUky kkkx （2）求 )(h 312651)(2EEH故得 )1(32()1kUkhk（3）求零状态响应 (yf )(1(3)(1(2 )(132) kUkUkfhkf 查卷积和表得 )(321)()(kkykf 全响应为 )(327)(1)()(
9、 kUkykykfx 7.11 某人每年初在银行存款一次，第 1 年存款 1 万元，以后每年初将上年所得利息和本金以及新增 1 万元存入当年，年利息为 5%。(1)列此存款的差分方程；(2)求第 10 年底在银行存款的总数。答案 解答：（1）设第 k 年初银行存款总额为 )(ky，则差分方程为 )(105)()1( kUy式中 )1(ky为 年初存款的总数， )(k为第 年初新增存款 1 万元。整理之得 )(05.1)(kUyky由于 0)(y，故只存在零状态响应。传输算子为05.1)(EH故 )1()05.1(kUk故 )1()05.1(2)(05.1)( KuKukhkUyk当 k=10
10、时有 579.12)05.1(2)(y万元故第 10 年底银行的存款总数为 2068.135)10(y万元7.12 已知差分方程为 )(2()1(3) kfyky激励 )(2)(kUf初始值 2)1(,0(y试用零输入-零状态法求全响应 )(k。答案 解答：（1）求零输入响应 )(kyx。系统的特征方程为 0232E得特征根为 2,1p故得零输入响应 )(kyx的通解为 kkxA)2()1待定系数 21,A必须根据系统的初始状态来求，而不能根据全响应的初始值)(0(y来求。又因为激励 )(kf是在 0时刻作用于系统的，故初始状态应为 ),。下面求 2,1y。取 1k，代入原差分方程有 2)1(
11、)031(yy即 2)1(02y故得 0)1(y取 0k，代入原差分方程有 1)2()1(3)0yy即 1)2(0y故得 21)(y将所求得的初始状态 0)1(y， )(代入式（1）有 02)(1Ax4)(21yx联解得 2,1A。故得零输入响应为 0,)2()1(kkykx（2）差分方程的转移算子为 2121)(3231)2EEH故得单位响应为 )()()( kUkhk（3）零状态响应为0,)2(31)(2 )2()1()()( kfkhykk kkkf（4）全响应 )()(ykyfx，即 kkkkkky )2(31)2()1(31)2(2)1()( 零 输 入 响 应 零 状 态 响 应
12、自 由 响 应 强 迫 响 应 0,)2(31)2()1(32 kkkk7.13 已知离散系统的差分方程与初始状态为 )(,1)(0),(21()61(5)2( kUfykffkykyky (1)求零输入响应 )(x，零状态响应 )(f，全响应 )(；(2)判断该系统是否稳定；(3)画出该系统的一种时域模拟图。答案 解答：（1） 31029615)(2 EEH故零输入响应的通解为)(31)2()(1kUAkykx 故有 1)0(21Ay3)(21联解得 3,421A。故得零输入响应为 )(31)2(4kUkykx （2）系统的单位序列响应为 )1()3(10)2(9)( kUkhk故零状态响应
13、为 )(3)1(5)2(8)1()1(3(029)()( 11kUkUkfkhykk kf （3）全响应为 )(3)1(8)2()()( kUkyky kkfx （4）由于差分方程的特征根 31,2的绝对值均小于 1，故系统是稳定的（5）系统的一种时域模拟图如图题 7.13 所示 7.13Df(k) D5/6 -1/6 y(k)-217.14 已知系统的单位阶跃响应 )(234)1(26)( kUkgk求系统在 )(3)(kkf激励下的零状态响应 )(yf，写出该系统的差分方程，画出一种时域模拟图。答案 解答：先求单位响应 )(kh。因有 )1()()( kUk故根据系统的差分性有 )(2)1
14、( )1()2(34)1(26346)1()()( 1kUkUgkghk kk 故得 )(12)(4)3(29 )(2() kUkkfhkykkf 又由 )(kh的表达式可求得转移算子为 21231)( EEEH故得系统的差分方程为 )(2()1(3) kfyky其模拟图如图题 7.14 所示Df(k) D-3 -2y(k) 7.147.15 已知零状态因果系统的单位阶跃响应为 )(10)5(32)(kUkgkk(1)求系统的差分方程；(2)若激励 )10()2)()(10kUkGf求零状态响应 )(ky。答案 解答：（1）由阶跃响应 )(kg的表达式可知，特征方程有两个特征根： 5,21p故
15、知该系统是二阶的。故可设系统的差分方程为 ),.210(,)2()1()( 0 mikfbkyakymi 系统的特征多项式为 107)5(22212 EEaE故得 10,721a故得差分方程为 miikfbkyky0)()2(10)(7)下面再求系数 ib。先求单位响应 )(h。当激励 )(f时，系统的差分方程变为 miikbkhkh0)()2(10)(7) 因有 )1()()( kUk故根据线性系统的差分性有)1()512)(14 )1(530532)( kUk kgghk故得： ,.1508)4(,3)(,62)(,13)(,4)0(,1(,0)2( hhhh将这些值代入式（1）得 3,0
16、21,854)2(1)(7) khkh故得系数 0.,1,85,144320 mbbb最后得差分方程为 )2(1)(85)(14)2(0)1(7) kfkffkyky实际上，由于因果系统总是有 nm，今 阶，故必有 0.43mb（2）根据线性系统的齐次性与移序不变性可得 10)5(32)(10)5(32)10()( 1010 kUkUkgky kkk7.16 图题 7.16 所示(a)，(b)，(c)三个系统，已知各子系统的单位响应为 )(1kh)3()2)(8.0)(3kUkh试证明三个系统是等效的，即 )()(khkhcba。h1(k) h2(k) h3(k)(k ha(k)y1(k)y2
17、(k)y3(k)+(a)h1(k)(k h2(k) hb(k)y1(k)y2(k)+h3(k) (b)h3(k) h2(k) h1(k)(k hc(k)y1(k)y2(k)+h1(k) 7 .16(c)答案 解答：欲证明三个系统相互等效，只要证明三个系统的单位响应相同即可。（1）求图题 7.16(a)的单位响应 )(kha)3()()( )3()(1232 211 kUkykyh kUk)3(8.01(5)8.01(5 )(8.0)()3)213 kk kUUhka（2）求图题 7.16(b)的单位响应 hb)()( )(8.01(5)8.0)(338.0 )()(12 132 22311 khykh kUkUyUkkkab k （3）求图题 7.16(c)的单位响应 c)()()( )(8.01(5)8.03.(38.0 )()()(12 132 21231 khkykh kUkUhyUkkkbac 故三个系统是等效的。7.17 试写出图题 7-17(a)，(b)所示系统的后向与前向差分方程。Df(k)-1/5 y(k) 7.1(a) Df(k)D-5 -6y(k)(b)答案 解：（a） )1()51(kfyky)()f（b） )2()61(5)2( kfyky()f
