1、19：反比例函数的应用一、选择题1.（黑龙江牡丹江 3 分）如图，双曲线 y xk经过点 A(2，2)与点 B(4，m)， 则AOB 的面积为A2 B3 C4 D5【答案】B。【考点】反比例函数综合题。【分析】过 A、B 分别作 x轴的垂线，垂足分别为 C、D，如图，双曲线 k经过点 A（2，2） ， 224，而点 B（4，m）在 4yx上，4m4，解得 m=1，即 B 点坐标为（4，1） ，S AOB S AOC S 梯形 ABDCS BOD 1222 12（21）（42） 12413。故选 B。2. （江苏泰州 3 分）某公司计划新建一个容积 V(m3)一定的长方体污水处理池，池的底面积
2、S(m2)与其深度 h（m）之间的函数关系式为 0(hVS，这个函数的图象大致是【答案】C。【考点】反比例函数的图像和性质。【分析】因为池的底面积 S(m2)与其深度 h（m）之间的函数关系为反比例函数的一部分，所以根据反比例函数的图像特征，直接得出结果。故选 C。3.（江苏徐州 2 分）平面直角坐标系中，已知点 O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点 P 是反比例函数 1yx图象上的一个动点，过点 P 作 PQ x轴，垂足为点Q。若以点 O、P、Q 为顶点的三角形与OAB 相似，则相应的点 P 共有A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】D。【考点】相似三角形的判定，反比例函数的
3、图象。ShO DShO AShO BShO C【分析】RtOAB 两直角边的比是 12，故只要 RtOPQ 两直角边的比也是 12即可。由1yx知 y与 异号，从而有 21xx和:，解之，得 x， ，所以相应的点 P 为 22， ， ， ， ， ， ， 。4 （河北省 3 分）根据图 1 所示的程序，得到了 y与 x的函数图象，如图 2若点 M 是 y轴正半轴上任意一点，过点 M 作 PQ x轴交图象于点 P，Q，连接 OP，OQ则以下结论： x0 时， 2yx OPQ 的面积为定值 0 时， 随 的增大而增大MQ=2PM POQ 可以等于90其中正确结论是 A、 B、 C、 D、【答案】B。
4、【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积。【分析】由图 1 知，该函数为 204x，据此分析：、 x 0， y= 2x，错误；、当 0 时， =，当 x0 时， y= 4x，设 P（ a， b） ，Q（ c，d） ，则 ab=2， cd=4，OPQ 的面积是 132cdd=3，正确；、 x 0 时， y随 x的增大而减小， 错误；、 =2， =4，正确；、因为POQ=90也行，正确，正确的有。故选 B。5.（陕西省 3 分）如图，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 4x和 2的图象交于点 A 和点 B，若点C 是 x 轴上任意一点
5、，连接 AC、BC、则ABC 的面积为A、3 B、4 C、5 D、6【答案】A。【考点】反比例函数综合题。【分析】设 P（0，b） （b0） ，直线 APBx 轴，A，B 两点的纵坐标都为 b，点 A 在反比例函数 4xy的图象上，点 B 在反比例函数 2xy的图象上，A 点坐标为（ b，b） ，B 点坐标为（ 2b，b） 。AB 2（ 4） 6。S ABC 1ABOP 6b3。故选 A。6.（甘肃兰州 4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数2kyx的图象上若点 A 的坐标为（2，2） ，则 k 的值为 A、1 B、3 C、4
6、 D、1 或3【答案】A。【考点】矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设 C（x，y） 四边形 ABCD 是矩形，点 A 的坐标为（2，2） ，B（2，y） 、D（x，2） 。矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，由 B、C 两点所在直线的斜率得 y2x，即 xy=4。又点 C 在反比例函数2k1的图象上，xy=k 2+2k+1。由，得 k2+2k3=0，即（k1） （k+3）=0，k=1 或 k=3k0，k=1。故选 A。7.（福建漳州 3 分）如图，P (x，y)是反比例函数 y 的图象在第一象限分支上的3x一个动点，PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B，
7、随着自变量 x 的增大，矩形 OAPB 的面积A不变 B增大 C减小 D无法确定【答案】A。【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S= 12|k|，所以随着 x 的逐渐增大，矩形 OAPB 的面积将不变。故选 A。二、填空题1.（浙江衢州 4 分）在直角坐标系中，有如图所示的 RtABO，ABx 轴于点 B，斜边 AO=10，sinAOB= 35，反比例函数 0kyx的图象经过 AO 的中点 C，且与 AB交于点 D，则点 D 的坐标为 【答案】 （8， 2） 。【考点】反比例函数
8、综合题，锐角三角函数的定义，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】由斜边 AO=10，sinAOB= 35，根据锐角三角函数的定义可得到 AB=6，再由勾股定理得到 OB=8，即得到 A 点坐标为（8，6） ，从而得到 AO 的中点 C 的坐标（4，3） ，代入反比例函数解析式确定 4312k，从而得反比例函数的解析式 12yx。令 =8，得32y，即可得到 D 点的坐标（8， ） 。2.（浙江宁波 3 分 ）如图，正方形 A1B1P1P2的顶点 P1、P 2在反比例函数(0)yx的图象上，顶点 A1、B 1分别在 x轴、 y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P
9、3在反比例函数 (0)x的图象上，顶点 A2在 x轴的正半轴上，则点 P3的坐标为 【答案】 （ 1+1， ） 。【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】作 P1y 轴于 C，P 2x 轴于 D，P 3x 轴于 E，P 3P 2D 于 F，设 P1（ a， 2） ，则 CP1=a，OC= ，四边形 A1B1P1P2为正方形，RtP 1B1CRtB 1A1ORtA 1P2D，OB 1=P1C=A1D=a。OA 1=B1C=P2D= a 。OD= 2 = 。P 2的坐标为（ ， 2 a） 。把 P2的坐标代入反比例函数 (0)yx，得到
10、a的方程， （ a ） =2，解得 =1（舍）或 =1。P 2（2，1） 。设 P3的坐标为（ b， ） ，又四边形 P2P3A2B2为正方形，RtP 2P3FRtA 2P3E。P 3E=P3F=DE= 2b。OE=ODDE=2 b。2 =b，解得 =1 （舍） ， =1+。 b=13+= 1。点 P3的坐标为 （ 31+1， ） 。3.（广西桂林 3 分）双曲线 y1、y 2在第一象限的图象如图， 4yx，过 1上的任意一点A，作 x轴的平行线交 2于 B，交 y 轴于 C，若 SAOB =1，则 2的解析式是 【答案】 26yx。【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。【分析】根据 14y
11、x，过 1上的任意一点 A，得出CAO 的面积为 2，由 SAOB=1，得出 SCBO =3，即 32y，从而得出 y2的解析式： 26yx。4.（湖南张家界 3 分）如图，点 P 是反比例函数 图像上的一点，则矩形 PEOF 的面积是 . 【答案】6。【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。【分析】点 P 是反比例函数 xy6图象上的一点，S=|k|=6。5.（山东济南 3 分）如图，矩形 ABCD 的边 AB 与 y轴平行，顶点 A 的坐标为(1，2)，点 B、D 在反比例函数 0yx的图象上，则点 C 的坐标为 【答案】(3，6)。【考点】点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】顶点
12、A 的坐标为(1，2)，点 B、D 在反比例函数 60yx的图象上，点 B、D 的坐标分别为(3，2)，(1，6)。点 C 的坐标为(3，6)。6.（ 湖 北 武 汉 3 分 ） 如 图 ， AABCD 的 顶 点 A， B 的 坐 标 分 别是 A（ 1， 0） ， B（ 0， 2） ， 顶 点 C， D 在 双 曲 线 kyx上 ，边 AD 交 y轴 于 点 E， 且 四 边 形 BCDE的 面 积 是 ABE 面 积 的 5倍 ， 则 k= . 【答案】1 2。【考点】反 比 例 函 数 综 合 题 ， 待 定 系 数 法 ， 曲 线 上 点 的 坐 标 与 方程 的 关 系 ， 解 二
13、 元 一 次 方 程 组 ， 反 比 例 函 数 的 性 质 。【分析】如 图 ， 过 C、 D 两 点 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F、 G， DG 交BC 于 M 点 ， 过 C 点 作 CH DG， 垂 足 为 H， CD AB， CD=AB， CDH ABO（ HL） 。 CH=AO=1， DH=OB=2。设 C（ m+1， n） ， D（ m， n+2） ，则 （ m+1） n=m（ n+2） =k， 解 得 n=2m。设 直 线 AD 解 析 式 为 yaxb， 将 A、 D 两 点 坐 标 代 入 得02ab，解得 1 直 线 AD 解 析 式 为 yx， E（ 0，
14、 2） ， BE=4。 S ABE= 12BEAO=2。 S 四 边 形 BCDE=5S ABE， S ABE+S 四 边 形 BEDM=10， 即 2+4m=10， 解 得m=2。 n=2m=4， k=（ m+1） n=34=12。7.（湖北十堰 3 分）如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E，双曲线kyx( 0)经过 A、E 两点，若平行四边形 AOBC 的面积为 18，则 k= . xyBACDO【答案】6。【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质。【分析】过 A 作 ADOB 于 D，过 E 作 EFOB 于 F，设 A（ x， k ）
15、，B（ a，0） 。由三角形的中位线定理得：EF= 12AD= 2，DF= 1（ x） ，OF= 2ax。E（ ax， k） 。E 在双曲线上， 2axk。 3ax。平行四边形的面积是 18， 18，即 18k， 6k。8.（湖北孝感 3 分）如图，点 A 在双曲线 yx上，点 B 在双曲线 3y上，且 AB x轴，C、D 在 x轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 .【答案】2。【考点】反比例函数系数 k的几何意义，矩形的性质。【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积 S 的关系 S=|k|即可判断：过 A 点作 AE y轴，垂足为
16、E，点 A 在双曲线 1yx上，四边形 AEOD 的面积为 1。点 B 在双曲线 3上，且 AB x轴，四边形 BEOC 的面积为 3。四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 31=2。 9.（湖北随州 4 分）如图：点 A 在双曲线 kyx上，AB 丄 x轴于 B，且AOB 的面积 SAOB =2，则 k= 【答案】4。【考点】反比例函数系数 的几何意义。【分析】根据反比例函数图象所在的象限判断出 k的符号，再根据 SAOB =2 求出 k的值即可：反比例函数的图象在二、四象限， 0，S AOB =2，| k|=4， =4。10.（四川南充 3 分）过反比例函数 kyx（k0）图象上一点 A
17、，分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 B，C，如果ABC 的面积为 3则 k 的值为 【答案】6 或6。【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。【分析】ABC 的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半， 12|k|=3，解得 k=6 或6。11.（安徽芜湖 5 分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形 AOBC,反比例函数kyx经过正方形 AOBC 对角线的交点，半径为( 42)的圆内切于ABC，则 k的值为 。【答案】4。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内切圆性质，点的坐标与方程的关系。【分析】设圆心为 D，反比例函数与正方形 AOBC 对角线的交点为 P（p，p），作
18、DN，PM 垂直于 X 轴于 N，M。易知OPMODN。 OMND。由勾股定理可以求出，OM= p， ON= 2p4p2 。一方面 OB=2OM=2p，另一方面 OB=ONNB= 。2p= p2，即 p=2。又P 在反比例函数 kyx上， =4。12（云南玉溪 3 分）如图，点 A 在反比例函数 kyx的图象上，点 B、C 分别在 x、 y轴上，若 S 矩形 ABOC = 4，则 【答案】 k= 4。【考点】反比例函数系数的几何意义。【分析】设点 A 的坐标为（ x， y） ，由 S 矩形 ABOC = 4 得 xy=4。由点 A 在反比例函数kyx的图象上，得 k= 4。13.（贵州遵义 4
19、 分）如图，已知双曲线 01xy， 02xy，点P为双曲线 xy42上的一点，且 PA x轴于点 A，PB y轴于点 B，PA、PB分别交双曲线 1于 D、C 两点，则PCD 的面积为 【答案】 98。【考点】反比例函数系数 k的几何意义。【分析】由已知，双曲线 01xy， 042xy，且 PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B，PA、PB 分别交双曲线 1于 D、C 两点，BCBO=1，BPBO=4，4BC= BP，CP=3BC。AOAD=1，AOAP=4，4AD= AP，DP= 34AP。PCD 的面积为 19CPD=BAP=C28。14.（贵州黔南 5 分）如图，A 和B 都与 x轴和
20、y轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例函数 1yx的图象上，则图中阴影部分的面积等于 （结果保留 ） 【答案】 。【考点】反比例函数图象的对称性，圆的对称性。【分析】根据两函数的对称性和圆的对称性，由题意得，图中阴影部分的面积即为一个圆的面积。A 和 x轴和 y轴相切，A 到两轴的距离相等，即横纵坐标相等。设 A 的坐标是（ a， ） 0，点 A 在函数 1yx的图象上， a， a，即 。阴影部分的面积等于 21a。三、解答题1.（广西河池 8 分）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘 A 中放置一个重物，在右边活动托盘 B(可左右移动)中放
21、置一定质量 的砝码，使得仪器左右平衡改变活动托盘 B 与点 O 的距离 x (cm)，观察活动托盘 B 中砝码的 质量 y (g)的变化情况实验数据记录如下表：(1)把上表中( x， y)的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点；(2)观察所画的图象，猜测 与 x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；(3)当砝码的质量为 24g 时，活动托盘 B 与点 O 的距离是多少？(4)将活动托盘 B 往左移动时，应往活动托盘 B 中添加还是减少砝码？【答案】解：(1) 描点作图如右：（2） y与 x之间的函数关系是反比例函数关系。设 与 之间的函数关系式为 kyx，
22、把 10 ,3xy代入，得 30。 与 之间的函数关系式为 yx。验证； 1520253033 ,1 ,1 ,1y y。（3）由 024x，解得， .x。当砝码的质量为 24g 时，活动托盘 B 与点 O 的距离是 12.5 cm。（4）将活动托盘 B 往左移动时，应往活动托盘 B 中添加砝码。【考点】描点作图，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数的性质。【分析】(1) 描点作图即可。（2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法可求 y与 x之间的函数关系式。并分别将 x值代入验证。（3）只要把 24y代入 30yx，即可求活动托盘 B 与点 O 的距离。 （4）根
23、据反比例函数的性质，活动托盘 B 往左移动时，即 y值减小，则 x值增大，即应往活动托盘 B 中添加砝码。2.（广西钦州 7 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，反比例函数 kyx的图象经过点(1，4)，菱形 OABC 的顶点 A 在函数的x (cm) 10 15 20 25 30y(g) 30 20 15 12 10图象上，对角线 OB 在 x轴上（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写出菱形 OABC 的面积【答案】解：（1） kyx的图象经过点(1，4)， 41，即 4 。 所求反比例函数的关系式为 4yx。（2）S 菱形 OABC8 。 【考点】点的坐标与方程的关系，菱形的性
24、质。【分析】 （1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点 A 的坐标(1，4)代入kyx即可求出 k，从而求出反比例函数的关系式。（2）根据菱形的性质，可得 S 菱形 OABC4 12148。3.（湖南郴州 8 分）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约 10 升） ，小敏每次用半盆水（约 5 升） ，如果她们都用了 5 克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有 1.5 克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有 2 克（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的
25、残留量 y与漂洗次数 x的函数关系式；（2）当洗衣粉的残留量降至 0.5 克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？【答案】解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为： kyx， 2将 1.5xy和 21分别代入两个关系式得： 1.5k， 2解得：132k， 。小红的函数关系式是： 132yx，小敏的函数关系式是： 2yx。（2）把 y=0.5 分别代入两个函数得： 10.5， 2.x。解得： x1=3， 2=4，103=30（升） ，54=20（升） 。答：小红共用 30 升水，小敏共用 20 升水，小敏的方法更值得提倡。
26、【考点】反比例函数的应用。【分析】 （1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：kyx， 2，后根据题意代入求出 1k和 2即可。（2）当 y=0.5 时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可。4.（广东广州 12 分）已知 RtABC 的斜边 AB 在平面直角坐标系的 x轴上，点 C（1，3）在反比例函数 kyx的图象上，且 sinBAC （1）求 的值和边 AC 的长；（2）求点 B 的坐标【答案】解：（1）点 C（1，3）在反比例函数 kyx的图象上，把 C（1，3）代入得， 1k，即 3。sinBAC 5， sinBAC AC5 。 AC5。（2）ABC
27、 是 直角三角形，DAC=DCB。又sinBAC 35，tanDAC 34。 BD34 。又CD3，BD 94。AB1 91 。B 点的坐标为（ 134，0） 。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，解直角三角形。【分析】 （1）先根据 C 点的坐标在反比例函数 kyx的图象上，从而得出 k 的值，再根据且 sinBAC= 35，得出 AC 的长。（2）先根据已知条件，得出DAC=DCB，从而得出 CD 的长，根据点 B 的位置即可求出正确答案。5.（湖北潜江仙桃天门江汉油田 8 分）如图，已知直线 AB 与 x轴交于点 C，与双曲线 xky交于 A（3， 20） 、B（-5， a）两点.AD
28、 轴于点 D，BE 轴且与 轴交于点 E. （1）求点 B 的坐标及直线 AB 的解析式；（2）判断四边形 CBED 的形状，并说明理由.【答案】解：（1）双曲线 xky过 A（3， 20） ， k=20。把 B（5， a）代入 xy，得 4a。 点 B 的坐标是（5，4） 。设直线 AB 的解析式为 nm，将 A（3， 20） 、B（5，4）代入得，nm4， 解得： 38,4n。直线 AB 的解析式为：38xy。（2）四边形 CBED 是菱形。理由如下：点 D 的坐标是（3，0） ，点 C 的坐标是（2，0） ， BE x轴，点 E 的坐标是（0，4） 。而 CD =5， BE=5， 且 B
29、ECD，四边形 CBED 是平行四边形.。在 RtOED 中，ED 2OE 2OD 2， ED 2435。EDCD。 ACBED 是菱形。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，菱形的判定。【分析】 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点 A 代入双曲线方程求得 k值，从而求得双曲线方程；然后将 B 点代入其中，求得 a值；利用待定系数法可求直线 AB 的解析式。（2）由点 C、D 的坐标、已知条件“BEx 轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且 BECD，从而可以证明四边形 CBED 是平行四边形；然后在 RtOED 中根据勾股定理求得
30、ED=5，所以 ED=CD，从而证明四边形 CBED 是菱形。6.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰 10 分）如图，点 D 双曲线上，AD 垂直 x轴，垂足为 A，点 C 在 AD 上，CB 平行于 x 轴交曲线于点 B，直线 AB 与 y 轴交于点 F，已知 AC：AD=1：3，点 C 的坐标为（2，2） （1）求该双曲线的解析式；（2）求OFA 的面积【答案】解：（1）点 C 的坐标为（2，2） ，AD 垂直 x 轴，AC=2。又AC：AD=1：3，AD=6。D 点坐标为（2，6） 。设双曲线的解析式为 kyx，把 D（2，6）代入 得， =26=12。双曲线解析式为 12yx。（2）设直线 AB
31、的解析式为 kb，得把 A（2，0）和 B（6，2）代入 yx得， 206kb，解得12kb。直线 AB 的解析式为 1。令 x=0，得 y=1，F 点的坐标为（0，1） 。S OFC = 12OAOF= 21=1。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 （1）由点 C 的坐标为（2，2）得 AC=2，而 AC：AD=1：3，得到 AD=6，则 D 点坐标为（2，6） ，然后利用待定系数法确定双曲线的解析式。（2）已知 A（2，0）和 B（6，2） ，利用待定系数法确定直线 AB 的解析式，得到 F点的坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可。7.（宁夏自治区
32、 8 分）在 RtABC 中，C90，A30，BC2若将此三角形的一条直角边 BC 或 AC 与 x 轴重合，并且点 A 或点 B 刚好在反比例函数 y (x0)的图象上(如6x图所示)，D 是斜边与 y 轴的交点，设此时ABC 在第一象限部分的面积分别记作 S1、S 2，通过计算比较 S1、S 2的大小【答案】解：如图 1：C=90，A=30，BC=2，AC=2 3。点 A 在 y 上，A（ 3，2 ） ，即 OC= ，6xOB=2 3，OD=2 3。S 1= 2（ODAC）OC，= 12（2 32 ） 3，=6 2。如图 2：BC=2，AC=2 3，B（3，2） 。AO=2 3，OD=2
33、。S 2= （ODBC）OC= 1（2 2）3，=6 2。S 1=S2。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】根据反比例函数的性质，可以得到点 A 和点 B 的坐标，分别计算出 S1，S 2的值，然后比较它们的大小8.（甘肃天水 7 分）如图在等腰 RtOBA 和 RtBCD 中，OBA=BCD=90，点 A 和点 C 都在双曲线 4yx（ 0）上，求点 D 的坐标【答案】解：过 C 点作 CEBD 于 E，如图，三角形 OBA 为等腰 Rt，OBA=90，OB=OA，设 A（a，a） ，aa=4，a=2，或 a=2 x0，A（2，2）
34、 。即 OB=2。又CBD 为等腰三角形，BCD=90，CE=BE=DE，设 CE=b，则 OE=b+2，OD=2+2b，C 点坐标为（b+2，b） ，（b+2）b=4，解得 b= 51，或 b= 51。 x0，b= 1 舍去。OD=2 ，点 D 的坐标为（2 5，0） 。【考点】反比例函数综合题，等腰直角三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】过 C 点作 CEBD 于 E，根据等腰直角三角形的性质得到 OB=OA，即可求出 A（2，2） ，得 OB=2，又三角形 CBD 为等腰 Rt，BCD=90，得到 CE=BE=DE，设 CE=b，则OE=b+2，OD=2+2b，则 C 点坐
35、标为（b+2，b） ，把它代入双曲线 4yx（ 0）求出 b，即可得到 OD，从而得点 D 的坐标。9.（江苏常州、镇江 10 分）在平面直角坐标系 XOY 中，直线 1l过点 0,A且与 y轴平行，直线 2l过点 ,0B且与 x轴平行，直线 1l与直线 2l相交于点 P。点 E 为直线 2l上一点，反比例函数 ky（ 0）的图像过点 E 与直线 相交于点 F。若点 E 与点 P 重合，求 的值；连接 OE、OF、EF。若 k2，且OEF 的面积为PEF 的面积的 2 倍，求 E 点的坐标；是否存在点 E 及 y轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与PEF 全等？若存在，求 E
36、点坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）直线 1l过点A（1，0）且与 y轴平行，直线 2l过点B（0。2）且与 x轴平行，直线 1l与直线 2相交于点P，点P（1，2） 。若点E与点P重合，则k122。（2）当k2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形PEPF， E,2F1,G2kk， ，S PEF 21P4kk四边形PFGE是矩形， S PEF S GFE ，S OEF S 矩形OCGD S DOF S GFE S OCE 211224kkk =4S OEF 2S PE
37、F ， 221=14kk，解得k6或k2，k2时，E、F重合，舍去。 k6， E点坐标为：（3，2） 。（3）存在点E及y轴上的点M，使得MEFPEF当k2时，如图2，只可能是MEFPEF，作FHy轴于HFHMMBE， BEM,F FH1，EMPE1 2k ，FMPF2k， BM1, 2k。在RtMBE中，由勾股定理得，EM 2EB 2MB 2， （1 ） 2（ ） 2（ ） 2解得k 34 ，此时E点坐标为（ 38 ，2） 。当k2时，如图3，只可能是MFEPEF，作FQy轴于Q，FQMMBE得， BMF 。FQ1，EMPFk2，FMPE 2k 1， =， ，BM2在RtMBE中，由勾股定理
38、得，EM 2EB 2MB 2（k2） 2（ k） 22 2，解得k 163 或0，但k0不符合题意， k 163 此时E点坐标为（ 83，2）符合条件的 E 点坐标为（ ，2） （ 83 ，2） 【考点】反比例函数的应用，矩形的性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】 （1）易由直线 1l， 求交点 P 坐标。若点 E 与点 P 重合，则点 P 在 kyx图象上，坐标满足函数关系式，求出 k。（2）要求 E 点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用 k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形 OEF 面积是 PEF 面积 2 倍的关系求出 k。（3）要求 E 点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用 出 k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出 出 。要注意应根据点 P、E、F 三点位置分 出 k2 和 出 2 两种情况讨论。
