1、概率论与数理统计期末试卷一、填空（每小题 2 分，共 10 分）设 是三个随机事件，则 至少发生两个可表示为_。. 掷一颗骰子， 表示“出现奇数点 ”， 表示“点数不大于 3”，则 表示_。已知互斥的两个事件 满足 ，则 _。设 为两个随机事件， ， ，则 _。设 是三个随机事件， ， ， 、，则 至少发生一个的概率为_。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分，共20 分）1. 从装有 2 只红球，2 只白球的袋中任取两球，记 “取到 2 只白球” ，则 （ ） 。(A) 取到 2 只红球 (B) 取到 1 只白球 (C) 没有取到白球
2、 (D) 至少取到 1 只红球2对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ） 。(A) 随机事件 (B) 必然事件(C) 不可能事件 (D) 样本空间3. 设 A、 B 为随机事件，则 （ ） 。(A) A (B) B (C) AB (D) 4. 设 和 是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） 。(A) 与 互斥 (B) 与 不互斥(C) (D) 5. 设 为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是（ ） 。(A) (B) (C) (D) 6. 设 相互独立 ，则 （ ） 。(A) (B) (C) (D) 7.设 是三个随机事件，且有 ，则（ ） 。 (A) 0.1 (B)
3、 0.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为 p，则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为（ ） 。(A) p2(1 p)3 (B) 4 p (1 p)3 (C) 5 p 2(1 p)3 (D) 4 p 2(1 p)3 9. 设 A、B 为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是（ ） 。(A) (B) (C) (D) 10. 设事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 一定发生，则（ ） 。(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) P (C) 1(C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) +
4、P (B) P ( C)三、计算与应用题（每小题 8 分，共 64 分）1. 袋中装有 5 个白球，3 个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2. 10 把钥匙有 3 把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3. 一间宿舍住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率。4. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个次品，从中一次抽取 3 个，求至少取到一个次品的概率。5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为 0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6. 已知某品的合格率为
5、0.95，而合格品中的一级品率为 0.65。求该产品的一级品率。7. 一箱产品共 100 件,其中次品个数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。8. 某厂的产品， 按甲工艺加工， 按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为 0.8与 0.9。现从该厂的产品中有放回地取 5 件来检验，求其中最多有一件次品的概率。四、证明题（共 6 分）设 ， 。证明 试卷一 参考答案一、填空1. 或 2. 出现的点数恰为 53. 与 互斥则 4. 0.6故 5. 至少发生一个，即为
6、又由 得 故 二、单项选择12. A3. A利用集合的运算性质可得.4与 互斥故 5故 6相互独立7.且 则 8. 9. B10. B 故 P (A ) + P (B) P (C) 1 三、计算与应用题1. 解：设 表示“取到的两球颜色不同” ，则而样本点总数故 2. 解：设 表示“能把门锁打开” ，则 ，而故 3. 解：设 表示“有 4 个人的生日在同一月份” ，则而样本点总数为故 4. 解：设 表示“至少取到一个次品” ，因其较复杂，考虑逆事件 =“没有取到次品”则 包含的样本点数为 。而样本点总数为故 5. 解：设 “任取一个零件为次品”由题意要求 ，但较复杂，考虑逆事件 “任取一个零件
7、为正品” ， 表示通过三道工序都合格，则 于是 6. 解：设 表示“产品是一极品” ， 表示“产品是合格品”显然 ，则于是 即 该产品的一级品率为7. 解：设 “箱中有 件次品” ，由题设，有 ，又设 “该箱产品通过验收” ，由全概率公式，有于是 8. 解：依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为 设 表示“有放回取 5 件，最多取到一件次品”则 四、证明题证明， ，由概率的性质知 则又 且 故 试卷二一、填空（每小题 2 分，共 10 分）1. 若随机变量 的概率分布为 ， ，则 _。2. 设随机变量 ，且 ，则 _。3. 设随机变量 ,则 _。4. 设随机变量 ，则 _。5. 若随机变量
8、 的概率分布为则 _。二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分，共 20分)1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ） 。(A) (B) (C) (D) 2. 设随机变量 的概率密度为 ，则 （ ） 。(A) (B) (C) (D) 3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量 的概率密度为 ， ，则 的概率密度为（ ） 。(A) (B) (C) (D) 6
9、. 设 服从二项分布 ，则（ ） 。(A) (B) (C) (D) 7. 设 ，则 （ ） 。(A) (B) (C) (D) 8设随机变量 的分布密度为 , 则 （ ） 。(A) 2 (B) 1(C) 1/2 (D) 49对随机变量 来说，如果 ，则可断定 不服从（ ） 。(A) 二项分布 (B) 指数分布(C) 正态分布 (D) 泊松分布10设 为服从正态分布 的随机变量，则 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 三、计算与应用题（每小题 8 分，共 64 分）1. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求
10、抽取次数 的概率分布。2. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作，已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有 2 台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3. 某种电子元件的寿命 是随机变量，其概率密度为求（1）常数 ；（2）若将 3 个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用 150 小时后仍能正常工作的概率。4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量 ，且 。求（1）这样的电池寿命在 250 小时以上的概率；（2） ，使电池寿命在 内的概率不小于 0.9。5. 设随机变量 。求 概率密度 。6. 若
11、随机变量 服从泊松分布，即 ，且知 。求 。7. 设随机变量 的概率密度为 。求 和 。8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1） 的概率分布；（2） 。四、证明题（共 6 分）设随机变量 服从参数为 2 的指数分布。证明： 在区间 上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有 即 ，得 。2. ，则3. 0.54. 5. 0.25由题设，可设即0 10.5 0.5则 二、单项选择1. ( )由分布函数的性质，知 则 ，
12、经验证只有 满足， 选2. ( )由概率密度的性质，有 3. ( )由概率密度的性质，有4. ( )由密度函数的性质，有 5. ( )是单减函数，其反函数为 ，求导数得 由公式， 的密度为 6. ( )由已知 服从二项分布 ，则又由方差的性质知,7. ( )于是 8. (A) 由正态分布密度的定义,有 9. (D) 如果 时,只能选择泊松分布.10. (D) X 为服从正态分布 N (-1, 2), EX = -1 E(2X - 1) = -3三、计算与应用题1. 解：设 为抽取的次数只有 个旧球 ,所以 的可能取值为：由古典概型，有则1 2 3 42. 解：设 表示同一时刻需用小吊车的人数，
13、则 是一随机变量，由题意有 ，于是（1） 的最可能值为 ，即概率 达到最大的（2）3. 解：（1）由 可得 （2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用 表示“线路正常工作” ，则而 故 4. 解：（1）（查正态分布表）（2）由题意 即 查表得 。5. 解:对应的函数 单调增加，其反函数为 ，求导数得 ，又由题设知 故由公式知： 6. 解:，则而由题设知 即 可得 故 查泊松分布表得，7. 解:由数学期望的定义知,而 故 8. 解:（1） 的可能取值为 且由题意,可得即0 1 2 3（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：
14、由已知 则又由 得 连续，单调，存在反函数且 当 时， 则 故 即 试卷三一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2 分，共 10 分）1. 设二维随机变量 的联合分布律为，则 _， _.2. 设随机变量 和 相互独立，其概率分布分别为，则 _.3. 若随机变量 与 相互独立，且 ， ，则 服从 _分布.4. 已知 与 相互独立同分布，且则 _.5. 设随机变量 的数学期望为 、方差 ，则由切比雪夫不等式有_.二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分，共20 分)1. 若二维随机变量 的联合概率密度为 ，则系数 （ ）.(A) (B
15、) (C) (D) 2. 设两个相互独立的随机变量 和 分别服从正态分布 和 ，则下列结论正确的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为 , 则（ ）.(A) (X , Y) 服从指数分布 (B) X 与 Y 不独立 (C) X 与 Y 相互独立 (D) cov(X , Y) 04. 设随机变量 相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量 与随机变量 相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 6设随机变量 的期望与方差
16、都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 7. 若随机变量 是 的线性函数， 且随机变量 存在数学期望与方差，则 与 的相关系数 （ ）.(A) (B) (C) (D) 8. 设 是二维随机变量，则随机变量 与 不相关的充要条件是（ ）.(A) (B) (C) (D) 9. 设 是 个相互独立同分布的随机变量， ，则对于 ，有 （ ）.(A) (B) (C) (D) 10. 设 ,为独立同分布随机变量序列，且 Xi ( i = 1,2,)服从参数为 的指数分布，正态分布 N ( 0, 1 ) 的密度函数为 , 则（ ）.三、计算与应用题（每小题 8 分，共 64 分
17、）1. 将 2 个球随机地放入 3 个盒子，设 表示第一个盒子内放入的球数， 表示有球的盒子个数.求二维随机变量 的联合概率分布.2. 设二维随机变量 的联合概率密度为（1）确定 的值；（2）求 .3. 设 的联合密度为（1）求边缘密度 和 ；（2）判断 与 是否相互独立.4. 设 的联合密度为求 的概率密度.5. 设 ， ，且 与 相互独立.求（1） 的联合概率密度；（2） ；（3） .6. 设 的联合概率密度为求 及 .7. 对敌人阵地进行 100 次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是 4，标准差是 1.5.求 100 次炮击中有 380 至 420 课炮弹命中目标的概率.8. 抽样
18、检查产品质量时，如果发现次品数多于 10 个，则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为 10%的这批产品不被接受的概率达 0.9.四、证明题（共 6 分）设随机变量 的数学期望存在，证明随机变量 与任一常数 的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2. 3. 相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且 ，4. 5. 二、单项选择1. (B)由 即 选择(B ).2. (B)由题设可知，故将 标准化得 选择(B ).3. (C)选择(C).4. (C)随机变量 相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布, 则选择(C).5. (A)选择(A
19、 ).6. (A)由期望的性质知选择(A ).7. (D)选择(D ).8. (B)与 不相关的充要条件是即 则 选择(B ).9. (C)选择(C).10. (A)Xi ( i = 1,2,)服从参数为 的指数分布，则故 选择(A ).三、计算与应用题1. 解显然 的可能取值为 ； 的可能取值为注意到将 个球随机的放入 个盒子共有 种放法,则有即 的联合分布律为2. 解（1）由概率密度的性质有可得 （2）设 ，则3. 解（1） 即 即 ，（2）当 时故随机变量 与 不相互独立.4. 解先求 的分布函数 显然，随机变量 的取值不会为负，因此当 时， ，当 时，故 的概率密度为5. 解（1） 与 相互独立的联合密度为（2）（3）6. 解于是 由对称性 故 .7. 解设 表示第 次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有 ，则 次炮击命中目标的炮弹数 ，因 相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布于是 8. 解设应检查 个产品，其中次品数为 ，则由题设，这里，可以认为 较大，则由棣莫弗拉普拉斯定理知，近似服从正态分布依题意，有 即 亦即 查表得 故至少应检查 个产品，才能达到题设要求.四、证明题证由协方差的定义及数学期望的性质，得
