1、1高考数列压轴题选讲一、填空题1.已知数列 na中， 2n，且 na是递增数列，求实数 的取值范围（答： 3） ；2.首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：83d）3.函数 ()fx由下表定义：若 1a， 25, *2(),nnafN则 208a的值_12. 1 4.将正偶数按如图所示的规律排列：24 68 10 1214 16 18 20 则第 n（n4 ）行从左向右的第 4 个数为 10 28n 5.根据下面一组等式： 123456,56,78903411,21ss可得 13521nss 4n 12本题是课本中的习题考查推理与证明中归纳猜想，数学能
2、力是观察、归纳意识方法一： 13135,6,81,SS 猜想 41321nSS 方法二：先求出 221()nn，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍）6.13五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为 2，第二位同学首次报出的数为 3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010 个被报出的数为 x 1 2 3 4 5f (x) 3 4 5 2 1213 4 7.把数列 的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第 k 行有 2k 1 个12n数，第 k 行的第 s 个数（从左数起）记为 (k，s)，则 可记为 120108.（1
3、）正整数按下列方法分组： 1,234,567,8910,23,4156,.记第n组中各数之和为 nA；由自然数的立方构成下列数组：33330,2,.记第 n组中后一个数与前一个数的差为 ,nB则 nA （2） 、设 1,()()3nnnNx201naxax，将 (0)k的最小值记为 T，则 234550,nTT其中 n=_ .解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题13 （ 10，494）（3）13（4 ） .观察下列等式： 2235，1214 16 18 110 112 114116 118 120 122 124 （第 7 题图）322210134， 25672
4、222383940143 由此得到第 *nN个等式为 .9.数列 na中， *1(2,)nnN， 32na，前 n 项和 152nS，则1_， _（答： 3， 0）；10. 设等差数列 na的首项及公差均是正整数，前 n项和为 nS，且 1a， 46， 312S，则 201a=_ _12. 【4020】 11设等差数列 n的前 项和为 nS,若 1 5a 4， 2 6 3，则 6的取值范围是 ；11 12,4【解析】由题知 114,253adad则 6159S由不等式性质知 612,4S或线性规划知识可得 1423ad，令 615zSad同样得 6,.12.等差数列 n中， 10， 20，则通
5、项 na （答： 210n）；13.设数列 中， ,n，则通项 _。12n14.已知等差数列 na的首项 1及公差 d 都是整数，前 n 项和为 nS（ N）.若143,9aS，则通项公式 _nan+1415.数列 na满足： 112(234)na、，若数列 na有一个形如si()nAB的通项公式，其中 AB、均为实数，且02A、，则.（只要写出一个通项公式即可）14 213sin解： 1a， 2， 3a， 512， 6a故周期为 314数列 n满足 11,nnp*N,其中 p为常数若存在实数 p,使得数列na为等差数列或等比数列,则数列 na的通项公式 na 14 2【解析 】本题是等差等比
6、数列的综合问题，可采用特殊化的方法来解决。由题意可知: p3， =(+2)4。若 n是等差数列，则 2a2=a1+a3,得 p2-p+1=0;若 na是等比数列，则（2p+2） 2=2p(2p+2)+4,解得 p=2.故 an=2n.点评：对于客观题可以采用特殊化的方法，避免复杂的计算。求前 n项和 nS16.设a n是等比数列，公比 2q，S n 为a n的前 n 项和。记 *217,.nSTNa设 0nT为数列 nT的最大项，则 0n= 。【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。211 27(2)()1()17()6n nnnaaT
7、6()7122n因为 ()nn8，当且仅当 (2)n=4，即 n=4 时取等号，所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。【温馨提示】本题的实质是求 Tn 取得最大值时的 n 值，求解时为便于运算可以对 (2)进行换5元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.17.设 4710310()2.2nfn()N，则 ()fn等于 18.在等差数列 na中，若 1056107a，则该数列的前 2011 项的和为 201119在数列 n中，若对任意的 n均有 12na为定值（ nN） ，且7982,3,4aa，则此数列 a的前 100 项的和 10S .299解：此数列只有三个数：2；
8、9；3 循环20已知数列 n的前 n 项和 21nS，求数列 |na的前 项和 nT（答：2*1(6,)7nNT）.类题：已知 na是等差数列，设 12|nnT ()某学生设计了一个求 nT的部分算法流程图（如图） ，图中空白处理框中是用 n 的表达式对n赋值，则空白处理框中应填入： nT 10 2940 21.设 na是等差数列，求证：以 bn= aan21 *N为通项公式的数列 nb为等差数列。22. 等差数列 na中， nS是其前 n 项和， 201a， 2012S，则 201S的值为_13 201；23已知 )(,cba成等差数列，将其中的两个数交换， 得 到的三数依次成等比数列，则
9、2bc的值为 （第 10 题图）结束 开始输入 n n5 Tn n29 n 输出 Tn Y N 614 2024.设等比数列 na的前 n 项和为 Sn，若 )(312312nnaa ， 832则na_.分析：本题要求等比数列 n的通项 n，可以先由 8321求出 2，再利用)(312312naS求出公比 q思路正确，问题在怎样求出 q？如果将na的两边分别求和，得到 q 的方程，再解方程求出 q， 显然计算量大，容易出错.如果仔细观察命题，可以发现 nS2是等比数列前 2n 项的和，)()( 4212312nn aS 其中 1231na 是前 2n 项中所有奇数项的和， a42 是前 2n
10、项中所有偶数项的和，从整体考虑，可以发现在等比数列中na42（ 1231n ）q，利用这个关系可使结构简单，便于求解.解：由 是等比数列，得 ，因为 832a，所以 2a2.由 )(312312nnaS ，得 n422（ 1231n ） ，因为na24（ 13n ）q，所以 q=2. n.25若数列 n满足：对任意的 N，只有有限个正整数 m使得 a 成立，记这样的m的个数为 ()a，则得到一个新数列 ()na例如，若数列 n是 1,23,n， ，则数列 n是 0,12,， 已知对任意的 ， ，则 5() ， ()726已知数列 na满足： 1， 2ax（ N）， 21nna，若前 201项中
11、恰好含有 6项为 0，则 x的值为 .14、 8或 9解:必然存在一个 *0N,当 0n时,数列 n为 0,1,1, 0,1,10,1,1,0,1,1,若 2012928,1aa，则 2165310a， 29x;若 00,， ，不成立;若 20129,， 2965314， 28x;27.已知数列 na满足 1,na则 na的最小值为_.【答案】 2【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以
12、 31设 ()f，令 ()f230，则 ()f在 3,)上是单调递增，在0,3上是递减的，因为 nN +,所以当 n=5 或 6 时 n有最小值。8又因为 53a， 621，所以， na的最小值为 621a28.数列 n满足下列条件： 1，且对于任意的正整数 n，恒有 2na，则102a的值为 14. 49529 设函数 1()2xf, A0 为坐标原点，An 为函数 y=f（x）图象上横坐标为*()nN的点，向量1nkAa，向量 i=（1，0） ，设 n为向量 na与向量 i 的夹角，则满足15ta3kk的最大整数 n 是 13.3解: n11,2nknAO所以 tank12n,1ta2kk
13、,又 1n是关于 的单调递减函数,所以n单调递增,当 1,2,3 时 5213n,满足题意,当 n4 时,4115223n,从而当 4时 2n,所以满足15ta3nkk的最大整数 n是 3.30.设 n是公比为 q的等比数列， |1q，令 1(,)nba 若数列 nb有连续四项在集合 ,219,78中，则 6 .【答案】 9【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减 1，观察即可得解 .31设首项不为零的等差数列 na前 项之和是 nS，若不等式21nSa对任意 na和9正整数 n恒成立，则实数 的最大值为 .12 15解:由不等式得212()na221544na1a由于 10a,所以211
14、54nna15，所以 532在数列 n中， ，且*32()naN，则该数列中相邻两项乘积的最小值为_.33 从等腰直角三角形纸片 ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中2BC， 90o，则这两个正方形的面积之和的最小值为 13 6 34、已知函数 ()yfx是定义在 R上恒不为 0 的单调函数，对任意的 ,xyR，总有fx成立若数列 na的 n 项和为 nS，且满足 1(0)af， 1132nnfafa)(N，则 = .14、 -5S.35 已知等差数列 na的前 n 项和为 nS，若 322(1)0(1)aa，3209209(1)(1)a，则下列四个命题中真命题的序号为 . S； ； 20
15、9； 209S 36. 数列 n满足 1a， 141na（ N） ，记 221nnaa ，若3012mSn对 N恒成立，则正整数 m的最小值为 18. 10 37、等比数列 na中， 13， 6a，函数 126()()fxaxa ，则10(0)f 38、设等差数列 na的前 项和为 nS，若 m， 2S， 2n，则 mnS 二、解答题 1、已知函数 的图象经过点 和 ，记3()log()fxab)1,2(A),5(B()*3,.fnaN（1）求数列 的通项公式；n（2）设 ，若 ，求 的最小值；nTb21, )(ZmT（3）求使不等式 对一切 均成立的最大实数 .12)()(paa *Nnp解
16、：（1）由题意得 ，解得 ， )5(log3bb12l)(3xf *)12(log,3nann（2）由（1）得 ， nb nnT21351321 23 1nnT-得 112n . 12()nn 123n，nnT33设 ，则由*,2)(Nfn 15231)2(53)(11 nnf得 随 的增大而减小 时， *,3)(fnn当 nT又 恒成立， )ZmTn3mi（3）由题意得 恒成立*21)1()(2Naanpn对11记 ，则)1()1(2)(2naanF 1)(42)3(12)1()(12)(3)(12 nnaann)(2n是随 的增大而增大 )(,)1(,0FF即的最小值为 ， ，即 . )(
17、3232p32maxp2、设数列 的前 项和为 ，对一切 ，点 都在函数 的图象nanS*N,nS()2nafx上 （）求 的值，猜想 的表达式，并用数学归纳法证明；123,na（）将数列 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为（ ），（ ， ），（ ，na 1a23a4， ），（ ， ， ， ）；（ ），（ ， ），( ， ， ），5a6789011234156（ ， ， ， ）；（ ），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原178192021a来括号的前后顺序构成的数列为 ，求 的值；nb510（）设 为数列 的前 项积，是否存在实数 ，使得不等式nAnaa对一切 都成立？若
18、存在，求出 的取值范围；若不存在，请说31()2naf*N明理由解：（）因为点 在函数 的图象上，,nS()2nafx故 ，所以 2nnSa21nn令 ，得 ，所以 ；111a令 ，得 ，所以 ；n1224a2412令 ，得 ，所以 3n123319aa36由此猜想： n用数学归纳法证明如下： 当 时，有上面的求解知，猜想成立1 假设 时猜想成立，即 成立， ()k2ka则当 时，注意到 ， n21nnS*()N故 ， 211()kkSak两式相减，得 ，所以 12ka142kka由归纳假设得， ，2k故 144()kaak这说明 时，猜想也成立n由知，对一切 ， 成立 *N2n（）因为 （
19、），所以数列 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为2nana（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），. 每一次循环记为一组由于每一个循环含有 4 个括号， 故 是第 25 组中第 4 个括号内各数之和由分组规律知，由各组第10b4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列，且公差为 20. 同理，由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第 4 个括号中各数之和构成等差数列，且公差
20、为 80. 注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68，所以 又 =22，所以 =2010.10680198b5b510b（）因为 ，故 ，nna12n nAaa所以 121n nAa又 ，33()2nfaa13故 对一切 都成立，就是31()2nnaAaf*N对一切 都成立12132na *n设 ，则只需 即可12() 1ngna max3()2g由于 ，1323()n2481n所以 ，故 是单调递减，于是 g()gmax3()()2g令 ，即 ，解得 ，或 32a32)0a0a综上所述，使得所给不等式对一切 都成立的实数 存在， 的取值范围是*nNa3(,0)(,)23、已知点列 满足
21、： ，其中 ，又已知 ，0,nxA110aAnNn10x.11a、(1)若 ，求 的表达式；Nxfnn xf(2)已知点 B ，记 ，且 成立，试求 a 的取值范围；0a、 nBAn na1(3)设（2）中的数列 的前 n 项和为 ，试求： 。nSn2解：（1） ， ， ，)0,1(A),(1 )1(10nnxA ， ，axn )(nafx .1)(f（2） ， .)0,axBAnaxBAnn14 axfaxann)(1nnnn ax)1()1(1要使 成立，只要 ，即a1 a4a 为所求.4,(（3） )1()21 xxnnn，1( aa nn) nn aS )1()1()(221 a)(
22、， ，41a101)(0na Sn24、已知 在 上有定义， 且满足 时有 ()fx1,1()2f,xy(1,)()(),1xyff若数列 满足 。n11,2nnx（1）求 的值，并证明 在 上为奇函数； (0)f()f,1（2）探索 的关系式，并求 的表达式；1nnx与 ()nfx（3）是否存在自然数 m，使得对于任意的 ，有*N恒成立？若存在，求出 m 的最小值，若不存在，1238()()()4nfffx 请说明理由。15(0),0()(1().xyfyffff(1) 令 令 在 （ ， ） 上 为 奇 函 数121()()21() ,()2.nnn nnxxffffxffxq （ 2）
23、常 数 ） 为 等 比 数 列又 ， 21123m11()()()()()8*,461. nnnfxffxfxNm （ 3） 假 使 存 在 自 然 数 满 足 题 设 ,则 =-对 于 任 意 的 成 立 对 于 任 意 的 成 立即 的 最 小 值 为 165、数列 满足 na,2nna（）求数列 的通项公式；（）设数列 的前 项和为 ，证明 nnS2ln()解：()方法一： ，aa2111所以 21nnn所以 是首项为 ，公差为 的等差数列 na1所以 ，所以 1n na方法二： ， ， ，猜测 32a451na下用数学归纳法进行证明当 时，由题目已知可知 ，命题成立； 1n2116假设
24、当 ( )时成立，即 ，那么knN,11ka当 ， ，22kakk也就是说，当 时命题也成立 1n综上所述，数列 的通项公式为 a1na（） 设 ()l)(0)Fxx则 1 函数 为 上的减函数，所以 ，即()x0,)()0Fxln(1)(0)x从而 11ln1,ln,l(2)(),an(l314l31l(2)ln(1)nS )26、已知二次函数 同时满足：不等式 0 的解集有且只有2()fxaxR()fx一个元素；在定义域内存在 ，使得不等式 成立，设数列 的12012()fxna前 项和 n()nSf（1）求函数 的表达式；x(2) 设各项均不为 0 的数列 中，所有满足 的整数 的个数称
25、为这个数列nb10ibi 的变号数，令 （ ）,求数列 的变号数； nb1nnabNn（3）设数列 满足： ，试探究数列 是否存在最小项？若存在，nc1niianc求出该项，若不存在，说明理由解（）不等式 0 的解集有且只有一个元素()fx17 解得 或240aa4当 时函数 在 递增，不满足条件2()fx(,)当 时函数 在（，）上递减，满足条件综上得 ，即 .4a2()4fx（）由（）知 22()nSn当 时，11当 时 nna22()(3)5n ,()25.n由题设可得3,14.()nbn ， ， ， 都满足120,5030b1i210ib当 时，n1482(5)3nbnn0即当 时，数
26、列 递增， ，由 ，可知 满足430025n4i10ib数列 的变号数为.nb（） , 由（）可得：1niica12341naa()()5253n 1432()n12()n当 时数列 递增，当 时， 最小, 又 ，nnc2c12c18数列 存在最小项nc2c或 ,由（）可得：1niia12341naa()()523nc 1432()2n对于函数 432xy 2)(3()xxy0函数 在 上为增函数，当 时数列 递增，x(,)nnc当 时， 最小，n2c又 ， 数列 存在最小项1nc2c7、已知数列 的前 n 项和 满足： （a 为常数，且 ） naS(1)nn 0,1a（）求 的通项公式；（）
27、设 ，若数列 为等比数列，求 a 的值；21nSbanb（）在满足条件（）的情形下，设 ，数列 的前 n 项和为 Tn .1nncnc求证： 23nT解：（） 11(),aS1,a当 时，2n,nnnn，即 是等比数列 ； 1nana1nnaa（）由（）知， ，若 为等比数列，2()(3)211nnnbaanb则有 而213, 223,b故 ，解得 ， ()aa19再将 代入得 成立， 13a3nb所以 （III）证明：由（）知 ，所以1()3na 1113()()3nnnnnc 1 13nnnn， 12()nn由 得1,33n11,33nn所以 ， 2()2()nnc从而 122231()(
28、)33n nTc 11()()()3nn 12n即 2n8、已知 数列 的前 n 项和为 ，点 在曲线 上214)(xfanS),(1naP)(xfy且 .(*Nn0,1na（1）求数列 的通项公式；（2）数列 的前 n 项和为且 满足 ，设定 的值使得数列bnT3816221nan 1b是等差数列；n（3）求证： .*,142NnS解：(1) 0)(12nnnaaf且 214nn *)(412n20数列 是等差数列，首项 公差 d=412na12na )(42n 34 0a*)(31Nnan(2)由 86,421Tnn得 )14(3)()3(1 nn 4T1Tn )(31n若 为等差数列，则
29、b 1,01b即 *78Nn(3) 341a 1422nn234n )59()5(21nnaaS 142)34( *142Nn9、已知函数 的定义域为 ，且同时满足：对任意 ，总有 ，)xf,0 ,0x2)(xf； 若 ， 且 ，则有 3)1f11x)(121 ff（1）求 的值；0(（2）试求 的最大值；)f（3）设数列 的前 项和为 ，且满足 ，nanS *)3(2,1 NnaSann21求证： 121 32)()( nnaffaf解：（1）令 ，则 ，又由题意，有0x )0(ff（2）任取 且 ，则 00()axbfc又 f(x)为奇函数， f( x)+f(x)=0， ， b=0 ，220abxc ，又 f(1)=1， a=1+c0，当 x0 时，2c 1()2cfx a=2， b=0， c=1，1,2()xf(2) ， x1(0，1)， xn+10(nN *)12nn又 矛盾， xn+1xn。3222()nnnxx(3)0 xk1， 121112()4482kkkkxxAA 2111()()()8kkkkxx22231 11231()n nxxxx 11()()88nnx 1111, ,22nnnxx11 3()52()86nkx25
