1、专题 17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结1等腰三角形的判定：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等2证明线段相等的方法：当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线如图所示：例题与求解【例 1】如图，在ABC 中，AB=7，A
2、C =11，点 M 是 BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，MFAD ，则 CF 的长为_（全国初中数学竞赛试题） 解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点 M” A B D MF C 【例 2】如图，在ABC 中，B=2 C ，则 AC 与 2AB 之间的关系是（ ）AAC2AB BAC2ABCAC2AB DAC2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件B=2C，如何得到 2AB，这是解本题的关键 A B C 【例 3】两个全等的含 300，60 0 角的三角板 ADE 和三角板 ABC，如图所示放置，E、A、C 三点在一条直线上，连结 BD，取 BD 中点
3、 M，连结 ME，MC，试判断EMC 的形状，并说明理由（山东省中考试题）解题思路：从ADEBAC 出发，先确定ADB 的形状，为判断EMC 的形状奠定基础 A B C MD E 【例 4】如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC 于 F，求证：AF =EF（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明FAE=AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形E A B D C F 【例 5】如图，在等腰ABC 中，AB=AC ，A=20 0，在边 AB 上取点 D，使 AD=BC，求BDC度数（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知
4、底角为 300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为 600，60 0 使我们联想到等边三角形，由此找到切入口如图 1，以 BC 为边在ABC 内作等边BCO；如图，以 AC 为边作等边ACEB C A D B C A D 图 1 O B C A D 图 2 E 能力训练A 级1已知ABC 为等腰三角形，由顶点 A 所引 BC 边的高线恰等于 BC 边长的一半，则BAC=_2如图，在 RtABC 中，C=90 0，ABC=66 0，ABC 以点 C 为中点旋转到ABC 的位置，顶点 B 在斜边 AB上，AC 与 AB 相交于 D，则BDC=_A C D B B A (第 2 题) A B C D
5、 E F (第 3 题) (第 4 题) 9 9 1 5 3如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，DE BC 于 E，EFAC 于 F，FDAB 于 D，则AD=_（天津市竞赛试题）4如图，一个六边形的六个内角都是 1200，其连续四边的长依次是 1 ，9 ，9 ，5 ，cmcm那么这个六边形的周长是_ cm（“祖冲之杯”邀请赛试题）5如图，ABC 中，AB =AC，B=36 0，D 、E 是 BC 上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形共有（ ）A3 个 B4 个C5 个 D6 个6若ABC 的三边长是 ， ， ，且满足 ， ，abc442abc442bac，则ABC （
6、）442cabA钝角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）A30 0 B30 0 或 1500 C120 0 或 1500 D30 0 或 1200 或 1500（“希望杯”邀请赛试题）8如图，已知 RtABC 中，C=90 0，A=30 0，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 是等腰三角形，则符合条件的 P 点有（ ）A2 个 B4 个 C6 个 D8 个（江苏省竞赛试题）B C A B A C D E B C A D F G E 第 5 题图 第 8 题图 第 9
7、题图9如图在等腰 RtABC 中，ACB=90 0，D 为 BC 中点，DEAB ，垂足为 E，过点 B 作 BFAC交 DE 的延长线于点 F，连接 CF 交 AD 于 G 求证：ADCF； 连结 AF，度判断ACF 的形状，并说明理由10如图，ABC 中，ADBC 于 D，B=2C，求证：AB+BD=CD（天津市竞赛试题）B A C D 11如图，已知ABC 是等边三角形，E 是 AC 延长线上一点，选择一点 D，使得CDE 是等边三角形，如果 M 是线段 AD 的中点，N 是线段 BE 的中点，求证：CMN 是等边三角形（江苏省竞赛试题）A C E N MB D 12如图 1，RtABC
8、 中，ACB=90 0，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB ，交 CD 于点 E，交CB 于点 FA B D F E C 图1 A B D F E C 图2 A E D 求证：CE=CF； 将图 1 中的 ADE 沿 AB 向右平移到AD E 的位置，使点 E落在 BC 边上，其他条件不变，如图 2 所示，试猜想：BE与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论（山西省中考试题）B 级1如图，ABC 中，AD 平分BAC，AB+BD =AC，则B：C 的值=_ A B C D (第 1 题) (第 2 题) A B D E C 2如图，ABC 的两边 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于
9、 D、E，若BAC +DAE=150 0，则BAC 的度数是_ 3在等边ABC 所在平面内求一点 P，使PAB、PBC、PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点 P 有_个4如图，在ABC 中，ABC=60 0，ACB=45 0，AD、 CF 都是高，相交于 P，角平分线 BE 分别交 AD、 CF 于 Q、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A2 B3 C4 D5A B D C E F P Q S (第 4 题) A B C E D 第 5 题 A A1 N MA2 A3 (第 6 题) 5如图，在五边形 ABCDE 中，A=B=120 0，EA=AB=BC= DC= DE，则D=（ ）2
10、A30 0 B45 0 C60 0 D67.5 0（“希望杯”竞赛试题）6如图，MAN=16 0，A 1 点在 AM 上，在 AN 上取一点 A2，使 A2A1=AA1，再在 AM 上取一点A3，使 A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）AA 5 BA 6 CA 7 DA 87若 P 为ABC 所在平面内一点，且APB= BPC=CPA=120 0，则点 P 叫作ABC 的费尔马点，如图 1A B C P A C B B 图 1 图 2 若点 P 为锐角ABC 的费尔马点，且ABC =600，PA=3 ，PC =4，则 PB 的值为_如图 2，在锐角AB
11、C 外侧作等边ACB ，连结 BB求证： BB过ABC 的费尔马点 P，且BB=PA+PB+PC（湖州市中考试题）8如图，ABC 中，BAC=60 0，ACB=40 0，P、Q 分别在 BC、AC 上，并且 AP、BQ 分别是BAC、 ABC 的角平分线，求证：BQ+AQ =AB+BP（全国初中数学联赛试题）A B P Q C 9如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，M 是 BC 的中点，过 M 作 MEAD 交 BA 延长线于 E，交 AC 于 F，求证：BE =CF= (AB+AC)12（重庆市竞赛试题）A B D MC F E 10在等边ABC 的边 BC 上任取一点 D，作DA
12、E=60 0，DE 交C 的外角平分线于 E，那么ADE 是什么三角形？证明你的结论（学习报公开赛试题）11如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 ： 与 轴、 轴的正半轴l12yxmy分别相交于点 A、B，过点 C(4，4)作平行于 轴的直线交 AB 于点 D，CD=10 y求直线 的解析式；l求证：ABC 是等腰直角三角形；将直线 沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 A、B，在直ly xy线 CD 上存在点 P，使得ABP 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标（宁波市江东区模拟题）B A C O D y x 12如图 1，在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形，A(4，4) 求 B 点坐标； 如图 2，若 C 为 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角 ACD，ACD=90 0，连接xOD，求AOD 度数； 如图 3，过点 A 作 轴于 E，F 为 轴负半轴上一点， G 在 EF 的延长线上，以 EG 为直角边作yx等腰 RtEGH，过 A 作 轴垂线交 EH 于点 M，连接 FM，等式 =1 是否成立？若成立，请FMO证明；若不成立，说明理由 B A O x y B A O x y C D B A O x y E F G H M图 1 图 2 图 3
