1、教学片断与案例1、综合法和分析法的一个教学片断师：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的观察、思考下列证明过程各有什么特点？它们是以怎样的形式使结论获证的？引例 1 已知 a,b0,求证 22()()4abcabc证明：因为 ，所以 ，2,0bc因为 ，所以 .2因此, .22()()cc引例 2 已知 ，求证：abRab证明：要证 ，只需证 ，2a只需证 ，只需证202()0b因为 显然成立，所以原不等式成立()ab引例 3 已知 .求证：, accc0,cba证：设 ， ，0又由 ，则b0b ，与题设矛盾)(cac又若 ，则与 矛盾，必有 . 同理可证：a0,cb设计意
2、图：通过三种证明方法案例的展示，引导学生观察、比较、辨析、思考三种证明方法的形式、特点，为归纳、抽象、概括三种证明方法提供感性认识，也为理解不同证明方法的表述形式打下基础引例 1、2的方法是本课要学习的重点内容，引例 3 的方法（反证法）是下一课的学习任务，在此给出引例 3 有两方面的作用，一方面，让学生对不同方法有一个整体认识与了解，另一方面，为下一课的学习作好铺垫对三个引例，引导学生分两个层次比较、归纳第一层次的比较，是否直接针对结论进行证明？得出直接证明与间接证明；第二层次的比较，是引例 1、2 之间，证明的起点及逻辑推理形式，由此可引导学生归纳、概括出本课重点学习的两种方法：综合法与分
3、析法2、归纳探索的一个教学片断问题情境：（河内塔游戏）传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的 64 个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.每次只能移动 1 个圆环；较大的圆环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这 64 个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.请你推测：把 64 个圆环从 1 号针移到 3 号针,最少需要移动多少次?2 31启发性思考：首先，你是否理解了这个问题？是否理解清楚了圆环的移动规则？是否明白了问题要求什么？然后，你打算怎样考虑这个问题？能否把问题化简单、化容易一些
4、？怎样的情况会更简单、更容易呢？（为归纳作准备，逐步形成归纳意识）【评析】这一系列的启发性思考问题，在于引导学生在面对一个新问题或较难的问题时，首先要准确理解好问题，然后学会寻找问题的切入点生成预设：片数较少的情况会更简单、更容易，先考虑片数较少的情况，看看 1 片、2 片、3 片、，等情况，再找找方法规律或联系，考虑解决更难、更一般的情况.操作实验：（1）可先让学生进行适当的思想实验，想明白1 片、2 片、3 片时的情况，并引进符号 表示 片圆环的移动na次数；（2）再用课前备好的四个大小不一的圆环，让两位学生对2 个、3 个、4 个圆环的情况分别进行实际操作试验，其他学生注意观察并思考规律
5、生成预设：（1）表面的试验观察结果可能只是，,15,7,3,42aa进而发现规律，猜134,2,想 642a（2）更进一步的试验、观察可能发现：,821,1, 4321 aa即：对于两个圆环，底下一个只要移动 1 次，上面一个则要移动 2 次；对于 3 个圆环，由下到上，第 1 个只要移动 1 次，第2 个需要移动 2 次，第 3 个则要移动 4 次；对于 4 个圆环的情况可作同样解释进而猜想 2163264 a（3）更深入的试验、观察、思考可能发现更本质的移动规律，在理性的层面上解决问题：移动 个圆环时，只要化归为移n动 个圆环即可，第一步，先把上面的 个圆环按要求移1n 1到 2 号针上，
6、需移 次；第二步，把最底下的第 个圆环移到1nan3 号针上，需要移 1 次；第三步，再把 2 号针的 个圆环移到3 号针，需要再移 次，从而得 ，这样就可依次n 1na求得各种圆环数的移动次数，或转化为等比数列，结合 ，求得通项 ，即)(211nna1a12nn【评析】移动 3 个、4 个圆环的情况，学生可能会有一些困难要根据学生的实际情况，给予适当的点拨、提示，或质疑启发（1）缺乏思维指导的学生可能只是盲目地、孤立地试验各种情况，这样，要试验求出 、 就更困难，而求出 、 对3a43a4于归纳猜想又是关键所在（2）预设（2）体现了更进步的观察、归纳，是注意到试验中每个圆环的移动次数规律性，
7、从这样的角度，可能更有利于得出 、 3a4（3）预设（3）则体现了更深的理性思考，这要从联系与转化的角度进行观察、思考让学生进行实际的试验操作，给学生以感性体验，并通过动手操作，促进思维领悟，这也体现了一种思维训练，在这过程中，也能体现学生不同的思维层次与多种思维品质，对激发学生的探究兴趣也可能有积极的作用另外，从省时的角度，也可考虑运用多媒体课件进行移动圆环的演示实验，并引导学生进行观察、思考，这种技术手段同样能产生较好的直观效果，也有利于学生的观察发现，但这种观察有一定的被动性在教学中，如何挖掘不同层次的学生思维潜能，让学生感受不同角度、不同层次的观察、思考，归纳、概括，是值得我们教师下功
8、夫的地方，相信这对学生的思维训练是大有好处的3、案例案例 1：头上戴的帽子的颜色（华罗庚的例子）有位老师，想辨别他的 3 个学生谁更聪明他采用如下的方法：事先准备好 3 顶白帽子，2 顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的 2 顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。聪明的你，想想看，他们是怎样推算出来的呢？他们怎样能够从别人头上帽子的颜色，正确地推断出自己头上帽子的颜色的呢？“为了解决上面的伺题，我们先考虑“2 个人，1 顶黑帽， 2顶白帽”问题因为，黑帽只有 1 顶
9、，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽这样，“3人 2 顶黑帽，3 顶白帽” 的问题也就容易解决了假设我戴的是黑帽子，则他们 2 人就变成“2 人 1 顶黑帽，2 顶白帽 ”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3 人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子看到这里。同学们可能会拍手称妙吧后来，华罗庚还将原来的问题复杂化，“n 个人，n-1 顶黑帽子，若干（不少于 n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解他并告诫我们：复杂的问题要善于“退” ，足够地“退”，“ 退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学
10、的一个诀窃简化问题：有位老师想辨别他的二个学生谁更聪明. 他采用如下的方法：事先准备好两顶白帽子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让他们闭上眼睛. 老师给他们戴上帽子，并把剩下的那顶帽子藏起来. 最后让学生睁开眼睛，看着对方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色. 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿，然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子” . 聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？ 这里的思维方式就是推理.案例 2：探索活动是如何进行的？（华罗庚的例子）面对着一个装有不明物的袋子，观察者问自己，这袋子里装的是什么？于是探索活动开始了。从一个袋子里摸出的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四
11、个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们会出现另一种猜想：“是不是袋里的东西全都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时，我们又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见个分晓。袋子里的东西是有限的，迟早总可以把它摸完，由此可以得到一个肯定的结论，但是，当东西是无穷的时候，那怎么办？如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的东西，也一定是红
12、玻璃球”，那么，在这样的保证之下，就不必费力去一个一个地摸了。只要第一次摸出来的确实是红玻璃球，就可以不再检查地作出正确的结论：“袋里的东西全部是红玻璃球”。华罗庚举的这个例子，是对简单枚举归纳推理结论性质的一个通俗说明。 人们应用简单枚举归纳推理，当然可以从为数不多的事例中推导出普遍的规律性来，然而这还是一个“猜想”。这种猜想对不对，还必须进一步加以验证。因为对于不完全归纳推理来说，结论所断定的范围超过了前提所断定的范围，所以，它的结论就不具有必然性，它可能真，也可能假。 从一个袋子里摸球，连续摸了五次，摸的都是红玻璃球，这时候，我们可以通过简单枚举归纳推理得出结论：“这个袋子里装的都是红玻
13、璃球。”但是，你在得出这个结论时，必须清醒地认识到这个结论是不可靠的。正如这个例子所表明的，你第六次摸出的，却是白玻璃球了，这就把你的这个结论推翻了。因此，当你摸了六个球时，虽然可以得出“这个袋子里装的都是玻璃球”的结论；摸第七个球时，可以得出“这个袋子里装的都是球”的结论，但必须明白，这些结论同样都是或然的。总而言之，我们在进行简单枚举归纳推理时，必须充分估计到其结论的或然性。案例 3：我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油；案例 4：三角形的内角和为 ，四边形的内角和为，五边形的内角和为 ，所以 边形的内角
14、和为 ；案例 52014北京卷 已知函数 f(x)x cos xsin x，x .0，2(1)求证：f(x)0 ；(2)若 a b 对 x 恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值sin xx (0，2)（2）思考：设 ，探索 的上界与下界，gsin)(xg考虑单调性 ， 在 上递减，0ico)( 22fx)(0，2)故有 ，又 ，从而下界是 ；02gg)(但 没有意义，这就得不到上界。联想到 ，)0( xtansix ，(0，2)有 ，猜想：上界是否为 1？即 是否 ？1sin,0x1six再由 ， 时，xcosintaiin0，cosx案例 6【2015 北京理 20】已知数列 满足： ，
15、 ，na*1N136a且 记集合 12183nnna， ， 2， ， *|nM（）若 ，写出集合 的所有元素；16（）若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明： 的所有元素M都是 3 的倍数；（）求集合 的元素个数的最大值【解析】（）由已知 可知：121836nnna， ，1234=6,=,aa,24M=（）因为集合 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 3 的Mka倍数，由已知 ，可用数学归纳法证明对任意12186nnna， ， 是 3 的倍数，当 时，则 M 中的所有元素都是 3 的nkk倍数，如果 时，因为 或 ，所以 是126ka12ka3 的倍数，于是 是 3 的倍数，类似可得
16、， 都是 3 的倍1ka L,数，从而对任意 ， 是 3 的倍数，因此 的所有元素都是 3 的nn倍数.另外，用反证法可有多种灵活的证法。参考文献：杨平、王文英：2015 年北京高考理科数学压轴题精彩回放，中小学数学201510 ，数学通讯201511 下；（）首先 中的元素都不超过 36。由 ，易得 ，类M361a362a似可得 ；其次， 中的元素最多除前两个数外，都是 4 的倍36na数，因为第二个数必为偶数，故第三个数及后面的数都必是 4 的倍数；又， 与 除以 9 的余数相同。12若 中的元素有 3 的倍数，则由（）知，所有的 都是 3 的倍na数，考察 除以 9 的余数，只能是 3，
17、6，3，6 ，或na6，3，6，3，或 0，0 ， 0，0，。而除以 9 余 3 且是 4 的倍数只有 12，除以 9 余 6 且是 4 的倍数只有 24，除以 9 余 0 且是 4 的倍数只有 36。于是， 中的数从第三项起，最多只有两项，即 中最MM多只有 4 个元素。若 中的元素没有 3 的倍数，则所有的 都不是 3 的倍数，考察na除以 9 的余数，只能在 1，2，4，5 ，7，8 中取值，又， 与na 1na除以 9 的余数相同，故 ， 除以 9 的余数，只能是2,an1，2，4，8，7，5 ，1 ，2，4，8，7 ，5，中前 6 个数的某一个开始依次取值，从 起，又是 4 的倍数，且不超 36，故只有328，20，4，8，16，32。因此， 中最多可有 8 个元素，且M时，有 。1a0,6,另外，也可用穷举法，对首项分 36 种情况，把集合 M 的所有情况穷举出来，进行说明；或者用穷举法结合分析法以减少穷举的数量。本题考查数列的有关知识，即考查了数列（分段型函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，涉及整数性质等数论知识与方法，问题的解决充满了数学实验的成分，体现了解决方法的灵活性，思维入口宽，既可以从合情推理入手再进行演绎推理，证明结论；也可直接通过演绎推理解决问题；还可用数学实验和完全归纳法进行归纳.
