1、1详解：2013 年上海市初中数学竞赛(新知杯) 试题（考试时间：2013 年 12 月 8 日 9：00-11 ：00 满分 150 分）大罕( 王方汉)一、填空题：（每题 10 分）1.已知 , ，则 = .721abba3分析：结果式子是对称式，因此需要计算两数之和与两数之积+ = = ， = ，)72(34a)72(131 = =ba3)(2baba)3(2bab= = .341)4(2762.已知直线 ，直线 ， ， ，则1l23l41m23410ABCDS20ILKJS.EFGHS分析：用割补法，把 EHGF 四条“边”上的三角形移到ABCD 四个“角”上，它们的面积相等 = ，
2、= ，AJFESBHIES= ， = ，CHGLDGKF 2 + =120，ACILJ 60.EF3.已知A90 ，AB=6 ，AC=8，E,F 在 AB 上，且 AE=2，BF=3 ，过 E 作 AC 的平行线交BC 于 D，FD 的延长线交 AC 的延长线于 G，则 GF= .分析：GF 在直角三角形 AFG 中，AF 的长已知，关键是求 AG图中有平行线，所以要用到平行线截得成比例线段定理解：在ABC 中， ， = ，而DEACEA64AC=8， ,31682E在AFG 中， ， = ，而 ，GF3131D .163AG在 RtAFG 中，= .2F26513A BCDEFGHLJm1K
3、Im2 m3 m4l1l 2l 3l 4AB CDEFG24. 已知凸五边形的边长为 , , , , ， 为二次三项式，当 或者1a2345a)(xf 1axx= + + + 时， ，当 时， ，当 时，2a345a5)(xf 21xp543，则 = .qf)(p分析： 为二次三项式，二次函数 的图像是一条抛物线，)(xf )(xfy , , , , 是（凸）五边形的边长，不妨把这条抛物线画成开口向上的，如图12345不妨设 + + + ，依题有： + + + （=5 是没有作用的） ，0a234a51af2f3a4)5这说明抛物线的对称轴是直线： ,)(5432x又 ，25431x )(1在
4、 x 轴上，点 与点 是关于对称轴 对称的两点，a543a25431aax ，即 ，)(21af )(543f qp =0qp5. 已知一个三位数是 35 的倍数，且各个数位上的数字之和为 15，则这个三位数是 .分析：数字之和为 15，这说明该三位数一定是 3 的倍数，又因为该数是 35 的位数，所以它一定是 105 的倍数，经检验 735 是唯一解6. 已知关于 x 的一元二次方程 对于任意实数 a 都有实数根，则 m0)2(12max的取值范围是 .分析:原方程对于任意实数 a 都有实数根 即0)2(14对于任意实数 a 都成立，注意到要求的是 m 的取值范围，而右边有最小4)2(1am
5、值 0，故只须， ， )(0(最 小 值 )2(1m012a1 a2+a3+a4+a5x=(a1+a2+a3+a4+a5)/2xOyp(q)37. 已知四边形 ABCD 的面积为 2013，E 为 AD 上一点，BCE, ABE,CDE 的重心分别是 G1,G2,G3，那么G 1G2G3 的面积为分析：三角形三条中线的交点称为重心重心的基本性质是：重心到一边中点的连线长等于所在中线的 据此，过点 G1 作 BC 的平行线，交 BA 于 M，G 1 是 BCE 的重心，BM= BA，31过点 G2 作 BC 的平行线，交 BA 于 N，G 2 是ABE 的重心，NA = BA，过点 G2 作 B
6、A 的平行线，交 AD 于 P，G 2 是ABE 的重心， AP = AE，31过点 G3 作 BA 的平行线，交 AD 于 Q，G 2 是 CDE 的重心，DQ= DE， ，而G 1G2G3 的 G2G3 边上的高= ,ADEQPE32 AB31G 1G2G3 的面积= = 四边形 ABCD 的面积= .B1967098.直角三角形斜边 AB 上的高 CD=3，延长 DC 到 P，使得 CP=2，过 B 作 BFAP，交 CD于 E，交 AP 于 F，则 DE= .分析：本题涉及到直角三角形斜边上的高，就要考虑射影定理，即，直角边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；本题涉及到两个角的两
7、边分别垂直，就要考虑到这两个角相等；既然有角相等，就要考虑相似三角形DBE=P，DBE =PAD，ADPEDB， ，DBAE 592CABC DG3G2G1 b ABC DG3G2G1 b E EM NPQABCDEFP4二、解答题：（第 9 题、第 10 题 15 分，第 11 题、第 12 题 20 分）9已知BAC=90，四边形 ADEF 是正方形且边长为 1，求 + + 的最大值ABC1分析：本题需从结论入手，如果按常规通分，那是死路一条于是考虑用特殊变形注意到正方形边长为 1，即 DE=EF=1，代入到前两项的分子中，就成为比例式不妨一试：+ + = + + = + + =1+ ，A
8、B1CABEFCD1BEC因此，欲求 + + 的最大值只需求 BC 的最小值而 =2222)1()(F 2)(2FCBD这里需要用基本不等式 和 ( )吗？abab0,试一试：(等号当且仅当 取得)，FCBD2 CBD(等号当且仅当 取得)，等号取得的条件是一致的！只需要证实 是常数即可F考查含有 和 的两个三角形，即BDE 和EFC ，它们是相似的！于是，BDEEFC ， ，CEDB ，1EFDCB + =8，2 2)(2F24CBD ，当且仅当 时等号成立，此时 + + ， + + 的A141ABC1最大值是 42110.已知是不为 0 的实数,求解方程组:axys1)2(分析：可考虑两式
9、相减，得： ， 似乎越走越远ayx1axy12可考虑两式直接相乘，仍然得不到有益结果将两式化成如下形式：xya1)4(3再将两式相乘，得 ，注意到 ，1)(2axy0xy立即可得： ，代入（1）得： ，这是很漂亮的结果！axyy乘胜前进：ABCD EF5由 可得 ，或 ayx112ayx12ayx11已知 ， , , , 为整数且 + + + = =2013，求 的n23n13n1a23nn最小值分析：既然 且 , , , 为整数，那么我们就从 试起，没有发现适合1 4,的当 时，取 = =-1, = =1, ，5a234a205则有 + + + + =-1+(-1)+1+1+2013=201
10、3, 2345=（-1）(-1) 112013=2013,1以下证明 时没有适合条件的不妨设 ,n12a3na分两种情况：当 , , , 均为正整数时：1a23na由 =2013 知， , , , 均为 2013 的正约数，注意到 2013=31161，12a3n欲 + + + =2013 且 ，则 671，所以 =671 或 2013，经验算，n=2,3,44na均不可能；当 , , , 中有负整数时：1a23na由 =2013 且 可知，其中有且只有两个负数，即 01a2若 n=4 时，且 = 2013，则 2013= + + + = + + +2013，所以 = -( + )41a234
11、a12331a2这时 2013 的正约数 是另外两个负约数的和的绝对值，经检验是不可能的；3若 n=4，且 2013，即 0 671，则无法使得 + + + =2013 成立；a4 4若 ，则由 0 和 + + =2013 知， 2013，这时 2013 的正约数 是另3n121233 3外两个负约数的和的绝对值，经检验是不可能的；若 ，由 0 知 + 02013，也是不合要求的2a综上可知， 的最小值为 512已知正整数 满足 ， ，求所有满足条件的 的值dcba, )13(2dca)13(2dcbd分析：设 ，则 ， ，所以 ，),(mn,nm将题设两个等式相除，得 ，于是有 ，22又设 ，213knd)(1-得： ，3(m由于 与 同奇偶，若 、 同为偶数，则 是 4 的倍数，不可nm)(nmk能为 26，所以 、 同为奇数且 ，2k因此 =13， =1，得到 ， ，n76代入，得 ，所以 ，且为唯一解2713d85d
