1、魔术学堂试卷 第1/ 23页相似判定和性质补充一、选择题1、如图，已知：ABC 、DEA是两个全等的等腰直角三角形，BAC= D=90，两条直角边AB、AD重合，把AD绕点A逆时针旋转角（0 90 ），到如 图所示的位置时，BC 分别与 AD、AE相交于点F、 G，则图中共有（ ）对相似三角形A1 B2 C3 D42、ABC中，F是AC的中点， D、E三等分BC、BF 与AD、AE分别交于P、Q ，则BP：PQ：QF=（ ）A5：3：2 B3：2：1 C4：3：1 D4：3：23、如图，平行四边形ABCD 中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G ，则图中的相似三角形对数共有（ ）魔术学堂试
2、卷 第2/ 23页A8对 ； B6对； C4对； D2对 4、如图所示，给出下列条件：B= ACD；ADC=ACB； = ；=ADAB其中单独能够判定 ABCACD的个数为( )A .1B .2C .3D .45、在ABC中，AB=AC=10 ，点D是边BC上一动点（不与B，C重合）， 连结AD，作ADE=B=，DE交AC 于点E，且cos= 有下列 结论：ADEACD； 当BD=6时，ABD与DCE全等；当 DCE为直角三角形时，BD=8 ；3.6AE10其中正确的结论是( )A .B .C .D .魔术学堂试卷 第3/ 23页6、如图， ABC中，AE交BC于点D， C=E，AD=4，BC
3、=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（ ）A B C D7、如图，已知ABAC，要使AEF ACB，且EF 与 BC不平行， 还需补充的条件可以是（ ）AAEF=B BAFE=C CAFE=B DA=A8、如图， ABC中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：ACP=B；APC=ACB；AC2=APAB；ABCP=APCB，能满足APC与ACB相似的条件是（ ）A B C D9、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左 图中ABC魔术学堂试卷 第4/ 23页相似的是（ ）A B C D10、如图，在 ABC中，D、E分别是AB、 BC上的点，且DE AC，若S B
4、DE：SCDE=1：4，则S BDE：SACD=（ ）A1：16 B1：18 C1：20 D1：2411、如图，在 ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：ABD=ACB；AB2=ADAC；ADBC=ABBD；ABBC=ACBD其中单独能够判定ABDACB的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个魔术学堂试卷 第5/ 23页12、如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O， 则 等于（ ）A B C D13、下列判断正确的是（ ）A在ABC 和 DEF中， A=40，B=70；D=40，F=80；则可判定这两个三角形相似B有一锐角对应相等的两个直角三角形相似C所有的矩
5、形都相似D所有的菱形都相似14、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）A B C D15、如图， ABC中，D、E分别为AC、 BC边上的点，AB DE，CF为AB 边上的中线，若魔术学堂试卷 第6/ 23页AD=5，CD=3，DE=4，则BF的长为（ ）A B C D二、填空题16、如图，点 D、E、F在 ABC三边上，EF、DG相交于点 H，ABC=EFC=70，ACB=60，DGB=50，图中与GFH相似的三角形的个数是 _ 三、解答题17、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B 作BE CD，垂足为E， 连接AE，F 为AE上一点，且BFE=C（1）求证：ABFEAD；（2）
6、若AB=4，BAE=30，AD=3，求AE和BF的长18、已知：O 为 四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB相交，交点分别为M、N（1）若ABCD为正方形，如 图 ，猜想：线段OM与ON间的大小关系，并证明你的结论；（2）若ABCD为矩形，如图 ，且 AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，求y与x之间的函数关魔术学堂试卷 第7/ 23页系式19、如图，已知ABC 是等 边三角形， AB=4，D是AC边上一动点（不与A、C点重合），EF垂直平分 BD，分 别交AB、BC于点E、 F，设CD=x ，AE=y（1）求证：A
7、EDCDF；（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）过点D作DHAB，垂足为点H，当 EH=1时，求 线段CD 的长20、定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC 2=BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点如图2，ABC 中，AB=AC=1， A=36，BD平分ABC交AC 于点D（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长21、已知：如图，在ABC 中，BAC=90，AHBC 于H ，以AB和AC为边在Rt ABC外作等边ABD和 ACE，求证：DHHE 魔术学堂试卷 第8/ 23页22、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E ，连接DE，F为
8、线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求 AE的长23、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC ，D为CB延长线上一点，E 为BC延长线上一点，且满足 =DBCE（1）说明：ADBEAC；（2）若BAC=40，求 DAE的度数。魔术学堂试卷 第9/ 23页相似判定和性质补充的答案和解析一、选择题1、答案：D试题分析：根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案试题解析：ABC 与DEA是两个全等的等腰直角三角形，BAC= EDA=90，C=B=DAE=E=45，CFA=B+FAB，GAB=FAG+FAB，CFA=BAG，CAFBG
9、A，BGAAGFCAF；还有ABC DEA，相似三角形共有4对故选：D2、答案：A试题分析：过F 作FN BC，交 AE于M ，AD于N，根据相似三角形性质和判定求出FQ= BF，PQ= BF，BP= BF，代入求出即可试题解析： 过F作FN BC，交 AE于M ，AD于N，F为 AC中点，FM是 AEC中位线，MF= CE，CE=2FM，BD=DE=CE，BE=2CE=4FM，FMBC，FMQBEQ， = = ，FN是ADC的中位线，魔术学堂试卷 第10/ 23页FN= CD=CE=BD，FNBC，FNPBDP， = =1，BP=PF， = ， = ，FQ= BF，BP= BF，FQ= BF
10、，PQ=PF-QF= BF- BF= BF，BP：PQ：QF=（ BF）：（ BF）：（ BF）=5：3：2故选：A3、答案：B试题分析：根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即ADBC，ABCD ；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案四边形 ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，BECGEA，ABECEF，GDFGAB，DGFBCF，GABBCF，还有ABC CDA（是特殊相似），共有6 对故选：C 4、答案：D试题分析：本题考查了相似三角形的判定，根据条件可依次判定是否为相似三角形魔术学堂试卷 第11
11、/ 23页B=ACD；A=AABCACD，故正确；ADC=ACB；A=AABCACD，故正确； = 对应边成比例 ABCACD，故正确； =ADAB = 对应边成比例， ABCACD，故正确；故选：D.5、答案：C试题分析：根据有两组对应 角相等的三角形相似即可 证明；由BD=6， 则DC=10 ，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可 证得；分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；依据相似三角形对应边 成比例即可求得。解： AB=AC，B=C，又ADE=B，ADE=C，ADEACD；故正确；作AG BC于G，AB=AC=10，ADE=B=，cos= ，BG=ABcosB，BC
12、=2BG=2ABcosB=210 =16，BD=6，DC=10，AB=DC在ABD与DCE中， ，ABDDCE（ASA）故正确；魔术学堂试卷 第12/ 23页当AED=90时，由 可知： ADEACD，ADC=AED，AED=90，ADC=90，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且cos= ，AB=10，BD=8当 CDE=90时，易证CDE BAD，CDE=90，BAD=90，B=且cos= ，AB=10，cosB= = ，BD= 即当DCE为直角三角形 时，BD=8或 故错误；易证得 CDEBAD，由可知BC=16，设BD=y， CE=x， = ， = ，整理得： -16y+
13、64=64-10x，即 =64-10x，0x6.4，AE=AC-CE=10-x，3.6AE10故正确故正确的结论为：故选：C 6、答案：B试题分析：由ADC=BDE， C=E，可得ADCBDE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案试题解析：ADC=BDE ，C=E，ADCBDE，魔术学堂试卷 第13/ 23页 ，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，BD=5，DC=3，DE= = 故选：B 7、答案：C试题分析：利用两角法可判断AEF ACB，首先A=A ，再添加一个即可试题解析：EF与BC 不平行，AFEC，AEFB，可添加AFE=B证明：A=A， AFE=C，AEFACB故选C
14、8、答案：A试题分析：根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到最后答案试题解析：A=AACP=B，APC=ACB时都相似；AC2=APABAC：AB=AP：AC相似；此两个对应边 的夹角不是 A，所以不相似所以能满足APC与ACB相似的条件是故选A9、答案：B试题分析：本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案试题解析：已知给出的三角形的各边AB、 CB、AC分别为 、2、 、只有选项B 的各边为1、 、 与它的各边对应成比例故选：B 10、答案：C魔术学堂试卷 第14/ 23页试题分析：设BDE的面积为 a，表示出 CDE的面积为4a ，根
15、据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出 ，然后求出DBE和ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出ABC的面积，然后表示出ACD的面积，再求出比 值即可试题解析：S BDE：SCDE=1：4，设BDE的面积为a ，则CDE的面积为4a ，BDE和 CDE的点D到BC的距离相等， = ， = ，DEAC，DBEABC，SDBE：SABC=1：25，SACD=25a-a-4a=20a，SBDE：SACD=a：20a=1：20故选：C 11、答案：C试题分析：利用相似三角形的判定方法，两角对应相等两三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似；利用三角形三边对应比值相等两三角形
16、相似，进而判断得出答案试题解析： ABD=ACB，A=A，ABDACB；AB2=ADAC = ，A=A，ABDACB；过点B 作BEAC，垂足为点E， 过点D作DFAB，垂足为点F 在Rt AEB和RtAFD中，sin BAE=sinDAF， = ，即 = 魔术学堂试卷 第15/ 23页又ADBC=ABBD = ，于是 = RtBDFRtCBEABD=CABDACBABBC=ACBD， = ，无法得出 ABDACB；故选：C 12、答案：D试题分析：利用DAO与DEA相似，对应边成比例即可求解试题解析：DOA=90，DAE=90， ADE是公共角，DAO=DEADAODEA即AE= AD故选D
17、13、答案：B试题分析：利用相似图形的定义进行判断后即可确定正确的选项试题解析：A、不能得到两 对对应角相等，不能判定相似，故错误；B、有一对锐角对应相等，加上直角对应相等，这样的两个直角三角形相似，故正确；C、所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；D、所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误故选B 14、答案：B试题分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可魔术学堂试卷 第16/ 23页试题解析：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为 ，2 ， A、三角形三边2， ，3 ，与 给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角
18、形三边2，4，2 ，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3， ，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边 ，4， ，与 给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误故选：B 15、答案：B试题分析：由ABDE可得CDECAB ，再由AD=5，CD=3， DE=4，可求 AB的长又CF为AB边上的中线，则F为AB的中点，问题可求ABDE，CDECAB，AD=5，CD=3，DE=4，AC=CD+AD=8， ，AB= ；又CF 为AB边上的中线，F为 AB的中点BF= = 故选B 二、填空题16、答案：试题分析：首先根据已知的条件，求出各三角形的内角度数，然后
19、根据相等角去找对应的相似三角形试题解析： ABC=EFC=70，HFDB；GBDGFH；在 BDG中，B= EFC=70，DGB=50，则GDB=60 ；在ABC中， B=70，ACB=60，则A=50 ；ABCGFHDGB=A=FEC=50，EFC为公共角魔术学堂试卷 第17/ 23页EFCGFH；综上所述，图中与GFH相似的三角形的个数是3故答案是：3三、解答题17、答案：试题分析：（1）由平行的性质结合条件可得到AFB=EDA和BAE= AED，可证得结论；（2）由平行可知ABE=90，在RtABE中，由直角三角形的性质结合勾股定理可求得AE，然后根据相似三角形的性质即可得到结论试题解析
20、：（1）证明：ADBC ，C+ADE=180，BFE=C，AFB=EDA，ABDC，BAE=AED，ABFEAD；（2）ABCD，BECD，ABE=90，AB=4，BAE=30，AE=2BE，由勾股定理可求得AE= ，ABFEAD， ，即 ，BF= 18、答案：试题分析：（1）由四边形ABCD为正方形，易 证得 AONBOM，然后由全等三角形的性质，证得OM=ON；（2）首先过点O作OEAB于点E，作OFBC 于点F，易证得FOM EON，然后由相似三角形的对应边成比例，求得y与x之间的函数关系式试题解析：（1）OM=ON 魔术学堂试卷 第18/ 23页证明：四边形ABCD 是正方形，OA=O
21、B，OAN=OBM=45，AOB=90，AON+BON=90，BON+BOM=90，AON=BOM，在AON和BOM 中， ，AONBOM（ASA），OM=ON；（2）过点O作OEAB于点E，作OFBC 于点F，四边形 ABCD为矩形，AB=4，AD=6，OE= AD=3，OF= AB=2，OEOF，EOM+FOM=90，EON+EOM=90，EON=FOM，OEN=OFM=90，FOMEON，OM：ON=OF：OE=2：3，OM=x，ON=y，y与x之 间的函数关系式为：y= x19、答案：试题分析：（1）易证BEFDEF， 则有EDF=EBF=60，由 A=C=EDF=60即可证到AEDC
22、DF；（2）由AEDCDF可得 DF= ，CF= ，然后利用DF+CF=BF+CF=BC=4就可解决问题；（3）在Rt AHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，A=60，运用三角函数可求得y=3-魔术学堂试卷 第19/ 23页x，从而有 =3- x，解这个方程就可解决问题试题解析：（1）证明：如图1，EF垂直平分 BD，EB=ED，FB=FD在BEF和DEF中，BEFDEF（SSS），EBF=EDFABC是等边三角形，A=ABC=C=60，EDF=60，ADE+FDC=180-60=120又AED+ADE=180-60=120，AED=FDC，AEDCDF；（2）ABC是等边三角形，
23、AC=BC=AB=4CD=x，AE=y，AD=4-x，ED=EB=4-yAEDCDF， = = ， = = ，DF= ，CF= DF+CF=BF+CF=BC=4， + =4，整理得：y= （0x4）；魔术学堂试卷 第20/ 23页（3）如图2，在Rt AHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，A=60，cosA= = = ，y=3- x， =3- x，整理得：x 2-14x+24=0，解得：x 1=2，x2=12，0x 4，x=2，即CD的长为220、答案：试题分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出ABC= C=72，ABD=CBD=36，BDC=72，则可得到AD
24、=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得BDCABC ，利用相似比得到BC 2=CDAC，于是有AD 2=CDAC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设AD=x，则CD=AC-AD=1-x，由（1）的结论得到x 2=1-x，然后解方程即可得到AD的长试题解析：（1）证明：AB=AC=1，ABC=C= （180-A）= （180-36）=72，BD平分ABC交AC于点D，ABD=CBD= ABC=36，BDC=180-36-72=72，DA=DB，BD=BC，AD=BD=BC，魔术学堂试卷 第21/ 23页易得BDC ABC，BC：AC=CD：BC，即BC 2=CDAC，AD2=
25、CDAC，点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC-AD=1-x，AD2=CDAC，x2=1-x，解得x 1= ，x2= ，即AD的长为 21、答案：试题分析：首先根据BAC=90，AHBC 于H，判断出ABH= CAH，进而判断出DBH=EAH；然后根据相似三角形的判定方法，判断出 ABHCAH，即可判断出 ，再根据AB=BD ，AH=AE，判断出 ，据此判断出 BDHAEH，推得BHD= AHE；最后判断出 DHE=90，即可判断出 DHHE试题解析：BAC=90，BAH+CAH=90，AHBC，ABH+BAH=90，ABH=CAH，又DBH=ABH+60，EAH= CA
26、H+60，DBH=EAH，在ABH和CAH中，ABHCAH， ，又AB=BD，AH=AE， ，在BDH和AEH 中，BDHAEH，BHD=AHE，BHD+AHD=90，魔术学堂试卷 第22/ 23页AHE+AHD=90，即 DHE=90，DHHE22、答案：试题分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似 ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt ADE中，利用勾股定理求出线段AE 的长度（1）证明：ABCD，ABCD ，ADBC，C+B=180，ADF=DECAFD+AFE=180，AFE=B，AFD=C在ADF 与DEC中，ADFDEC（2）ABCD，
27、CD=AB=8由（1）知ADFDEC， ，DE= = =12在Rt ADE中，由勾股定理得：AE= = =623、答案：（1）证明过程见解析过程（2）110试题分析：（1）根据AB=AC ，求得 ABD=ACE，再利用 =DBCE，即可得出对应边成比例，然后即可证明（2）由ADBEAC，得出 BAD=E，D=CAE，则DAE=BAD+ BAC+CAE=D+BAD+BAC，很容易得出答案解：（1）证明：AB=AC ，ABC=ACB，ABD=ACE， =DBCE ADBEAC魔术学堂试卷 第23/ 23页（2）ADBEAC，BAD=E，D=CAE，DAE=BAD+BAC+CAE，DAE=D+BAD+BAC，BAC=40，AB=AC，ABC=70，D+BAD=70，DAE=D+BAD+BAC=70+40=110.
