1、1矩阵n次方的几种求法1.利用定义法则 其,ijkjsnnmAaBb,ijsmCc12.ijijijinjabab称为 A 与 B 的乘积，记为 C=AB，则由定义可以看出矩阵1nikjbA 与 B 的乘积 C 的第 行第 列的元素等于第一个矩阵 A 的第 行与ij i第二个矩阵 B 的第 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩j阵的列数与第二个矩阵的行数要相 。1同例 1:已知矩阵 ， ，求 AB341250A4530621B解：设 = ，其中 ；CB34ijc1,i,3j由矩阵乘积的定义知：152602c125431c33400210c2 29c31257411156340c32034
2、c3064 0将这些值代入矩阵 中得：C2=CAB3432105976则矩阵 的 次方也可利用定义的方法来求解。An2.利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设把 ， 分解成一些小矩阵：,ijkjsnnmAaBbAB， ，其中 是 小矩阵且11lttl 11rllr ijAijsn， ，且 ， ； 是,2.i,.j12.tss12.lijB小矩阵且 ， ；且 ，jknml,krlnn；令 = ，其中 是 小12.rCAB11rttrC ijijsm
3、矩阵且 ， ，且 ，,.it1,2.jr12.tss；其中 。这里我们应12rm .ijijijiljAB注意：矩阵 列的分法必须与矩阵 行的分法一 。AB1致3例2：已知矩阵 ， ，求45102386A521206BAB解：将 454511020338866A12EA写 成，其中124506B12B写 成 10E， ， ， 12538A2061450B2146由矩阵乘积法则知： AB= 12142AB由矩阵加法和乘积法则 ：1知4293685A0则矩阵 的 次方的求解也可利用以上方法来求解。An43利用数学归纳法求解这种方法与矩阵定 和数学归纳 相结合，从而找出规律再求1义 3法解，但是这种
4、方法比较适合低阶且有规律的方阵 次方的运 。n2算例 3：已知 A= ，求cosininA解：当 时2n2csicsicosinioini2222i2iosicscscsi当 时3n32oiinoinsicsicsic2i2osin2cos3ini所以假设 =nAsicosn当 时成立，假设当 时成立；则当 时1k1kkncoisisinicn1s1osinicoin5由矩阵乘法定及三角函数知： = 则假设成立。nAcosini所以 =ncsiion4利用分拆法求解这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另外一个矩阵之和再求 ，且另外这个矩阵的 次方计算起来比较简 。1解 n2单例 4：已
5、知 A= ，求01nA解： ，其中 ，矩阵 为单位阵且 AEB01E2E；故 =nA12+CCn nnBB由 2010B23 1001006则 时， =0。故3nnB12nnAECB由矩阵加法运算法则 ：1知=n201n5利用相似矩阵求解（利用对角矩阵来求）定义：设矩阵 ， 为数域 上两个 级矩阵，如果可以找到数域ABPn上的 级可逆阵 ，使得矩阵 ，就说 与 相 。如PnX1XAB1似果矩阵 或 有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。而判断矩阵可对角化的条件 ：A1有1)矩阵 可对角化的必要条件是矩阵 有 个不同的特征值n2)矩阵 可对角化的充要条件是矩阵 有个 线性无关的特征向量A3)在复
6、数域上矩阵 没有重根A而求矩阵 的特征值和特征向量的方法 ：1有1)求矩阵 特征多项式 在数域 中的全部根，这些根是EP矩阵 的全部特征值。把这些所求的特征值逐个的代入方程组中，对于每一个特征值，解方程组 ，求0EAX0EAX出一组基础解系，那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。再利用判别法判断矩阵 是否可对角化。A例 5：已知矩阵 ,求312n7解：易知矩阵的 特征多项式 =AEA121由行列式计算方法知：=E2133所以矩阵 的特征值为 。A,当特征值为 时，解方程 ，由齐次线性方程组的计0EAX算方法知： 的基础解系为 = ；所以矩阵 A0EX1a属于特征值 1 的全部特征向量为
7、 ,其中 0。k1k当特征值为 时，解方程 ，由齐次线性方程组的0EAX计算方法知： 的基础解系为 = ；所以矩阵0EAX2a属于特征值 的全部特征向量为 ，其中 。A1210k2k0当特征值为 时，解方程 ，由齐次线性方程组的计33算方法知： 的基础解系为 = ，所以矩阵0EAX3a1属于特征值 3 的全部特征向量为 ，其中 。A0k3k0则由矩阵 可对角化的条件知：矩阵 可对角化且对角阵为AB103令 = ，由求逆矩阵的方法知：123Ca318110C因为线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的知： 1CAB所以 ，则11nnCAB33100nnn由 ,由矩阵的乘法运算法则知：1nACB31
8、133nnnnn 2)对方阵 ，设 ，对 做初等变换，A1FEA1nFE化成 其中 为上三角阵，则矩阵 主对角线上DPDD元素乘积的 的多项式的根即为 的特征根 。对矩阵 的任一特iA征根 ，代入 中，若 中非零向量构成一满秩矩ii阵，则 行向量所对应的 中的行向量 即为 的特征向量；iDiPii否则，继续施行初等行变换，使得 中非零向量构成一满秩矩iD阵，则 中零向量所对应的 中的行向量 即为 的特征向i iii。8量9这类问题所涉及的定理是：对任意方阵 的特征矩阵 经过行变AF换，可化为上三角矩阵 ，且 主对角线上元素乘积 的多G项式的根即为矩阵 A 的特征值。例 6：已知矩阵 ，求321
9、nA解： ，31012FE 作初等行变换01212 2 00243111 30034DP 由上述定理知：矩阵 的特征值为 1（二重） ，4。A当 时， ，由 2)中判10012DP别法知：矩阵的特征向量为： ， 。110当 时， ，由 2)中判41201403DP别法知：矩阵 A 的特征向量为： 。31则由相似矩阵的条件知：矩阵与对角矩阵相似且对角矩阵为 104则存在可逆阵 使得012T104TA由求可逆阵的方法知：；10213T由 知：104nnAT104nT=nA2331144233nnnnnn 116利用若当形矩阵求解这类方法主要是运用任何一个 级复矩阵都相似一个若当形矩阵n和利用相似矩
10、阵的相关定理及化若当形矩阵的方 。1法例 7：已知矩阵 ，求A312604nA解： ，由求初等因子的方法知：1E的初等因子为 ， ；所以矩阵 的若当标准形A12A为：01J则存在可逆阵 ，使得 ，则 。P1APJ设 ，其中 ， ， 为列向量123a1a23将矩阵 代入 得 ， ，PAJ123Aa3a由齐次线性方程组： ，即 ，0EX123601x则 ， 是齐次线性方程组的解且 ，130a321a1a是线性无关的，则 ， 是由齐次线性方程组：112的基础解系。0AEX由： 有解 且 ， ， 线性无关。3a2101a23由数学归纳法知：0nJ由求可逆阵的方法知： 1013P由 知：1PAJ1J则
11、=1nP 3261n7.利用多项式求解主要运用带余除法即：对于数域 中任意两个多项式 和Pxfx，其中 0，一定有 中的多项式 ， 存在使得gxxqxr成立，其中 或 =0，并fqrrg且这样的 和 是唯一 。x1的7.1 特征多项式无重根例 8：已知矩阵 ，求A3120nA13解：设 为矩阵 A 的特征多项式，则ffEA由计算行列式的方法知： 21f由带余除法及辗转相除法则 ：设 ，其中知 nfqr；由 ，所以设 。rxf3fx2abc将特征多项式 的根代入 中得：0nfr241nabc解得 ， ， ；123na0b423nc所以 11423nfq由哈密顿凯莱定 ：A 是数域 P 上的一个
12、n n 级矩阵，1理 是矩阵 A 的特征多项式则 。fE0fA将 A 代入 中得：21433nnnfqE由矩阵乘法的定义知： ，2316045A所以由矩阵的加法运算法则知：141320053nnnA7.2 特征多项式有重根例 9：已知矩阵 ，求A31042nA解：设 为矩阵 的特征多项式，则ffEA由行列式计算方法知： 21f由带余除法及辗转相除法知： ，其中nfqr；由 ，所以设 。rxf3fx2abc将特征多项式 的根代入 中得：0nfr142nabc因为 1 是 的 2 重根。0f由定理：如果不可约多项式 是 的 重因式（ ） ，Pxfk1k则它的微商 是 k-1 重因式.则 1 是 的
13、 。fx 3根15则由导数定义及性质：对 等号两边同时nfqr求导得： 1nfq则将 1 代入 中得：fr ；则由2abn142nabc解得： ， ， 。1n13nnc由哈密顿凯莱定理知： 。0fA则将矩阵 A 代入 中得：nqr21132n nnE由矩阵乘法运算法则知： 2308514A由矩阵的加法运算法则知： 320112nnn8.总结上述七种方法求解矩阵 次方的乘积适用于求低阶矩阵的 次方nn的乘积适用于求低阶矩阵 次方的计算，而对于高阶矩阵的求解则比较困难。利用方块、拆项、数学归纳法和相似矩阵的方法求解适用于比较特殊的一些矩阵的求解；利用定义、若尔当形矩阵和多项式的方法对于普通的矩阵都
14、适用，但利用定义的方法对于求矩阵 次方的计16算比较复杂；而利用多项式和若尔当形矩阵的方法有利于对所学知识的及时巩固、能加深对所知识的理解，而这两种方法提供了解这类问题行之有效的方法且容易掌握。参考文献1 同济大学应用数学系，高等代学，高等教育出版社，2008.2钱吉林.高等代数解题精粹.北京:中央民族大学出版社,2002.3 华东师范大学数学系.数学分析（第二版）.高等教育出版社.4刘嘉. 矩阵相似及其应用. 中国西部科技 ,2010,(26)5 袁进. 特征值与特征向量. 高等数学研究 ,2004,(02)6 张斌斌. 矩阵的特征值与特征向量的研究. 才智 ,2010,(08) 7施劲松,
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