1、 每天发布最有价值的高考资源1 / 14昌平区 2014 年高三年级第二次统一练习数 学 试 卷（理 科） 2014.4考生须知：1 本试卷共 6 页，分第 卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答，第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答
2、题卡上做任何标记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。 222112()()()()nnDXxEpxEpxEpL第卷（选择题 共 40 分）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知集合 , , 则213Ax24BxABU(A) (B) (C) (D) 1x2x(2) “ ”是“ ”的1,aba（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件(3) 设 ，则0.10.134,log.,5abc（A） （B） （C） （D）cbaacbca(4) 的展开
3、式中 的系数是 6(2)x2x（A） （B） （C） （D）10106060(5) 在 中， ， ，则 等于C23,AABS（A） （B） （C） 或 （D） 或44332每天发布最有价值的高考资源2 / 14(6) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A） （B）1236（C） （D）472(7) 如图， 是半圆 的直径， 是弧 的三等分点，ABO,CAB是线段 的三等分点，若 ，则 的,MN6MDNCur值是（A） （B） （C） （D）21028（8）已知 ，若函数 只有一个零点，则1, ,()ln01xfx()gxfkx的取值范围是k（A） （B） （C） （D）(,1)(,
4、)U(,)0,1(,10,U第二卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.）(9) 若数列 满足： ，则 _ .na11,()2nnaN*4a(10)圆 ： 的圆心到直线 的距离为_ .C2si:si2l(11)如图，已知 中，弦 , 为 直径. eO23BCDeO过点 作 的切线，交 的延长线于点 ，A.则 _ . 30AB主主主4主主主主主主 36主视图 左视图俯视图每天发布最有价值的高考资源3 / 14（12 ）已知抛物线 的焦点为 ，则 _，2(0)ypx(2,0)Fp过点 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为 ，则 _.(3,)AEF（
5、13 ）选派 5 名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_种 .(14) 已知正方体 的棱长为 2，在四边形 内随机取一点 ,则1BCDA1ABCDM的概率为_ ， 的概率为 _.90AM135M三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分 13 分)已知函数 .(fx2cosin1,()xR（）求 的值；7)6（）当 时，求 的取值范围.,3x()fx(16)(本小题满分 13 分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 6道备选题中一次性随机抽取 3道题,按照题目要求独立完成.规定
6、:至少正确完成其中 2道题的便可通过.已知 6道备选题中应聘者甲有 4道题能正确完成, 2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ,且2每题正确完成与否互不影响.() 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望；()请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？(17)(本小题满分 14 分)已知正四棱柱 中， . 1ABCD12,4AB（）求证： ；（）求二面角 的余弦值；1（）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面CP1ACD每天发布最有价值的高考资源4 / 14，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.PBD1CP(18)(本小题满分 13 分)已知函数 , .(l
7、nfxa(0)（）求 的单调区间；)（）当 时，若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围.0(,)x()31fxaa(19)(本小题满分 13 分)已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为短轴的一个2:1(0)xyCab12,F(0,3)B端点， .260OFB（）求椭圆 的方程；（）如图，过右焦点 ，且斜率为 的直线2(0)k与椭圆 相交于 两点， 为椭圆的右顶点，直线lC,EFA分别交直线 于点 ，线段 MN的中,A3x,点为 P，记直线 的斜率为 .2k求证: 为定值 .k(20)(本小题满分 14 分)已知数列 的各项均为正数，记 , ,na12()nAnaL231()nBaL.342(
8、),nCLL（）若 ，且对任意 ，三个数 组成等差数列，求数12,5*N(),()C列 的通项公式.na（）证明：数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数naqn*N组成公比为 的等比数列.(),()ABC每天发布最有价值的高考资源5 / 14昌平区 2014 年高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.4一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）题 号 （ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）答 案 B A C D C A C D二、填空题（本大题共
9、6 小题，每小题 5 分，共 30 分.）（9） （10） 183（11 ） （12） ； 242（13 ） （14） ；4016（第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分 13 分)解：（）因为 2(cosin1fxx1 分12siix， 3 分1(n)4所以 . 622713)si()6 4f分（或 3 分）2313()4f（）因为 ,63x每天发布最有价值的高考资源6 / 14所以 . 8 分1sin,2x所以 .所以 . 102(si)0,1x分 所以 .2(in),所以 . 12 分1
10、31s4x所以 的取值范围为 . 13 分()f,(16)(本小题满分 13 分)解:()设甲正确完成面试的题数为 , 则 的取值分别为 . 1 分1,23；12436()5CP；21436()； 304236()5CP分考生甲正确完成题数 的分布列为. 1312255E4 分设乙正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 . 50,123分；(0)P31(27C1 2 3P515每天发布最有价值的高考资源7 / 14,1236()()7PC,2. 7 分38()(考生乙正确完成题数 的分布列为:. 8 分1612803277E()因为 , 102 21()()()55D分. 122222168(
11、0)()()(3)77773分（或 ）.3Dnpq所以 .(或：因为 , ,1(2)0.85P128()0.74P所以 . ) 综上所述，从做对题数的数学期望考查,两人水平相当； 从做对题数的方差考查,甲较稳定； 从至少完成 道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. 13 分2（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.）(17)(本小题满分 14 分)证明：()因为 为正四棱柱，1ABCD所以 平面 ，且 为正方形. 1 分ABCD因为 平面 ，0 1 2 3P678每天发布最有价值的高考资源8 / 14所以 . 2 分1,BDAC因为 ,所以 平面 . 3 分1因为 平面 ,1AC所以
12、 . 4 分BD() 如图，以 为原点建立空间直角坐标系 .则Dxyz110,)(2,0)(,)(0,2)(,4)(2,)ACAB5 分11(4CD所以 . 1(,)(,4)urur设平面 的法向量 .1A1xyzn所以 .即 610,DCru1,240分令 ，则 .1z1y所以 .(0,2)n由（）可知平面 的法向量为 1AC. 7 分(,)DBur所以 . 8 分40cos,52rn因为二面角 为钝二面角，1ACD所以二面角 的余弦值为 . 9 分1105()设 为线段 上一点,且 .2(,)Pxyz11()CPur因为 .222,)(,4)Cxyzurr每天发布最有价值的高考资源9 /
13、14所以 . 102222(,)(,4)xyzxyz分即 .220,1所以 . 114()P分设平面 的法向量 .BD3(,)xyzm因为 ，4(0,2),201Purur所以 .即 . 12,0DBrum334,120yzx分令 ，则 .31y33,z所以 . 13 分(,)2若平面 平面 ，则 .1ACDPB0mn即 ，解得 .2013所以当 时，平面 平面 . 14 分11APBD(18)(本小题满分 13 分)解：（）函数 的定义域为 . 1(fx(0,)分因为 ， 2()ln(l1)fax分令 ，解得 . 3 分()0fxe当 时， 随着 变化时， 和 的变化情况如下：ax()fxf
14、1(,e1e1(,)e每天发布最有价值的高考资源10 / 14()fx0 即函数 在 上单调递减，在 上单调递增 . 5 分()f10,e1(,)e当 时， 随着 变化时， 和 的变化情况如下：ax)fxf(,ee1(,)e()fx0 即函数 在 上单调递增，在 上单调递减 . 7 分()f10,e1(,)e（）当 时，对于任意的 ，都有 成立，a(,)x31fxa即 .ln3x所以 .10设 . ()lgax因为 , 8 分n3x(ln2)x令 ，解得 . 9 分()02e因为 ，a所以随着 变化时， 和 的变化情况如下：x()gx20,e2e2(,)e()0gx 即函数 在 上单调递增，在
15、 上单调递减. 10 分()20,)e2(,)e所以 . 11 分2maxln31aa所以 .21e所以 . 12 分2所以 的取值范围为 . 13 分a2(,0)e法二：当 时，对于任意的 ，都有 成立，0(,)x()31fxa每天发布最有价值的高考资源11 / 14即 .ln31ax所以 .()即 . 8 分1l设 . ()n3gxx因为 , l2令 ，解得 . 9()0xxe分所以随着 变化时， 和 的变化情况如下：()gxx20,e2e2(,)e()0g 即函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 10 分()x20,)e2(,)e所以 . 11 分2minln3所以 .21ea所以 .
16、 12 分2所以 的取值范围为 . 1321(,0)e分(19)(本小题满分 13 分)解：（）由条件可知 ， 22,3ab分故所求椭圆方程为 . 41342yx分（）设过点 的直线 方程为： . 52(1,0)Fl)(xky分每天发布最有价值的高考资源12 / 14由 可得： 62(1),43ykx 01248)34(22 kxk分因为点 在椭圆内，所以直线 l和椭圆都相交，即 恒成立.2(1,0)F 0设点 ，则2,)Exy. 8 分3412,3482121 kxk因为直线 的方程为： ，AE)(1xy直线 的方程为： ， 9 分F)2(2令 ，可得 ， ，3x),(1xyM),3(2xy
17、N所以点 的坐标 . 10 分P12(,)直线 的斜率为2F12()03yxk12()4yx1212()4yx12 分12123(4)kxk22843143kkk每天发布最有价值的高考资源13 / 14所以 k为定值 . 13 分43(20)(本小题满分 14 分)解: () 因为对任意 ，三个数 是等差数列，nN(),()AnBC所以 . 1 分()B所以 , 212nnaa分即 . 3 分21214n所以数列 是首项为，公差为的等差数列. 4 分a所以 . 5()3nn分（） （）充分性：若对于任意 ，三个数 组成公比为 的等N(),()AnBCq比数列，则. 6 分(),()BnqACq
18、所以 得 ()Cn21(),nnaa即 . 7 分2121naa因为当 时，由 可得 ， 8 分(),BqA21q所以 .210nq因为 ，a所以 . 21nq即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 9 分na1q（）必要性：若数列 是公比为 的等比数列，则对任意 ，有nanN. 10 分1nq因为 ，0a每天发布最有价值的高考资源14 / 14所以 均大于 .于是(),()AnBC01112)231( ,() nnqaaq分12231)3421() ,nnCnBaa分即 ，所以三个数 组成公比为 的等比数列.()Anq(),()AnBCq13 分综上所述，数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意nanN，三个数 组成公比为 的等比数列 . (),()BCq14 分【各题若有其它解法，请酌情给分】
