高考导数讲义一零点问题.doc

1、高考导数讲义一：零点问题例 1、设函数 32.fxabxc（I）求曲线 .y在点 0,f处的切线方程；（II）设 4ab，若函数 x有三个不同零点，求 c 的取值范围；（III）求证： 23 是 .f有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I）由 ，得 2fxabxc23fxaxb因为 ， ，0c所以曲线 在点 处的切线方程为 yfx0,fyxc（II）当 时， ，4ab324xc所以 238fx令 ，得 ，解得 或 00x2x3与 在区间 上的情况如下：fxf,222,3232,3fx00AcA27cA所以，当 且 时，存在 ， ，0c32714,2x2,3x，使得 32,x1230fxff

2、由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同零点f ,7c324fxxc（III）当 时， ， ，2410ab230fxab,此时函数 在区间 上单调递增，所以 不可能有三个不同零点fx,fx当 时， 只有一个零点，记作 22fx 0x当 时， ， 在区间 上单调递增；0,x00,x当 时， ， 在区间 上单调递增0,x0fxfx0,所以 不可能有三个不同零点f综上所述，若函数 有三个不同零点，则必有 fx2410ab故 是 有三个不同零点的必要条件230ab当 ， 时， ， 只有两个不同4c230ab232fxx点， 所以 不是 有三个不同零点的充分条件2f因此 是 有三个不同零点的必要而

3、不充分条件30abfx例 2.设函数 ， 2lnfk0（I）求 的单调区间和极值；fx（II）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点ffx1,e【答案】（I）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；极小值 ；（II）证明详(0,)k(,)k(1ln)()2kf见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I）先对 求导，令fx解出 ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当 时，函数取得极小()0fx k值，同时也是最小值；（II）利用

4、第一问的表，知 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值()fk，从而解出 ，下面再分情况分析函数有几个零点.(1ln)2kke试题解析：（）由 ，（ ）得2lnxf0k.2()kxfx由 解得 .0f与 在区间 上的情况如下：()x (,)所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；()fx(0,)k(,)k在 处取得极小值 .k(1ln)2f（）由（）知， 在区间 上的最小值为 .()fx,(1ln)()2kfk因为 存在零点，所以 ，从而 .()fxl)0ke当 时， 在区间 上单调递减，且 ，kef(1,e()0f所以 是 在区间 上的唯一零点.x)x当 时， 在区间 上单调递减，

5、且 ， ，ke(f(0,)e1()2f()02ekf所以 在区间 上仅有一个零点.)fx1,综上可知，若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点.(f()fx(1,e考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题利用导数求函数 的单调性与极值的步骤：确定函数 的定义域；对 求导；求方fx fxfx程 的所有实数根；列表格证明函数仅有一个零点的步骤：用零点存在性定理证明函数零点的存在0fx性；用函数的单调性证明函数零点的唯一性例 3.设函数 .2lnxfea

6、（I）讨论 的导函数 的零点的个数；f（II）证明：当 时 .02lxa【答案】（I）当 时， 没有零点；当 时， 存在唯一零点.（II ）见解析a()f0()fx【解析】试题分析：（I）先求出导函数，分 与 考虑 的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由af（I）可设 在 的唯一零点为 ，根据 的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小()fx0+， 0xx值，即可证明其最小值不小于 ，即证明了所证不等式.2lna+试题解析：（I） 的定义域为 ， .()fx()0， ()2(=0xafe-当 时, ， 没有零点；0af当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增.又

7、 ,当 b 满足2xeax-()fx+， ()0fa且 时， ,故当 时， 存在唯一零点.4b（II）由（I），可设 在 的唯一零点为 ，当 时， ;x+， 0x()0x， ()f()lnf考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.

8、例 4.设函数 .2(),()fxabR（1）当 时，求函数 在 上的最小值 的表达式；14b=+fx1,-()ga（2）已知函数 在 上存在零点， ，求 的取值范围.()fx,-021bb【答案】(1) ；(2)22,4()1,ag3,945【解析】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数 的取值范围.bb试题解析：(1)当 时， ，故其对称轴为 .214ab2()1afx2ax当 时， .2a2(

9、)gf当 时， .()1af当 时， .2a2()4gf综上，22,()1,4ag(2)设 为方程 的解，且 ，则 .,st()0fx1tstab由于 ，因此 .021ba2(1)tstt当 时， ，tttb由于 和 ，203t219453t所以 .945b当 时， ，10t22ttb由于 和 ，所以 .2t230t30b综上可知， 的取值范围是 .b,945【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的

10、最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数 b 的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.例 5、已知函数 .()=(-2)+(-1)2(I)讨论 的单调性；()(II)若 有两个零点，求 的取值范围.() a【解析】（） ()12()1(2)x xfeea（ i ）当 时，则当 时， ；当 时，00f(0fx故函数 在 单调递减，在 单调递增()fx,)(,)（ ii ）当 时，由 ，解得：

11、或a)fx1xln(2)a若 ，即 ，则 ，ln(2)12eR)0xfe故 在 单调递增)fx,若 ，即 ，则当 时， ；当 时，l()ae(,ln2)(1,)xa()fx(ln2),1a()0fx故函数在 ， 单调递增；在 单调递减(,ln2)(1,)(l),若 ，即 ，则当 时， ；当 时，l)ae,1n2xa()0fx(1,ln2)a；()0fx故函数在 ， 单调递增；在 单调递减(,1)(ln2),a(,l)（）（i）当 时，由（ ）知，函数 在 单调递减，在 单调递增0)fx1(1,)又 ，取实数 满足 且 ，则(),)fefb0ln2ab23(1()2aba 有两个零点()fx（i

12、i）若 ，则 ，故 只有一个零点0a()2xfxe()f（iii ）若 ，由（I）知，当 ，则 在 单调递增，又当 时， ，故 不ax(1,)1x()0fx()fx存在两个零点；当 ，则函数在 单调递增；在 单调递减又当 时， ，故不存在2ea(ln2),(,ln2)a()f两个零点综上所述， 的取值范围是 0,例 6.设 为实数，函数 a21fxaxa（1）若 ，求 的取值范围；01f（2）讨论 的单调性；x（3）当 时，讨论 在区间 内的零点个数a4fx0,【答案】（1） ；（2） 在 上单调递增，在 上单调递减；（3）当 时，1,)(f),a),(a2a有一个零点 ；当 时， 有两个零点

13、4fxx4fx【解析】试题分析：（1）先由 可得 ，再对 的取值范围进行讨论可得 的解，进而可得 的取01f1a 1aa值范围；（2）先写函数 的解析式，再对 的取值范围进行讨论确定函数 的单调性；（3）先由（2）x fx得函数 的最小值，再对 的取值范围进行讨论确定 在区间 内的零点个数fx 4fx0,试题解析：（1） ，因为 ，所以 ，22(0)faa011a当 时， ，显然成立；当 ，则有 ，所以 .所以 .a102a2综上所述， 的取值范围是 .1,2（2） axaxf ,)1()(2对于 ，其对称轴为 ，开口向上，u1 a21所以 在 上单调递增；)(xf),对于 ，其对称轴为 ，开

14、口向上，ax2121x所以 在 上单调递减.)(xf),综上所述， 在 上单调递增，在 上单调递减.(),(a（3）由（2）得 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 .)xf),a0 2min)()(afxf(i)当 时， ，a2(minff 2,453)(2xxf令 ，即 （ ）.40fxxf4)0因为 在 上单调递减，所以)(2, )2(ff而 在 上单调递增， ，所以 与 在 无交点.xy4)2,0( 2)(fy)(xfy4)2,0(当 时， ，即 ，所以 ，所以 ，xf43043x23x0)1(2x因为 ，所以 ，即当 时， 有一个零点 .afx(ii)当 时， ，2a2min)()(

15、fxf当 时， ， ，而 在 上单调递增，),0(x422afxy4),0(a当 时， .下面比较 与 的大小ay)(因为 0)2)()(232 aa所以 af4)2结合图象不难得当 时， 与 有两个交点. 2a)(xfy4综上所述，当 时， 有一个零点 ；当 时， 有两个零点.4f2a4fx考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间，去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值判断函数

16、的单调性的方法：基本初等函数的单调性；导数法判断函数零点的个数的方法：解方程法；图象法例 7.已知函数 f(x)2lnxx 22ax a 2，其中 a0.()设 g(x)为 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性；()证明：存在 a(0 ，1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在区间(1，) 内有唯一解.【解析】() 由已知，函数 f(x)的定义域为(0，)g(x)f (x)2(x 1lnx a)所以 g(x)2 (1)x当 x(0 ，1)时，g(x )0，g(x)单调递减当 x(1 ，)时，g(x )0，g(x)单调递增()由 f (x)2(x 1lnxa )0，解得 ax1ln

17、x令 (x)2xlnxx 22x(x1lnx)( x1lnx) 2(1 lnx)22xlnx则 (1)10， (e)2(2 e )0于是存在 x0(1，e)，使得 (x0)0令 a0x 01lnx 0u(x 0)，其中 u(x)x 1lnx( x1)由 u(x)1 0 知，函数 u(x)在区间(1，)上单调递增故 0u(1)a 0u(x 0)u( e)e21即 a0(0，1)当 aa 0 时，有 f (x0)0，f( x0)(x 0)0再由() 知，f (x)在区间(1，)上单调递增当 x(1 ，x 0)时， f (x)0，从而 f(x)f(x 0)0当 x(x 0，)时，f (x )0，从而 f(x)f(x 0)0又当 x(0 ，1时，f(x)(xa 0)22xlnx0故 x(0 ，)时，f(x)0综上所述，存在 a(0，1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在区间(1，)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.