1、第四节 解直角三角形,知识点一 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 如图，在RtABC中，C90，ABc， BCa，ACb，则sin A ，cos A ， tan A .,2特殊角的三角函数值,由上表可知，当两角互余时，一角的正弦值等于另一角 的余弦值，即若AB90，则sin Acos B，cos A sin B在锐角范围内，sin ，tan 的值随的增大 而增大，cos 的值随的增大而减小,知识点二 解直角三角形 1解直角三角形 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程， 叫做解直角三角形,2直角三角形中的边角关系 (1)三边关系为 _ (2)三角的关系为 _ (3)边角关系为 _，
2、cos A ， _ (设RtABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C的对边),a2b2c2,ABC,sin A,tan A,3解直角三角形的基本类型 (1)已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角； (2)已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角； (3)已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角； (4)已知直角、两条直角边，求其他边和角,知识点三 解直角三角形的应用,考点一 锐角三角函数 (5年4考) 例1 (2013济南)已知直线l1l2l3l4，相邻的两条 平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四 条直线上，放置方式如图所示，AB4， BC6，则tan 的值等于( )
3、A. B. C. D.,【分析】 过点C作CEl4于点E，延长EC交l1于点F，证明BECCFD，然后在RtBCE中求出tan 的值即可 【自主解答】 如图，过点C作CEl4于点E， 延长EC交l1于点F. BCE90，BCEDCF90， DCF. 又BECCFD90，BECCFD，, ，即 ，BE h. 在RtBCE中，BEC90， tan .故选C.,在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三 角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用 三角函数定义解决在网格图中求锐角的三角函数值，要 充分利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助 勾股定理解答,1(2016历下一模)
4、如图，将AOB放在边长为1的小正 方形组成的网格中，则tanAOB_,2(2017天桥一模)如图，ABC中，C90，若CDAB于点D，且BD4，AD9，则tan A_,考点二 解直角三角形 (5年0考) 例2 在ABC中，ABAC5，sinABC0.8，则BC 【分析】 根据题意画出图形，利用锐角三角函数和勾股 定理的知识进行解答,【自主解答】 如图，过点A作ADBC于D. ABAC，BDCD. 在RtABD中， sin ABC 0.8， AD50.84，则BD 3， BCBDCD336.故答案为6.,3(2016天桥一模)如图，ABC中，ACB90， tan A ，AB15，则AC _,9,
5、4(2016天桥二模)如图，在ABC中，AD是BC边上的高， C45，sin B，AD1，求BC的长 解：在RtABD中， sin B ，AD1，AB3. BD2AB2AD2， BD 2 . 在RtADC中， C45，CDAD1. BCBDDC2 1.,考点三 解直角三角形的应用 (5年2考) 例3 (2016济南)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北 第一楼”某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量 如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往楼的方向 前进60 m至B处，测得仰角为60.若学生的身高忽略不计，1.7，结果精确到1 m， 则该楼的高度CD为( ) A47 m B51 m
6、C53 m D54 m,【分析】由题意易得A30，DBC60，DCAC，即 可证得ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案 【自主解答】根据题意得A30，DBC60，DCAC， ADBDBCA30，ADBA30， BDAB60， CDBDsin 6060 30 51.故选B.,讲： 解直角三角形中的计算解直角三角形的原则是“有弦(斜边)用弦(正弦、余 弦)，无弦用切，宁乘勿除，取原避中”“取原避中” 是指当原始数据和中间数据均可选择时，应采用原始数 据，否则可能会导致误差累计而出错 练：链接变式训练6,5(2017济南)如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面 的铅垂高度与水平宽度的比称为
7、坡度)，把一根长5 m的竹竿 AC斜靠在石坝旁，量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE0.6 m，又量得杆底与坝脚的距离AB3 m，则石坝的坡度为 ( ) A. B3 C. D4,B,6如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38 m的D处 观测旗杆顶部A的仰角为50，观测旗杆底部B的仰角为45， 则旗杆的高度约为 _ m(结果精确到0.1 m，参考数据： sin 500.77，cos 500.64，tan 501.19),7.2,7(2016临沂)一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向，距离 灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45 方向上的B处(参考数据： 1.732，结果精确到0.1),解：如图，延长AB，交南北方向线于点C， 则ACP90. 在RtACP中，APC60， sin APC ， ACAPsinAPC20 10 . cosAPC ， CPAPcosAPC20 10.,BPC45， BCCP10， ABACBC10 107.3. 答：它向东航行7.3海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处,
