空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案[2].doc

1、 1空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】1、空间向量的运算1、向量的几何运算（1）向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 空间向量数量积的性质： ； ； （2）向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 0abba2、向量的坐标运算（1）若 ， ，则 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点

2、的坐标。（2）若 ， ，则 ， ， ， ；， （3）夹角公式：2（4）两点间的距离公式：若 ， ，则 二、空间向量在立体几何中的应用2.利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明3.利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题，一般是利用 进行证明；4.利用空间向量求角度（1）线线角的求法：设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为 a、b，则直线 AB 与 CD 所成的角为 （线线角的范围00,900）（2）线面角的求法：设 n 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，则直线 与平面 所成的角为（3）二面角的求法：设 n1，n 2分别是二面角 的两个面 ， 的法向量

3、，则 就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）5.利用空间向量求距离（1）平面的法向量的求法：设 n=(x,y,z)，利用 n 与平面内的两个不共线的向 a，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面 的一个法向量（如图） 。3（2）利用法向量求空间距离（a） 点 A 到平面 的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。（b） 直线 与平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。（c） 两平行平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。【经典例题】【例 1】 （2010 全国卷 1 理）正方体 ABCD- 1ABCD中， B 1与平面 AC 1D所成角的

4、余弦值为（ ）（A）23 （B） 3 （C） 23 （D） 6【解析】D【例 2】 （2010 全国卷 2 文）已知三棱锥 SAB中，底面 C为边长等于 2 的等边三角形， SA垂直于底面BC， S=3，那么直线 A与平面 所成角的正弦值为（ ）（A） 34 (B) 54(C) 7 (D) 34【解析】D【例 3】 （2012 全国卷）三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等，1ABC，则异面直线 与 所成角的余弦值为 _。1160BAC【解析】 6ABCSEF4【例 4】 （2012 重庆）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D 为 AB 的中点。（）求异面直线 C

5、C1和 AB 的距离；（）若 AB1A 1C，求二面角 A1CDB1的平面角的余弦值。【解析】 53【例 5】（ 2012 江 苏 ） 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ， 分 别 是 棱 上 的 点 （ 点 D 不1ABC11ABCDE， 1BC，同于点 C） ，且 为 的中点 ADEF， 1求证：（1）平面 平面 ；1（2）直线 平面 ADE1/【例 6】 （2012 山东）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB=60，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF（）求证：BD平面 AED；（）求二面角 F-BD-C 的余弦值1.【解析】二面角 F-BD

6、-C 的余弦值为 5【例 7】 （2012 江西）在三棱柱 中，已知 ， ，点 在底面 的投1ABC15ABC4BC1ABC影是线段 的中点 。BCO（1）证明在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 ，并求出 的1EO1E长；（2）求平面 与平面 夹角的余弦值。1A1BC【解析】 ，503B 1 C1OA CBA11FECDAB5PABCED【例 8】 （2012 湖南）四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD 的中点.（）证明：CD平面 PAE；（）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，

7、求四棱锥 P-ABCD 的体积.【解析】 1851263VSPA【例 9】 （2012 广东）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， 是PABCDPAD/,BCPADE中点， 是 上的点，且 ， 为 中 边上的高。PBFDC12FH（1）证明： 平面 ；HAB（2）若 ，求三棱锥 的体积；1,2,EF（3）证明： 平面 EP【解析】三棱锥 的体积BCF11123261BCFVShADh【例 10】 （2012 新课标）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC=BC= AA1， D 是棱 AA1的中点， DC1 BD（1）证明： DC1 BC；（2）求二面角 A1 BD C1的大小【解析】

8、二面角 的大小为11BD30【例 11】如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 点 在线段 上，PACABDPBCD平面 PCBE（1）证明： 平面 ；D（2）若 ， ，求二面角 的正切值A2【解析】二面角 的平面角的正切值为 3【例 12】 （2012 天津）如图，在四棱锥 中， 丄平面 ， 丄 ， 丄 ，PABCDACD D CBAPDA1 B1CA BC16， ， .0=45ABC=2PAD1C()证明 丄 ；（）求二面角 的正弦值；（）设 E 为棱 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 ，求 AE 的长.03【解析】 ，6301【课堂练习】1、 （2012 上海）若

9、)1,2(n是直线 l的一个法向量，则 l的倾斜角的大小为 （用反三角函数值表示）2、 （2012 四川）如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与1ABCDMNCD11AM所成角的大小是_ 。DN3、 （2012 全国卷）如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ， ，PABCDABPABCD2A， 是 上的一点， 。2PAEC2E（）证明： 平面 ；（）设二面角 为 ，求 与平面 所成角的大小。90P4、 （2010 辽宁理）已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.（）证明：CM

10、SN；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.5、 （2010 辽宁文）如图，棱柱 1ABC的侧面 1BC是菱形， 1BANMB1A1C1D1BD CAECB DAP7（）证明：平面 1ABC平面 1；（）设 D是 上的点，且 /平面 1BCD，求 1:A的值.6、 （2010 全国文）如图，直三棱柱 ABC-A1B C 中，AC=BC， AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3 EB1（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1-AC -B1的大小7、 （2010 江西理）如图BCD 与M

11、CD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB 平面 BCD，23AB。（1） 求点 A 到平面 MBC 的距离；（2） 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。8CBA DEP8、 （2010 重庆文）四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形， PA底面 BCD， 2PA，点 E是棱PB的中点.（）证明： E平面 ；（）若 1，求二面角 E的平面角的余弦值.9、 （2010 浙江文）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，ABC=120。E 为线段 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE翻折成ADE，使平面 ADE平面 BCD，F 为线段 AC 的中点。（）

12、求证：BF平面 ADE；（）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦值。10、 （2010 重庆理）四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 底面 ABCD，PA=AB= 6，点 E 是棱 PB 的中点。（1）求直线 AD 与平面 PBC 的距离；（2）若 AD= 3，求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。11、 （2010 北京理）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， CEAC,EFAC,AB= 2， CE=EF=1.（）求证： AF平面 BDE；（）求证： CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小。9

13、12、如图，弧 AEC 是半径为 a的半圆，AC 为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点，平面AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED,FB= 5（1）证明：EB FD（2）求点 B 到平面 FED 的距离. 13、 （2010 江苏卷）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90 0。(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。14、 （2012 上海）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面 ABCD， E 是 PC 的中点.已知AB=2，

14、 AD=2 ， PA=2.求：（1）三角形 PCD 的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 15、 （2012 四川）如图，在三棱锥 中， ， ， ，平面 平面PABC90P6ABCAPB。ABC（）求直线 与平面 所成角的大小；P（）求二面角 的大小。AA BCP16图图A BDPC1016、 （2012 安徽）长方体 中，底面 是正方形， 是 的中点， 是棱 上任意一点。1DCBA1BAOBDE1A（）证明： ；1E（）如果 =2， = ， ,求 的长。AB21EOA17、 （2012 北京文）如图 1，在 中， ， 分别为 的中点，点 为线段 上的一RtABC90,DE

15、,ACBFCD点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2。ADEDE1F（）求证： 平面 ；（）求证： ；/1 B（）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理由。1BQ1ACEQ18、 （2012 湖南）如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积.图2图1 F EBEDC BCDA1AF11MABDCO19、如图，在三棱锥 中， 底面 ， 是 的中点，已知 ， ，PABCABCDPBAC2， ，求：23AC（

16、1）三棱锥 的体积（2）异面直线 与 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）D20、 （2008 安徽文）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的 菱形， , OABCD 4ABC, , 为 的中点。OABCD底2AM（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。【课后作业】1. （2008 全国）如图，正四棱柱 1ABCD中， 124AB，点 E在 1C上且 E3（）证明： 1AC平面 E；（）求二面角 的大小A BCDEA1 B1C1D1122、 （2008 湖南）四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD60， E 是

17、 CD 的中点， PA底面ABCD， PA2.（）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.3、 （2008 福建）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD 2，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD,AB AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点.（）求证： PO平面 ABCD；（）求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小；（）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 32？若存在，求出 AD的值；若不存在，请说明理由.4、(2008 海南、宁夏理)如图，已知点 P

18、在正方体 ABCDA 1B1C1D1的对角线 BD1上，PDA=60。（1）求 DP 与 CC1所成角的大小；（2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。B1C1D1A1CDA BP135、 （2005 湖南文、理）如图 1，已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴3OO1折成直二面角，如图 2。 （）证明：ACBO 1； （）求二面角 OACO 1的大小。6、 （2007 安徽文、理)如图,在六面体 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形1DCBA是边长为 1 的正方形, 平面 , 平面1DCBA1D1ABCD，DD 1=2。()

19、求证: 与 AC 共面， 与 BD 共面. B()求证:平面 ;11A平 面()求二面角 的大小.C7、(2007 海南)如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 中SABCSAC90BACOB点 （）证明： 平面 ；SO（）求二面角 的余弦值A OSBACA BCDOO1ABOCO1D148、(2007 四川理）如图， 是直角梯形， 90， ， 1， 2，又PCBMPCBMBCPB1， 120， ，直线 与直线 所成的角为 60. ACAA（）求证：平面 平面 ; （）求二面角 的大小;A（）求三棱锥 的体积.9、(2006 全国卷)如图， 、 是互相垂直的异面直线,MN

20、是它们的公垂线段.点 A、B 在 上，C 在 上，1l2 1l2l。 （）证明 ACNB；AMBN()若 ，求 与平面 ABC 所成角的余弦值。60OCB10、 （2006 福建文、理）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDABD（I）求证： 平面 BCD； （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；O（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。CADBOEABMNCl2l1 H1511、 （2010 福建文）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，E，H 分别是棱 A1B1,D1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ，且 EH/A1D1

21、。过 EH 的平面与棱 BB1,CC1相交，交点分别为 F，G。（I）证明：AD/平面 EFGH；（II）设 AB=2AA1=2a。在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p。当点 E，F 分别在棱 A1B1, B1B 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值。12、如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形， PDABC底 面 ，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面 E平 面 ； （）当 2且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.1613、在四棱锥 PABCD中，底面 AB是矩形， PA平

22、面 BCD， 4PA， 2B. 以 AC的中点 O为球心、 为直径的球面交 P于点 M，交 于点 N.（1）求证：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角的大小；（3）求点 N到平面 的距离 .14、如图 4，在正三棱柱 1ABC中， 2AB。 D 是 1AB的中点，点 E 在 1AC上，且 DEA。（1）证明平面 DE平面（2）求直线 和平面 所成角的正弦值。 yxzDMCBPANO17【参考答案】【课堂练习】1、 2arctn 2、 3、30 4、SN 与面 CMN 所成角为 45 5、A 1D：DC 1=1. 6、略907、 ， 5. 8、略 9、略 10、 11、二面角 BE的大

23、小为 . 12、21 21413、点 A 到平面 PBC 的距离等于 。 14、异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 415、直线 二面角 的大小为 与平面 所成的角的大小为PCBACarctnAC39arctn116、 111232EO17、略18、四棱锥 的体积为 .PABCD9413VSPA19、略 20、 （1） 与 所成角的大小为M（2） 点 B 到平面 OCD 的距离为 23【课后作业】1、二面角 1ADE的大小为 14arcos22、平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 15arcos.3、 （）异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos 63，

24、() 存在点 Q 满足题意，此时 13AD.4、 （1） 与 所成的角为 （2） 与平面 所成的角为 DPC45DPA305、cos ， =cosn1BO.|1186、 .511的 余 弦 为二 面 角 CBA7、 （）二面角 的余弦值为 S38、 （）二面角 的平面角大小为MACB21arcos7（） 13326PACPVPMh9、cosNBH= 6310、 （）异面直线 AB 与 CD 所成角的大小 .42arcos（）点 E 到平面 ACD 的距离为 .72111、略 12、AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.13、所求角的大小为 6arcsin3，所求距离为 106h927。14、线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为 5。