1、杰中杰教育 函数单调性奇偶性杰中杰专业数学 数学教育培训王牌函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主.（一）函数单调性的判断函数单调性判断常用方法： 12121212()0()()()()()fxffxfx fxgfxfxgxgf即 单 调 增 函 数定 义 法 （ 重 点 ） ： 在 其 定 义 域 内 有 任 意 ， 且 即 单 调 增 函 数复 合 函 数 快 速 判 断 ： “同 增 异 减 ” 增为 减 函 数
2、基 本 初 等 函 数 加 减 （ 设 为 增 函 数 ， 为 减 函 数 ） ： 增 为 增 函 数 减互 为 反 .函 数 的 两 个 函 数 具 有 相 同 的 单 调 性例 1 证明函数 在区间 上为减函数 （定义法）23()4xf()，解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较） ”进行.解：设 且 ，12()x， ， 12x122112 13()()44xxfxf， ，2142101402()0故函数 在区间 上为减函数.()fxf()fx，练习 1 证明函数 在区间 上为减函数 （定义法）(3)，练习 2 证明函数 在区间 上为增函数 （定义法、快速
3、判断法）2()3fxx2()3，练习 3 求函数 定义域，并求函数的单调增区间 (定义法)3()2xf练习 4 求函数 定义域，并求函数的单调减区间 （定义法）2()fxx杰中杰教育 函数单调性奇偶性杰中杰专业数学 数学教育培训王牌（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习）（二） 函数单调性的应用单 独 考 查 单 调 性 ： 结 合 单 调 函 数 变 量 与 其 对 应 函 数 值 的 关 系 求 参 数定 义 域 与 单 调 性 结 合 ： 结 合 定 义 域 与 变 量 函 数 值 关 系 求 参 数值 域 与 单 调 性 结 合 ： 利 用 函 数 单 调 性
4、 求 值 域例 1 若函数 是定义在 上的增函数，且 恒成立，求实数 的范围。()fxR2()(3)fxfaa练习 1 若函数 是定义在 上的增函数，且 恒成立，求实数 的范围()fxR2()3)fxfaa练习 2 若函数 是定义在 上的增函数，且 恒成立，求实数 的范围()fx2()3)fafa例 2 若函数 是定义在 上的减函数，且 恒成立，求实数 的取值范围.()fx2， 2(23)()fmfm练习 1 若函数 是定义在 上的减函数，且 恒成立，求实数 的取值范围.()fx13， (23)(54)ff例 3 求函数 在区间 上的最大值 .2()1fxx12，练习 1 求函数 在区间 上的
5、最大值2()314fxx14，杰中杰教育 函数单调性奇偶性杰中杰专业数学 数学教育培训王牌二 、奇偶性题型 12()()3()()=fxfxff（ ） 判 断 函 数 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称（ ） 求 出 的 表 达 式 偶 函 数函 数 奇 偶 性 判 断 ： 判 断 步 骤 奇 偶 函 数（ ） 判 断 关 系 非 奇 非 偶 函 数即 是 奇 函 数 又 是 函 数注 ： 判 断 奇 偶 性 先 求 出 定 义 域 判 断 其 是 否 关 于 原 点 对 称 可 加 快 做 小 题 速 度奇 奇基 本 初 等 函 数 之 快 速 判 断 ：123R奇偶 偶 偶奇 偶
6、非 奇 非 偶奇 偶 相 乘 除 ： 同 偶 异 奇（ ） 利 用 函 数 奇 偶 性 求 值函 数 奇 偶 性 质 运 用 ： （ ） 利 用 函 数 奇 偶 性 表 达 式（ ） 利 用 奇 偶 性 求 值 域定 义 在 上 任 意 函 数 均 可 表 示 为 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 ：例 1 判断下列函数的奇偶性1) 2）21fx211fxx3） 4）fx201fx解：1） 的定义域为 R， 所以原函数为偶函数。f22ffx2） 的定义域为 即 ，关于原点对称，又 即fx210x110ff，所以原函数既是奇函数又是偶函数。1fff且3） 的定义域为 即 ，定义
7、域不关于原点对称，所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。fx20xx4）分段函数 的定义域为 关于原点对称，f,当 时， ，0x 222111fxxxfx当 时， ， 222f f综上所述，在 上总有 所以原函数为奇函数。,0,fxf杰中杰教育 函数单调性奇偶性杰中杰专业数学 数学教育培训王牌注意：在判断分段函数的奇偶性时，要对 x 在各个区间上分别讨论，应注意由 x 的取值范围确定应用相应的函数表达式。练习 判断下列函数的奇偶性1） 2） 3）261xf2xf223fxx4） 5）2fxx20xf例 2 设 是 R 上是奇函数，且当 时 ，求 在 R 上的解析式fx0,x31fxxf解： 当
8、时有 ，设 ， 则 ，从而有0,31f,00,， 是 R 上是奇函数，331fxxxfxfxf所以 ，因此所求函数的解析式为3fxfx 310fxx注意：在求函数的解析式时，当球自变量在不同的区间上是不同表达式时，要用分段函数是形式表示出来。练习 1 已知 为奇函数，当 时， ，求 的表达式。yfx0x2fxxf例 3 已知函数 且 ，求 的值538fxabx210f2f解：令 ，则 53gfg810218fgg杰中杰教育 函数单调性奇偶性杰中杰专业数学 数学教育培训王牌为奇函数， gx218218gg28126fg练习 1 已知函数 且 ，求 的值7534fxabcxd39f3f例 4 设函
9、数 是定义域 R 上的偶函数，且图像关于 对称，已知 时，fx 2x2,x21fx求 时 的表达式。6,2f解： 图像关于 对称， ， x2fxf2fxfx= 44fff 4ffT6,22,x241fxfx所以 时 的表达式为 =6,ff2练习 1 设函数 是定义域 R 上的偶函数，且 恒成立，已知 时，fx()(4)fxfx1,2x23fx求 时 的表达式5,8fx例 5 定义在 R 上的偶函数 在区间 上单调递增，且有fx,022131fafa求 的取值范围。a解： ， ，且 为偶函数，且在上2217048a 221330aafx单调递增， 在 上为减函数，,0fx,223a所以 的取值范
10、围是a0,3杰中杰教育 函数单调性奇偶性杰中杰专业数学 数学教育培训王牌练习 1 定义在 上的奇函数 为减函数，且 ，求实数 a 的取值范围,1fx210faf练习 2 定义在 上的偶函数 ，当 时， 为减函数，若 成立，求 m 的取值2,g0gx1gm范围.综合练习1.判断函数 的奇偶性59xy2.求下列函数的单调区间(1) ; (2) ； （3）21yx21yx2312xfx3 函数 在 上是单调递减函数，则 的单调递增区间是 ()f0,)2()fx4.若函数 在区间 上是奇函数，则 a=( )x3,2aA.-3 或 1 B。 3 或-1 C 1 D -3已知函数 ，则它是（ ）24fxA
11、 奇函数 B 偶函数 C 即是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数又不是偶函数5判断下列函数的奇偶性（1 ） （2 ）213fxx10xf6.已知定义在R 上的奇函数 )(f，满足 (4)(fxfx,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. (25)(180ff B. 801)25)fC. 25) D. (25(f7.已知定义在 R 上的奇函数 满足 ，则 的值为（）fxffx6fA. -1 B. 0 C. 1 D. 2杰中杰教育 函数单调性奇偶性杰中杰专业数学 数学教育培训王牌8.已知函数 f(x)= ，x1 ，a2)（1 ）当 a= 时利用函数单调性的定义判断其单调性，并求其值域（2 ）若对任意 x1， ，f(x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围
