1、1第 14 讲 二次函数的应用【知识梳理】（一）基本知识点1.实际问题中二次函数关系式的确定列二次函数解析式解决实际问题与列整式方程的思路和方法类似，不同之处是，表示量与量的关系的式子是含有两个变量的等式，而求出二次函数的最大值和最小值是解决实际问题的关键。运用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）审清题意，找出其中的等量关系；（2）设出适当的未知数，分清自变量和函数；（3）列出二次函数解析式；（4）结合已知条件或点的坐标，求出解析式；（5）根据题意求解，检验所求得的解是否符号实际，即是否为所提问题的答案；（6）写出答案。注意：（1）实际问题情境下二次函数中自变量的取值范围不一定是全体实数，所
2、对应的图象也可能是抛物线的一部分；（2）实际问题情境下的二次函数的最值不一定是整个抛物线的顶点的纵坐标。2.二次函数与最大利润问题这类问题反映的是销售额与单价、销售量及利润与每件利润、销售量间的关系，为解决这类实际问题，我们需要掌握几个反映其关系的公式：（1）销售额=销售单价销售量；（2）利润=销量额-总成本=每件利润销售量（3）每件利润=销售单价-成本单价。3.二次函数与最大(小)面积(1)规则图形面积由面积公式直接计算(如：圆、三角形、矩形、梯形)。（2）不规则图形的面积多采用分割法求得，即把图形分割成几个规则图形，分别求得面积再把它们加起来，然后联系二次函数的顶点坐标公式求解。注意：表示
3、图形面积的各量之间的关联变化及其取值的实际意义。24.二次函数与抛物线形建筑问题抛物线在实际生活中有着广泛的应用，如拱形桥洞的修建、涵洞和隧道的修建、公园里喷泉水柱运行的轨迹、投出的铅球和篮球的运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子等。解决此类问题的关键是根据已知条件选择合适的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，再利用二次函数的性质解决问题。【考点解析】考点一：求利润最大问题【例 1】九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 x 天（1x90，且 x 为整数）的售价与销售量的相关信息如下已知商品的进价为 30 元/件，设该商品的售价为 y（单位：元/件） ，每天的销售
4、量为 p（单位：件） ，每天的销售利润为 w（单位：元） 时间 x（天） 1 30 60 90每天销售量 p（件）198 140 80 20（1）求出 w 与 x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元？请直接写出结果【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用【分析】 （1）当 0x50 时，设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时 y 关于 x 的函数关系式，根据图形可得出当 50x90时，y=90再结合给定表格，设每天的销售
5、量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出 p 关于 x 的函数关系式，根据销售利润=单件利润销售数量即可得出 w 关于 x 的函数关系式；3（2）根据 w 关于 x 的函数关系式，分段考虑其最值问题当 0x50 时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值；当 50x90 时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令 w5600，可得出关于 x 的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x 的取值范围，由此即可得出结论【解答】解：（1）当 0x50 时，设商品的售价 y 与时间 x 的函
6、数关系式为y=kx+b（k、b 为常数且 k0） ，y=kx+b 经过点（0，40） 、 （50，90） ， ，解得： ，售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=x+40；当 50x90 时，y=90售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y= 由书记可知每天的销售量 p 与时间 x 成一次函数关系，设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n（m、n 为常数，且 m0） ，p=mx+n 过点（60，80） 、 （30，140） ， ，解得： ，p=2x+200（0x90，且 x 为整数） ，当 0x50 时，w=（y30）p=（x+4030） （2x+200）=2x 2+18
7、0x+2000；当 50x90 时，w=（9030） （2x+200）=120x+12000综上所示，每天的销售利润 w 与时间 x 的函数关系式是 w=（2）当 0x50 时，w=2x 2+180x+2000=2（x45） 2+6050，a=20 且 0x50，当 x=45 时，w 取最大值，最大值为 6050 元当 50x90 时，w=120x+12000，k=1200，w 随 x 增大而减小，4当 x=50 时，w 取最大值，最大值为 6000 元60506000，当 x=45 时，w 最大，最大值为 6050 元即销售第 45 天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是 6050 元（3
8、）当 0x50 时，令 w=2x 2+180x+20005600，即2x 2+180x36000，解得：30x50，5030+1=21（天） ；当 50x90 时，令 w=120x+120005600，即120x+64000，解得：50x53 ，x 为整数，50x53，5350=3（天） 综上可知：21+3=24（天） ，故该商品在销售过程中，共有 24 天每天的销售利润不低于 5600 元考点二：利用二次函数解决抛物线形建筑问题【例 2】 （2015辽宁省朝阳,第 15 题 3 分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间 t（s）之间具有函数关系 h=at2
9、+19.6t，已知足球被踢出后经过 4s 落地，则足球距地面的最大高度是 19.6 m考点： 二次函数的应用分析： 首先由题意得：t=4 时，h=0，然后再代入函数关系 h=at2+19.6t 可得 a 的值，然后再利用函数解析式计算出 h 的最大值即可解答： 解：由题意得：t=4 时，h=0，因此 0=16a+19.64，解得：a=4.9，函数关系为 h=4.9t 2+19.6t，足球距地面的最大高度是： =19.6（m） ，故答案为：19.65点评： 此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式考点三：利用二次函数求跳水、投篮等实际问题【例
10、 3】 （2017温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图 1） ，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A，出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点 A 至出水管BD 的距离为 12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图 2 所示，现用高 10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E，则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH为 248 cm2【考点】HE：二次函数的应用【专题】153：代数几何综合题【分析】先建立直角坐标系，过 A 作 AGOC 于 G，交 BD 于 Q，过 M 作 MPAG 于 P，根据ABQACG，求得 C（20，0） ，再根据
11、水流所在抛物线经过点 D（0，24）和 B（12，24） ，可设抛物线为 y=ax2+bx+24，把 C（20，0） ，B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为 y=x2+ x+24，最后根据点 E 的纵坐标为 10.2，得出点 E 的横坐标为 6+8 ，据此可得点 E320 95 2到洗手盆内侧的距离【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过 A 作 AGOC 于 G，交 BD 于 Q，过 M 作MPAG 于 P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故 AP=6，AG=36，RtAPM 中，MP=8，故 DQ=8=OG，BQ=128=4，由 BQCG 可得，ABQACG，6 = ，即 = ，
12、 41236CG=12，OC=12+8=20，C（20，0） ，又水流所在抛物线经过点 D（0，24）和 B（12，24） ，可设抛物线为 y=ax2+bx+24，把 C（20，0） ，B（12，24）代入抛物线，可得，解得 ，24=144+12+240=400+20+24 =320=95抛物线为 y= x2+ x+24，320 95又点 E 的纵坐标为 10.2，令 y=10.2，则 10.2= x2+ x+24，320 95解得 x1=6+8 ，x 2=68 （舍去） ，2 2点 E 的横坐标为 6+8 ，2又ON=30，EH=30（6+8 ）=248 2 2故答案为：248 2【点评】本
13、题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题考点四：利用二次函数求最大面积7【例 4】【中考热点】（2017温州）如图，过抛物线 y= x22x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点14B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为2（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；（2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D；连结 BD，求
14、 BD 的最小值；当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式【分析】 （1）思想确定点 A 的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点 B坐标；（2）由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上，推出当 O、D、B 共线时，BD 的最小值=OBOD；当点 D 在对称轴上时，在 RtOD=OC=5，OE=4，可得 DE= = =3，求出OD2OE2 5242P、D 的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）由题意 A（2，5） ，对称轴 x= =4，2214A、B 关于对称轴对称
15、，B（10，5） （2）如图 1 中，8由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上，当 O、D、B 共线时，BD 的最小值=OBOD= 5=5 552+102 5如图 2 中，图 2当点 D 在对称轴上时，在 RtODE 中，OD=OC=5，OE=4，DE= = =3，OD2OE2 5242点 D 的坐标为（4，3） 设 PC=PD=x，在 RtPDK 中，x 2=（4x） 2+22，x= ，52P（ ，5） ，52直线 PD 的解析式为 y= x+ 43 2539【点评】本题考查抛物线与 X 轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用
16、辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型【达标检测】1. 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件已知产销两种产品的有关信息如下表：产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件）甲 6 a 20 200乙 20 10 400.05 x2 80其中 a 为常数，且 3 a5（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为 y1万元、 y2万元，直接写出 y1、 y2与 x 的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由【考点】二次函数的应用，一次函数的应用【答案】 （1）
17、y1=(6-a)x-20（0 x200） ， y2=-0.05x+10x-40（0 x80） ；（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200 a)万元，产销乙种产品的最大年利润为 440 万元；（3）当 3 a3.7 时，选择甲产品；当 a=3.7 时，选择甲乙产品；当 3.7 a5 时，选择乙产品【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0 x200） ， y2=-0.05x+10x-40（0 x80） ；（2）甲产品：3 a5，6- a0， y1随 x 的增大而增大当 x200 时， y1max1180200 a（3 a5）乙产品： y2=-0.05x+10x-40（0 x80
18、）当 0 x80 时， y2随 x 的增大而增大当 x80 时， y2max440（万元） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200 a)万元，产销乙种产品的最大年利润为 440 万元；（3）1180200440，解得 3 a3.7 时，此时选择甲产品；1180200440，解得 a=3.7 时，此时选择甲乙产品；1180200440，解得 3.7 a5 时，此时选择乙产品10当 3 a3.7 时，生产甲产品的利润高；当 a=3.7 时，生产甲乙两种产品的利润相同；当 3.7 a5 时，上产乙产品的利润高2. 某片果园有果树 80 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树
19、之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低若该果园每棵果树产果y（千克） ，增种果树 x（棵） ，它们之间的函数关系如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实 6750 千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量 w（千克）最大？最大产量是多少？【考点】二次函数的应用【分析】 （1）函数的表达式为 y=kx+b，把点（12，74） ， （28，66）代入解方程组即可（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定 x 的值（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题【解答】解：（1）设函数的表达式为 y=kx+b，
20、该一次函数过点（12，74） ， （28，66） ，得 ，解得 ，该函数的表达式为 y=0.5x+80，（2）根据题意，得，（0.5x+80） （80+x）=6750，解得，x 1=10，x 2=70投入成本最低x 2=70 不满足题意，舍去11增种果树 10 棵时，果园可以收获果实 6750 千克（3）根据题意，得w=（0.5x+80） （80+x） =0.5 x 2+40 x+6400=0.5（x40） 2+7200a=0.50，则抛物线开口向下，函数有最大值当 x=40 时，w 最大值为 7200 千克当增种果树 40 棵时果园的最大产量是 7200 千克3. （2016湖北黄石8 分）
21、科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8：30 开门后经过的时间（分钟） ，纵坐标 y 表示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为y= ，10：00 之后来的游客较少可忽略不计（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 684 人，后来的人在馆外休息区等待从 10：30 开始到 12：00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4 人，直到馆内人数减少到 624 人时，馆外等待的游客可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟？【分析】 （1）构建待定系数法即可解决问题（2）先求出馆内人数等于 684 人时的时间，
22、再求出直到馆内人数减少到 624 人时的时间，即可解决问题【解答】解（1）由图象可知，300=a30 2，解得 a= ，n=700，b（3090） 2+700=300，解得 b= ，12y= ，（2）由题意 （x90） 2+700=684，解得 x=78， =15，15+30+（9078）=57 分钟所以，馆外游客最多等待 57 分钟【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型4. 如图，抛物线 y=a（x1） （x3）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，其顶点为 D（1）写出 C，D 两
23、点的坐标（用含 a 的式子表示） ；（2）设 SBCD ：S ABD =k，求 k 的值；（3）当BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式【考点】HF：二次函数综合题【分析】 （1）令 x=0 可求得 C 点坐标，化为顶点式可求得 D 点坐标；（2）令 y=0 可求得 A、B 的坐标，结合 D 点坐标可求得ABD 的面积，设直线 CD 交 x 轴于点 E，由 C、D 坐标，利用待定系数法可求得直线 CD 的解析式，则可求得 E 点坐标，从而可表示出BCD 的面积，可求得 k 的值；（3）由 B、C、D 的坐标，可表示出 BC2、BD 2和 CD2，分CBD=90和CDB=90两种情况，分别
24、利用勾股定理可得到关于 a 的方程，可求得 a 的值，则可求得抛物线的解析式13【解答】解：（1）在 y=a（x1） （x3） ，令 x=0 可得 y=3a，C（0，3a） ，y=a（x1） （x3）=a（x 24x+3）=a（x2） 2a，D（2，a） ；（2）在 y=a（x1） （x3）中，令 y=0 可解得 x=1 或 x=3，A（1，0） ，B（3，0） ，AB=31=2，S ABD = 2a=a，如图，设直线 CD 交 x 轴于点 E，设直线 CD 解析式为 y=kx+b，把 C、D 的坐标代入可得 ，解得 ，直线 CD 解析式为 y=2ax+3a，令 y=0 可解得 x= ，E（
25、，0） ，BE=3 =S BCD =SBEC +SBED = （3a+a）=3a，S BCD ：S ABD =（3a）：a=3，k=3；（3）B（3，0） ，C（0，3a） ，D（2，a） ，BC 2=32+（3a） 2=9+9a2，CD 2=22+（a3a） 2=4+16a2，BD 2=（32） 2+a2=1+a2，BCDBCO90，BCD 为直角三角形时，只能有CBD=90或CDB=90两种情况，当CBD=90时，则有 BC2+BD2=CD2，即 9+9a2+1+a2=4+16a2，解得 a=1（舍去）或14a=1，此时抛物线解析式为 y=x24x+3；当CDB=90时，则有 CD2+BD
26、2=BC2，即 4+16a2+1+a2=9+9a2，解得 a= （舍去）或a= ，此时抛物线解析式为 y= x22 x+ ；综上可知当BCD 是直角三角形时，抛物线的解析式为 y=x24x+3 或 y= x22 x+5. 如图，直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上，ACB=90，抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MHBC 于点 H，作 MDy 轴交 BC 于点 D，求DMH 周长的最大值【分析】 （1）由直线解析式可求得 B
27、、C 坐标，在 RtBOC 中由三角函数定义可求得OCB=60，则在 RtAOC 中可得ACO=30，利用三角函数的定义可求得 OA，则可求得A 点坐标；（2）由 A、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知MDH=BCO=60，在 RtDMH 中利用三角函数的定义可得到DH、MH 与 DM 的关系，可设出 M 点的坐标，则可表示出 DM 的长，从而可表示出DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值【解答】解：（1）直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，B（3，0） ，C（0， ） ，OB=3，OC= ，15tanBCO= = ，BC
28、O=60，ACB=90，ACO=30， =tan30= ，即 = ，解得 AO=1，A（1，0） ；（2）抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点， ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2+ x+ ；（3）MDy 轴，MHBC，MDH=BCO=60，则DMH=30，DH= DM，MH= DM，DMH 的周长=DM+DH+MH=DM+ DM+ DM= DM，当 DM 有最大值时，其周长有最大值，点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，可设 M（t， t2+ t+ ） ，则 D（t， t+ ） ，DM= t2+ t+ ） ，则 D（t， t+ ） ，DM= t2+ t+ （ t+ ）= t2+ t= （t ） 2+ ，当 t= 时，DM 有最大值，最大值为 ，此时 DM= = ，即DMH 周长的最大值为 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性16质、方程思想等知识在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到 DH、MH 与 DM 的关系是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中
