1、四年级数学讲义二- 1 -目录第一讲 加减速算与巧算2第二讲 乘法速算与巧算9第三讲 乘除法速算与巧算14第四讲 找规律填数21第五讲 应用题（一）26第六讲 错中求解33第七讲 数数图形40第八讲 数列求和46第 九 讲 和 倍 问 题 55第 十 讲 差 倍 问 题 63第十一讲 和差问题70第十二讲 消去法解题77第十三讲 还原问题84第十四讲 图形面积计算91四年级数学讲义二- 2 -第一讲 加减速算与巧算人生一世离不开计算：日常生活买这买那离不开；学习活动中求解问题离不开；科学研究和统筹设计离不开。为了加快我们的生活节奏，提高我们的工作效率，人们总想着算得快些，再快些。为此，人们总结
2、了不少精彩的速算方法和技巧。速算和巧算也一直是数学学习中的一个重要内容，同学们也一定希望自己在计算时，算得正确，迅速又合理灵活吧！那么怎样才能做到这些呢？首先必须掌握一些计算法则、定理、性质和拆、并等一些技巧性方法。其次是要整体观察题目，找出数据特点及它们之间的联系。三是联想一些相关的运算定律和性质，选择最佳的算法，从而使较复杂的计算题能很快地计算结果。在加减法的运算中，同学们熟知的加法交换律和加法结合律是运算的基础，请同学们回忆一下：ab ；abc 还有一些比较重要的性质是我们在学习过程中需要掌握的。“带符号搬家”：在连减或加、减法的混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号
3、“搬家” 。即数字与它前面的符号可同时在运算中移动位置，不影响运算的结果。例如：abcacb abcacb“添括号法则”：在加、减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“”号，那么括号内的数的原运算符号要改变。即“”变“” ， “”变“” 。例如：abca(bc), abca(bc)“去括号法则”：在加、减法混合运算中，去括号时，如果括号前面是“”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面的是“”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号改变。即“”变“” ， “”变“” 。例如：a(bc) abc a(bc) a
4、bc例 1、计算 5678426246857475324322试一试 1、 234567891359321186417655例 2、456723573864543376432864四年级数学讲义二- 3 -试一试 2、 3842143828645628427136例 3、19999919999199919919试一试 3、 19999929999399949959例 4、9979979124试一试 4、 998399999839例 5、828479788083四年级数学讲义二- 4 -试一试 5、 10110210399104961061039897例 6、123456199119921993
5、试一试6、1000999998997996995994993108107106105104103102101综练：1、2347816527376654731842、945631284527552768725443、999999999999999四年级数学讲义二- 5 -4、8989989998999985、某班 10 个同学的身高为：148、163、152、147、158、165、139、148、149、141。求这 10 个同学的平均身高。6、2004200320022001217、 126385987632468011235四年级数学讲义二- 6 -8、 1807916812431029
6、考练：1、9989979996999952、799998799977996797783、4751495052554154404、2134156845555685、1234567891019861987198819891990四年级数学讲义二- 7 -6、5009919829739649557、 72641328、 286375612四年级数学讲义二- 8 -本讲总结笔记四年级数学讲义二- 9 -第二讲 乘法速算与巧算数学课上老师在黑板上出了这样一道计算题：8387，老师刚一写完，李刚马上就报出了得数，83877221。同学们搞不清李刚的答案对不对，纷纷低下头算起来，没过多久，大家忽然为李刚鼓起
7、掌来，因为他的答案是对的。老师笑眯眯地说：“同学们，你们不但要会算，还要像李刚那样会巧算，这样脑子才会越用越聪明，学习才会越来越好。 ”那么，李刚究竟是用什么方法巧妙、快速地算出这道题的结果呢？下面就让我们来揭开谜底吧。例 1、你能很快算出 5765 的结果吗？25735 呢？试一试 1、895 5679 40325例 2、你能迅速算出下面各题的结果吗？（1）2815 （2）36215 （3）452615试一试 2、3415 26415 256215例 3、你能迅速算出下面各题的结果吗？289 3499 267999 25679999四年级数学讲义二- 10 -试一试 3、589 3699 1
8、54999 68129999例 4、计算 2686 7232试一试 4、6545 3878 9717例 5、计算 8387 4149 1812试一试 5、7377 8981 2822例 6、你有好办法计算下面各题吗？25734 8201255 6254316四年级数学讲义二- 11 -试一试 6、48525 5166252 419255例 7、用简便方法计算下面各题。4825 2532125 6253257试一试 7、2516 162525 32125259综练：1、465 3715 86952、5815 38815 3776153、972 9965 2202999 154899994、822
9、2 5151 7333 69495、8585 6169 1614 2822四年级数学讲义二- 12 -6、271258 2512584 253125487、62548 125165 25364125考练：1、538 85250 875052、1596 15892 1581443、7476 1797 1251254、999999999999 1001100110015、763212525 4899256、5456 9991 2129 7、9989991998 999999777778四年级数学讲义二- 13 -本讲总结笔记四年级数学讲义二- 14 -第三讲 乘除法速算与巧算在前面几章里，小朋友已
10、经学会运用一些运算定律和性质来进行巧算。在这一章中，我们一起研究关于乘、除法的速算和巧算。主要思想：利用公式，转化原式，从而凑整进行计算。相关公式如下：（1）abba（2） （ab）c a(bc)（3） （ab）cac bc（4） （ab）cacbc（c 不等于 0）（5）ab(an) (bn) (am) (bm)(m、n 不等于 0)（6）abcacba(bc)（7）abc acbbca（8）a（bc） abcacb（9）a（bc）abcacb例 1、 （1）567424576567 （2）426424426577426试一试 1、465123877465 4618185518例 2、 （1
11、） （13456）（456） （2）241345678345678241（3）1000003212525 （4）1260025四年级数学讲义二- 15 -试一试 2、 （1257137）（7713） 465123798465798123450008125 1037000125例 3、2405 160025 3500125试一试 3、23605 460025 22000125例 4、623763 463545 试一试 4、742575 581457例 5、106428173628 753856193856四年级数学讲义二- 16 -试一试 5、257248222848 732847262847例
12、 6、66666666 999222333334试一试 6、666666 9999222233333334例 7、3718274 9999991999 265226试一试 7、28364854 1999999999999 197619综练：1、37373763 7312173297350四年级数学讲义二- 17 -2、362251834362834251 （24567）（567 ）7700012111 4280025 4899253、12800425 95000（10008）36902059 665754、56487898878 359479791295、333234 568458734472
13、四年级数学讲义二- 18 -6、9999111133336667 9989991998 479447考练：1、763212525 12523729119111111 722415289282、444728182 482987（17123） （326 ） 32640001253、32525 （72096）24 四年级数学讲义二- 19 -634221 8797117 4、28293028295 252819354442353443 1994199419931993四年级数学讲义二- 20 -本讲总结笔记四年级数学讲义二- 21 -第四讲 找规律填数我们生活在一个五彩缤纷、千变万化的世界里。为了更
14、美好的明天。我们必须去研究这千变万化的世界，认识它的变化规律，并利用这些规律为我们服务。同学们从小认识一些简单的规律，并利用这些规律来解决问题，能使我们养成爱动脑、勤动手的良好习惯。使我们变得越来越聪明，有助于我们长大后去发现更复杂、更高深的规律，对人类做出更大的贡献。数学中，到处都是规律、定律、法则、公式等，就是这些规律的结晶。在我们的奥林匹克数学中，不少知识都涉及到“ 找规律、用规律”这一基本的、重要的思想方法。寻找规律一般分为寻找数列的规律，数组的规律，图形的变化规律和计算中的规律等几种情况。对于数列中的规律，我们一般情况下是观察后两个数的变化情况，也可以联系第几个数的“几”去观察规律。
15、对于数组中的规律，我们往往是寻找这一组中几个数之间的变化规律。图形的变化规律往往比较复杂，同学们要从大小、方向、位置等几个方面去观察图形。例题 1、找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。（1）1，5，9，13，17， （ ） ， （ ） ，（2）18，19，21，24，28， （ ） ，（3）2，4，8，16， （ ） ，试一试 1、找出下面数列中的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。（1）2，4，6，8，10， （ ） ， （ ） ，（2）1，4，8，13，19， （ ） ，（3）3，6，24，48， （ ） ，例题 2、先找出下面数列中的规律，并根据规律在括号内填上合适的数
16、。（1）12，2，10，2，8，2， （ ） ， （ ）（2）6，1，8，3，10，5，12，7， （ ） ， （ ）试一试 2、先找出下面数列中的规律，并根据规律在括号中填上合适的数。（1）23，1，20，1，17，1， （ ） ， （ ）（2）3，10，5，20，7，30， （ ） ， （ ）四年级数学讲义二- 22 -例题 3、数列 1，1，2，3，5，8，13，21， （ ） ， （ ） 中，括号里应该填什么数？试一试 3、数列 3，4，7，11，18， （ ） ， （ ）中，括号里应填什么数？例题 4、根据下面各数列的规律，在括号里填上合适的数。（1）2，3，5，9，17， （ ）（
17、2）99，36，15， （ ）试一试 4、根据下面各列数的规律，在括号里填上合适的数。（1）3，8，18，38， （ ）（2）126，45，18，9， （ ）例题 5、根据前面图形里数之间关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？（1）（2）试一试 5、（1）（2）例题 6、下面的图形是按一定规律排列的，请你仔细观察，画出第四幅图。试一试 6、下面的图形是按一定规律排列的，请你按这个规律画出第四幅图形。58 41455 72054 ( )四年级数学讲义二- 23 -练习：1、根据规律，在括号内填上适当的数。（1）6，12，18，24， （ ） ， （ ）（2）9，11，15，21，29， （
18、） ，512、找出规律，在括号内填上适当的数。（1）3，4，5，8，7，16，9，32， （ ） ， （ ）（2）1，4，1，6，1，8， （ ） ， （ ）3、按规律在括号内填上适当的数。（1）3，7，15，31，63， （ ） ， （ ）（2）33，17，9，5，3， （ ）4、数列 2，2，4，6，10，16， （ ） ， （ ） ，中，括号里应填什么数？5、根据前面图形里数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？（1）（2）6、下图是按一定的规律排列起来的，请按这个规律在“？”处画出适当的图形。7、找出规律，想一想第 10 行第 2 个数是多少？考练：1、按规律填数。（1）3，
19、29，4，28，6，26，9，23， （ ） ， （ ）四年级数学讲义二- 24 -（2）128，64，32， （ ） ，8， （ ） ，22、找出规律，在括号内填上合适的数。（1）4，9，14， （ ） ，24，29（2）5，25，125，625， （ ）3、数列 21，13，8，5，3， （ ） ， （ ）中，括号里应填什么数？4、下面括号里两个数按一定规律组合，在横线上填上适当的数。（1） （8，7） ， （6，9） ， （10，5） ， （ ，13）（2） （4，5） ， （5，7） ， （7，10） ， （10， ）5、根据规律，在下面空格中填上合适的数。6、下图是按一定的规律排列的
20、，请按这个规律在“？”处画上适当的图形。7、在括号里填上合适的数。2，4，8，16，32， （ ） ， （ ） 。8、仔细观察下列算式的规律，再计算。 41932316 = 25 01234第 10 个数四年级数学讲义二- 25 -本节笔记总结四年级数学讲义二- 26 -第五讲 应用题（一）学习数学的目的之一，就是会运用它的思想、方法和结论来解决我们遇到的各种实际问题，应用题就是其中的一种。一个完整的应用题应包括已知条件，要解答的问题以及相关的一些情节，它的问题与条件是密切相关的，条件决定着问题的解答。解答应用题的基本步骤是：（1）认识题，弄清题中的条件有几项，问题是什么；（2）分析题，就是要
21、找出条件与条件之间，条件与问题之间有什么联系，确定解题的突破口及解答过程，先算什么，后算什么要心中有数；（3）列式解答，解出问题；（4）检验，看答案是否正确，是否符合题意，是否符合实际；（5）写出答语，明确回答出问题的解。例题 1、一桶油连桶重 200 千克，用去一半油后，连桶还有 110 千克，问原来油和桶各重多少千克？试一试 1、一袋米，连袋重 100 千克，用去一半后，连袋还有 51 千克，问米和袋原来各有多少千克？例题 2、某玩具厂把 630 件玩具分别装在 5 个塑料箱和 6 个纸箱里。一个塑料箱与三个纸箱装的玩具同样多，每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？四年级数学讲义二- 27 -试
22、一试 2、幼儿园买了 2 张桌子和 9 把椅子共付款 195 元，一张桌子的价钱正好与三把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？例题 3、四年级（1）班有 54 人参加语文、数学期末考试，语文成绩在 90 分以上的有 34 人，数学成绩在90 分以上的有 37 人，每人至少有一门功课在 90 分以上，问两门功课在 90 分以上的有多少人？试一试 3、四（2）班有 48 人，班主任问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手，又问：“谁做完数学作业，请举手！”有 42 人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手，求这个班语文、数学作业都完成的人数。例题 4、有 5 筐苹
23、果，每筐苹果个数相等，如果从每筐里拿出 30 个，5 筐苹果剩下个数的总和等于原来 2筐苹果的个数。原来每筐有多少个？试一试 4、有 5 盒茶叶，如果从每盒中取出 200 克，那么 5 盒剩下的茶叶正好等于原来 4 盒的重量，原来每盒茶叶有多少克？例题 5、李明参加达标测试，五项平均成绩是 86 分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是 85 分，李明投掷得了多少分？四年级数学讲义二- 28 -试一试 5、李明、陈平、林玲、张华四人的平均身高是 162 厘米。李明、陈平、张华三人的平均身高是160 厘米，林玲身高多少厘米？例题 6、图书室有两个书架，存有图书若干本，若从甲书架取 120 本书放到乙
24、书架，则两个书架的图书本数相等；如果从乙书架取 120 本书放到甲书架上，那么甲书架的图书本数正好是乙书架的 2 倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？试一试 6、甲、乙两个仓库存有大米，从甲仓运 70 袋到乙仓，则两仓大米袋数相等；若从乙仓运 70 袋到甲仓，则甲仓大米的袋数是乙仓的 2 倍，原来两个仓库各有大米多少袋？综练：1、一筐苹果连筐重 26 千克，卖出一半后，连筐还有 14 千克，这筐苹果原来重多少千克？2、城南小学买 4 张办公桌和 9 把椅子共用去 252 元，1 张办公桌和 3 把椅子的价钱正好相等，办公桌和椅子的单价各是多少元？四年级数学讲义二- 29 -3、四（1）班有 4
25、3 人，订阅中国少年报的有 31 人，订阅童话报的有 27 人，每人至少订阅其中一份报纸，四（1）班有多少人既订阅中国少年报又订阅童话报？4、有 5 箱饼干，如果从每个箱子里取出 6 千克，那么 5 个箱子里剩下的饼干正好等于原来 4 箱饼干的重量，原来每个箱子里装多少千克饼干？5、李红三门功课考试平均成绩是 94 分，语文和英语的平均成绩比三门功课的平均成绩低 2 分，李红的数学考了多少分？6、有甲、乙两盒图钉，如果从甲盒取 30 只图钉放入乙盒，则两盒图钉个数相等。如果从乙盒拿 30 只图钉放入甲盒，则甲盒图钉的个数是乙盒的 2 倍，甲、乙两盒原来各有图钉多少只？7、某班有学生 40 人，
26、一次数学测验有 3 位同学因病未考，这时班级的平均分是 75 分，后来这三位同学补考后，分别取得 95 分、82 分、88 分，现在班级的数学平均分是多少？四年级数学讲义二- 30 -考练：1、一只油桶里有一些油，如果把油加到原来的 3 倍，这时连桶重 28 千克，如果把油加到原来的 4 倍，这时连桶重 36 千克，原来油桶内有多少千克油？2、王阿姨买了 3 千克桔子和 5 千克栗子共付 59.8 元，后来王阿姨把 2 千克栗子正好换成了 4 千克桔子。求桔子和栗子的单价各是多少元？3、期中考试后，班主任问班上同学：“语文、数学两门成绩都在 90 分以上的请举手”，有 26 人举手，又问：“数学成绩在 90 分以上的请举手”，有 38 人举手。再问：“语文成绩在 90 分以上的请举手”，有 34 人举手。最后问：“语、数成绩都在 90 以下的请举手”，5 人举手。请问这个班共有多少名学生？4、有 8 盒茶叶，如果把每盒中再加入 200 克茶叶，那么这时 8 盒茶叶的重量相当于原来 12 盒茶叶的重量，原来每盒茶叶重多少克？5、 小 华 参 加 三 次 数 学 竞 赛 ， 前 两 次 的 平 均 成 绩 是 94 分 ， 三 次 的 平 均 成 绩 是 96 分 ， 小 华 第 三 次 竞 赛 得 多 少 分 ？
