1、双曲线方程1. 双曲线的第一定义：双曲线标准方程： . 一般方程： .i. 焦点在 x 轴上： 顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程： 或ii. 焦点在 轴上：顶点： . 焦点： . 准线方程： . 渐近线方程：或 ，参数方程： 或 .轴 为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. 离心率 . 准线距 （两准线的距离） ；通径 . 参数关系 . 焦点半径公式：对于双曲线方程 （ 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率 .
2、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： .共渐近线的双曲线系方程： 的渐近线方程为 如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为 .例如：若双曲线一条渐近线为 且过 ，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为： ，代入 得 .直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计
3、2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入 法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.若 P 在双曲线 ，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准线的距离比为 mn. 简证： = .常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.双曲线的标准方程和简单几何性质常见考法 在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。选择题和填空题一般属于容易题，解答题一般属于难题。在高考中，一般以解答题的形式融合其它圆锥曲线联合考查双曲线的几何性质，难度较大。误区提醒 1、求双曲线的方程，用待定系数法，先定位，后定量。不确定时要分类讨论。2、如果双曲线中，涉及双曲线上的点到焦点的距离或涉及焦点弦，一般可考虑使用双曲线的定义，使用几何法求解，比使用方程组要简单。【典型例题】
