1、11 函数单调性(一)(一)选择题1函数 在下列区间上不是减函数的是( )xf3A(0，) B(，0) C(，0) (0，) D(1 ，)2下列函数中，在区间(1， ) 上为增函数的是( )Ay3x1 BCyx 24x 5 Dyx12xy23设函数 y(2 a1)x 在 R 上是减函数，则有A B C D211aa4若函数 f(x)在区间1，3)上是增函数，在区间3，5上也是增函数，则函数 f(x)在区间1，5上( )A必是增函数 B不一定是增函数 C必是减函数 D是增函数或减函数(二)填空题5函数 f(x)2x 2mx3 在2，)上为增函数，在( ，2)上为减函数，则m_6若函数 在(1，)
2、 上为增函数，则实数 a 的取值范围是_af7函数 f(x)12x的单调递减区间是_，单调递增区间是 _8函数 f(x)在(0，)上为减函数，那么 f(a2a1)与 的大小关系是_。)43(f*9若函数 f(x)xa2 在 x0，)上为增函数，则实数 a 的取值范围是_(三)解答题10函数 f(x)，x( a，b)(b，c)的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说 f(x)在定义域上是增函数；乙说 f(x)在定义域上不是增函数，但有增区间，丙说 f(x)的增区间有两个，分别为(a，b) 和(b，c)请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。11已知函数 .21)(xf(1)
3、求 f(x)的定义域；(2)证明函数 f(x)在(0 ，)上为减函数12已知函数 |1)(xf2(1)用分段函数的形式写出 f(x)的解析式；(2)画出函数 f(x)的图象，并根据图象写出函数 f(x)的单调区间及单调性2 函数单调性(二)(一)选择题1一次函数 f(x)的图象过点 A(0，3) 和 B(4，1)，则 f(x)的单调性为( )A增函数 B减函数 C先减后增 D先增后减2已知函数 yf( x)在 R 上是增函数，且 f(2m1)f(3m4)，则 m 的取值范围是( )A(，5) B(5，) C D),53()53,3函数 f(x)在区间(2，3)上是增函数，则下列一定是 yf(x
4、) 5 的递增区间的是( )A(3，8) B(2，3) C(3，2) D(0 ，5)4已知函数 f(x)在其定义域 D 上是单调函数，其值域为 M，则下列说法中若 x0D，则有唯一的 f(x0)M若 f(x0)M，则有唯一的 x0D对任意实数 a，至少存在一个 x0D ，使得 f(x0)a对任意实数 a，至多存在一个 x0D ，使得 f(x0)a错误的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个(二)填空题5已知函数 f(x)3xb 在区间1，2上的函数值恒为正，则 b 的取值范围是_6函数 的值域是_),2y*7已知函数 f(x)的定义域为 R，且对任意两个不相等的实数 x，y，都有成
5、立，则 f(x)在 R 上的单调性为_ (填增函数或减函数或非单调函0()yxf数)8若函数 yax 和 在区间(0，) 上都是减函数，则函数 在xb 1xaby(， ) 上的单调性是_(填增函数或减函数或非单调函数)9若函数 在 R 上是单调递增函数，则 a 的取值范围是)1(2axf_(三)解答题10某同学在求函数 的值域时，计算出 f(1)2，f(4)6，就4,)(xxf直接得值域为2，6他的答案对吗，他这么做的理由是什么？311用 maxa，b表示实数 a，b 中较大的一个，对于函数 f(x)2x， ，记xg1)(F(x)maxf(x)，g( x)，试画出函数 F(x)的图象，并根据图
6、象写出函数 F(x)的单调区间*12已知函数 f(x)在其定义域内是单调函数，证明：方程 f(x)0 至多有一个实数根3 函数的奇偶性(一)选择题1下列函数中：yx 2(x 1，1) ； yx； yx 3(xR);1)(xf奇函数的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2对于定义域为 R 的任意奇函数 f(x)一定有( )Af(x)f(x)0 Bf (x)f (x) 0Cf(x)f( x )0 Df(x) f(x)03函数 )0(1xA是奇函数不是偶函数 B是偶函数不是奇函数C既不是奇函数也不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数4下面四个结论中，正确命题的个数是( )偶函数的图象一定与
7、 y 轴相交奇函数的图象一定通过原点偶函数的图象关于 y 轴对称既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x)0(xR)A1 B2 C3 D4(二)填空题5下列命题中，函数 是奇函数，且在其定义域内为减函数；xy函数 y3x(x 1) 0 是奇函数，且在其定义域内为增函数；函数 yx 2 是偶函数，且在(3，0)上为减函数；函数 yax 2c (ac0)是偶函数，且在(0，2) 上为增函数；真命题是_6若 f(x)是偶函数，则 _)21()(ff47设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0，) 时，f (x) x(1x 3)，那么当x( ，0时， f(x)_8已知 f(x)x 5ax 3bx
8、8，且 f(2) 10，则 f(2)_9设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在 (，0)上是增函数，则 f(2) 与 f(a22a3)(aR)的大小关系是 _(三)解答题10判断下列函数的奇偶性：(1) (2)2413)(xf xxf1)(3) (4)xxf1)( 221)(xxf11函数 f(x)，g(x)都不是常值函数，并且定义域都是 R证明：如果 f(x)，g(x)同是奇函数或同是偶函数，那么 f(x)g(x)是偶函数；“如果 f(x)g(x)是偶函数，那么 f(x)，g(x)同是奇函数或同是偶函数”的说法是否成立，为什么？*12已知定义在2，2上的奇函数 f(x)是增函数，求使 f
9、(2a1)f(1a)0 成立的实数 a 的取值范围5答案 1 函数单调性(一)1C 2D 3D 4B 58 6a0 72，)，( ，28f(a 2a1) 9a(，0)(f10甲错，乙和丙都对11(1)解：f(x)的定义域是xRx 0；(2)证明：设 x1，x 2 是(0，)上的两个任意实数，且 x1x 2，则 xx 1x 20，212111)(2)(xffy 因为 x2x 1 x0，x 1x20，所以 y0因此 是(0，)上的减函数)(f12解：(1) )0(1)(xf(2)图象如图所示，在区间( ，0)上是增函数，在区间(0，) 上是减函数。2 函数单调性(二)1B 2A 3B 4A5(3，
10、) 6 7减函数 8增函数 9(0，32,110他的答案是正确的，因为函数 yx 和 在1， 4上都是增函数，所以x，也是增函数，而且，这个函数的图象是连续不断的，因此求出4,)(xxf最大值和最小值就可以得到值域了11解：图象如图所示，单调区间为：在 和 上都是单调递减区间；2,(,0(在 和 上都是单调递增区间)12证明：假设方程 f(x)0 有两个不相等的根 x1，x 2(不妨设 x1x 2)，则有f(x1)f (x2)0(*)若函数 f(x)在其定义域内是增函数，则应该有 f(x1)f(x 2)；若函数 f(x)在其定义域内是减函数，则应该有 f(x1)f(x 2)，无论如何，都与(
11、*)式矛盾，故假设错误，所以，方程 f(x)0 至多有一个实数根3 函数的奇偶性1B 2D 3C(提示：易知 f(0)f(0)，所以 f( x)f(x)并不能对定义域内的6任意实数成立。所以选 C)4A(提示： 不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x)0x(a，a)5 607解：任取 x( ，0，有x0，)，f(x )x1( x) 3 x(1x 3)，f(x)是奇函数，f(x )f(x)f(x)f(x)x(1x 3)，即：当 x ( ，0时，f(x)的表达式为 x(1x 3)8解：观察函数，可知 f(x)8x 5ax 3bx 为奇函数
12、，令 F(x)f (x)8，有 F(x )F (x)，F(2) F(2)f( 2)8(10 8)18F(2)f(2)818，f(2) 269f(2) f(a 22a3)10解：(1)函数定义域为xxR，且 x0是偶函数242424 13)(,13)(3)( xffxf (2)由 解得1x 1，又1x0，x1，0函数定义域为 x1，1)，不关于原点对称， 为非奇非偶函数f)()(3) 定义域为 x1，xf1函数为 f(x)0(x1)，定义域不关于原点对称， 为非奇非偶函数(4) 定义域为221)(xxf，1012xx函数变形为 f(x)0(x1) ， 既是奇函数又是偶函数2)(f11证明：如果 f(x)，g(x) 同是奇函数，则 f(x )g(x)f(x )g(x) f(x)g( x)，所以 f(x)g(x)是偶函数；如果 f(x)，g( x)同为偶函数，则 f(x)g(x)f(x)g( x)，所以 f(x)g(x)是偶函数此说法不正确例如 f(x)x1，g(x)x1，则 f(x)g(x)x 21，显然，f(x)g( x)是偶函数，而 f(x)和 g(x)既不是奇函数，也不是偶函数12解：易知 f(2a1)f(1 a) f(2a1) f (1a)，因为 f(x)是奇函数，所以f(2a1)f(1a) f(2a 1)f (a1)，又因为 f(x)是增函数，
