1、简单几何体一、知识网络 二、高考考点1.正棱柱或正棱锥的概念与认知； 2.棱柱、棱锥的表面积与体积；3.以棱柱、棱锥为载体的垂直关系或平行关系的证明，角与距离的寻求与计算；4.球的有关问题：表面积、体积、球面距离、经纬度以及基本的“接”与“切” 问题。三、知识要点(一）棱柱1、棱柱的概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。在这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱；其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对
2、角线；两个底面的距离叫做棱柱的高。点拨：（1）根据定义判定一个多面体是否为棱柱，一般是首先看“面”，即考察该多面体是否有两个面互相平行，并且除这两个面之处的其余各面都是四边形；其次看“线”，即考察每相邻两个四边形的公共边是否平行。在这里，同一棱柱的底面的选择也会有不同方案，解题时要注意这种特殊棱柱的底面可变性的应用。（2）注意区别两个概念： 棱柱的棱与棱柱的侧棱； 棱柱的对角线与棱柱某一面的多边形的对角线。2、棱柱的分类（1）按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、n 棱柱；（2）按侧棱与底面的关系分类。特例：（）四棱柱的分支（或特殊情形）：循着由一般到特殊的途径其中，特别注意 （）长方体的特
3、性 长方体的对角线的平方，等于它的长、宽、高的平方和设对角线与各棱所成的角分别为 ， ， ，则 设对角线与各面所成的角分别为 ， ， ，则3、棱柱的性质 （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形； （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；（3）经过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；4、面积与体积（1）设柱体（棱柱或圆柱）的底面积为 S，高为 h， 则柱体的体积 （2）设棱柱的侧棱长为 ，直截面（垂直于侧棱的截面）的周长为 C，面积为 S，则棱柱的体积： ； 棱柱的侧面积： 。（二）棱锥1、棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥；这个多边形
4、叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。提醒：由上述定义可知，棱锥有两个本质的特征： （1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，这二者缺一不可。“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体不一定是棱锥。特例：三棱锥（即四面体）的任何一个面都可以作为底面（三棱锥底面的可变性），这是其它棱锥所不具备的；运用体积法求距离，就是利用三棱锥的体积及其底面的可变性；值得注意的是，一个三棱锥的四个面可以都是直角三角形。2、棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它
5、们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。3、正棱锥（1）正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面内的射影为底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。（2）正棱锥性质：（）各侧棱相等；各侧面都是全等的等腰三角形；各等腰三角形底边上的高（正棱锥的斜高）相等。（）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形；提醒：正棱锥必须满足两个条件：一是底面为正多边形；二是顶点在底面上的射影恰为底面多边形的中心，这二者缺一不可。正棱锥除去上面指出的两个直角形外，正棱锥的底面半径、边心距和半边长也组成一个直角三角形；正棱锥侧面上的
6、侧棱、相应的斜高和半边长也组成一个直角三角形，这些特殊的三角形是解决正棱锥问题的基础和突破口。4、面积与体积 （1） 设正棱锥的底面周长为 C，斜高为 h， 则它的侧面积 （2）若一个棱锥所有的侧面与底面组成二面角都等于锐角 ，并且顶点在底面上的射影在底面多边形的内部，则有 （3）设锥体（棱锥或圆锥）的底面积为 S，高为 h 则锥体的体积 。认知：由柱体和锥体的体积的阅读材料可知，任何一个三棱柱都可以分割成体积相等的三棱锥，反之，以任何一个三棱锥为基础都可以补充成同底等高的三棱柱。这种割补化归的思想是立体几何中的重要思想，解题时应注意这种思想和手段的运用。 （三）球1、 球的概念（1）定义（2
7、）球的元素 球的半径：连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。球的直径：连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。2、球的截面的性质 用一个平面去截球，截面是圆面，球的截面有如下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面。（2）球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有如下关系：其中（）当 d=0 时，截面过球心，此时截面面积最大。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。（）当 d=R 时，平面与球面相切。（）当 00），用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围为 。分析：解决此题的关键是如何拼成三棱柱或四棱柱。（1）
8、将它们拼成新的三棱柱，只有将它们摞起来一种情形，其全面积为 ；（2）将它们拼成四棱柱，则有三种情形将两个相同的三棱柱分别沿其相同的侧面对接，其全面积分别为 ， ，显然 S2S 3S 4。 只需 S1S 4 ，解得 即 所求 a 的取值范围为 三、解答题1.如图，在斜三棱柱 中， ，AB=AC， ，侧面 与底面 ABC 所成二面角为120，E、F 分别是棱 、 的中点。（1）求 与底面 ABC 所成的角； （2）证明： 平面；（3）求经过 A1、A、B、C 四点的球的体积。分析：为了表示（1）中目标，需要构造平面 ABC 的垂线，而一旦寻出或作出平面 ABC 的垂线之后，又可以此为基础作出已知的
9、侧面 与底面 ABC 所成二面角的平面角。因此，解题结构是平面 ABC的垂线切入，通过构造及求解 突破。解：（1）作 平面 ABC 于 H，连结 AH 并长交 BC 边于 G，连结 EG， ， 则 为 与底面 ABC 所成角。 又 AG 为 的平分线（证明从略） AB=AC， 即 而 AH 是 在底面 ABC 上的射影 平面 注意到 平面 ，且 ， 为二面角 A-BC-E 的平面角 又四边形 AGEA1 为平行四边形 即 与底面所成角为 60。（2）连结 交 EG 于点 P，则 P 为 EG 的中点，连结 FP。 F 为 的中点 四边形 为平行四边形 又 面 ， 面 ， 面 。（3）连结 ，由
10、（1）知 HB=HC 由已知得 三棱锥 为正三棱锥 它的外接球球心 O 在高 AH 上，又连结 OF，则 ，且 即球半径 ， 球的体积 点评：对于（1），通过作 平面 ABC 于 H，将已知二面角的平面角与构造所求的直线与平面所成角纳入同一个作图与论述过程之中，这一过程一旦完成，“已知”与“目标” 的联系便呼之欲出了。对于（3）解题的关键是认知所给四点构成正三棱锥，认识到这一点，即问题转化为求正三棱锥 的外接球体积，于是，化生为熟便得以实现。2.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，AB DC， 底面 ABCD，且 ，M是 PB 的中点。（ ）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 与
11、 PB 所成的角； （）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。分析：对于（），注意到 面 PAD，得证；对于（），当四棱锥内难以找到 AC 或 PB 的平行线时，要想到在四棱锥外部构造 AC 与 PB 的平行线；对于（），则要想到利用（），（）推理中的认知与结论来构造或计算二面角的平面角。方法一：（）证明： PA面 ABCD，CDAD ， 由三垂线定理得：CDPD。因而，CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD，PD 都垂直，CD面 PAD。 又 CD 面 PCD， 面 PAD面 PCD。（）解： 过点 B 作 BE CA，且 BE=CA，则PBE 是 AC 与 PB 所成的角。连结
12、AE，可知 AC=CB=BE=AE= ，又 AB=2， 所以四边形 ACBE 为正方形。由 PA面 ABCD 得PEB=90 在 RtPEB 中 BE= ,PB= ,cosPBE= , AC 与 PB 所成的角为 arccos .()解：作 ANCM ，垂足为 N，连结 BN。 在 RtPAB 中，AM=MB，又 AC=CB， AMCBMC，BNCM, 故ANB 为所求二面角的平面角。 CBAC，由三垂线定理，得 CBPC，在 RtPCB 中，CM=MB,所以 CM=AM。 在等腰三角形 AMC 中，ANMC= AN= 。 AB=2，cos ANB= 。 故所求的二面角为 arccos( ).
13、方法二：因为 PAAD,PAAB,AD AB,以 A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0) ，D(1,0,0) ，P(0,0,1)，M(0,1, ).()证明：因 =（0，0，1）， =（0，1，0），故 ，所以 APDC又由题设知 ADDC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC面 PAD，又 DC 在面 PCD 内， 面 PAD面 PCD。（）解：因 =（1，1，0）， =（0，2，1），故| |= ，| |= ， ， 由此得 AC 与 PB 所成的角为 arccos .()解
14、：在 MC 上取一点 N（x,y,z ）, 则存在 R，使 ， =(1x,1y,z), =(1,0, ),x=1 ,y=1,z= . 要使 ANMC，只需 ，即 x z=0,解得 = 。可知当 = 时，N 点坐标为（ ），能使 此时， =（ ）， ，有 由 ，得 ANMC，BNMC 所以ANB 为所求二面角的平面角 。故所求的二面角为 arccos( ).点评：对于（ II ），突出四棱锥体外，人为地构造出ACBE 之后，根据题设认知这一平行四边形为正方形是解题的关键。一般地，当你人为地构造出某一图形之后，都需要认知并利用这一图形的特殊属性来解题；对于（ III ），首先直接构造出 ，而后再证
15、明它是所求二面角的平面角。这一方法虽不常用，但也属于基本方法定义法的应用，需要同学们注意掌握。3.如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD底面ABCD， AD=PD，E、F 分别为 CD、PB 的中点。（）求证：EF平面 PAB；（）设 ，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小。 分析：（ I ）为考察 EF 与 PA、PB 之间是否具有垂直关系，考虑构造与点 E、F 有关的 ，为此，连结PE、BE，则由题设易知 ，推理由此展开。（ II ）借重推证（ I ）的过程中对图形的认识，从导找或构造平面 AEF 的垂线突破。方法一：（）证明：连结 EP， PD底面 ABCD,D
16、E 在平面 ABCD 内，PDDE，又 CE=ED，PD=AD=BC。 RtBCERt PDE PE=BE 。F 为 PB 中点。 EF PB 由三垂线定理得 PAAB，在 RtPAB 中 PF=AF，又 PE=BE=EA。 EFPEFA。 EFFA. PB、FA 为面平 PAB 内的相交直线。EF平面 PAB。 （）解：不妨设 BC=1，则 AD=PD=1。 AB= ,PA= ，AC= PAB 为等腰直角三角形，且 PB=2，F 为其斜边中点，BF=1，且 AFPB PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直， PB平面 AEF. 连结 BE 交 AC 于 G，作 GHBP 交
17、 EF 于 H， 则 GH平面 AEF GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角。由EGH BGA 可知 EG= GB，EG= EB，AG= AC= . 由EGHEBF 可知 GH=BF= .sinGAH= = . AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin 方法二：以 D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系. （）证明：设 E（a ，0，0）其中 a0，则 C（2a ，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P （ 0，0，1）， F（a ， ， ）.=（0， ， ）， =（2a ，1，-1）， =（2a ，0，0）。，EFPB. ，EF AB 又 PB 平
18、面 PAB，AB 平面PAB，PBAB=B. EF平面 PAB. （）解：由 AB= BC，得 a= . 可得 =（ ，-1 ，0）， =（ ，1，-1）cos= = , 异面直线 AC、PB 所成的角为 arccos =（ ，- ， ）. ,PBAF. 又 PBEF，EF 、AF 为平面 AEF 内两条相交直线,即 AC 与平面 AEF 所成的角为arcsin . 点评：运用解法一，可感觉到这是一道平面几何味道很浓的立体几何题突破或决战都需要运用平面几何知识与方法。对于（ I ），重点在于证明与利用三角形全等；对于（ II ），则重点在于利用相似三角形沟通联系。运用解法二，证明（ I ）简捷
19、明了；解答（ II ）只要想到转化或沟通，其设想也容易实现，由此可见，适当条件下坐标法的优越性。4.如图，在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面VAD底面 ABCD （）证明 AB平面 VAD；（）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小分析：（）从略 （）所求二面角的棱为 AD，注意到 平面 VAD，故选择“三垂线定理” 构造或证明该二面角的平面角。方法一：（）证明：（）解：取 VD 的中点 E，连结 AE，BE VAD 是正三角形 AE VD ，AE=ADAB平面 VAD ABAE 又由三垂线定理知 BEVD 因此， 是所求二面角的平面角
20、于是， ， 即得所求二面角的大小为 方法二：以 D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系（）证明：不妨设 ， 则 ， 由 ，得 又 ，因而 与平面 内两条相交直线 VA， AD 都垂直 平面 （）解：设 为 中点，则 由 ，得 ，又 因此， 是所求二面角的平面角。 解得所求二面角的大小为点评：对于（ II ），首先构造出 ，而后利用已知条件与（ 1 ）的结果证明它是二面角的平面角，这种“先构造，后证明” 的策略也是解决几何问题的基本策略。5.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点.（）求直线 AC 与 P
21、B 所成角的余弦值；（）在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.分析：（1）为策应 PD 中点 E，连结 AC、BD，并设 ，连结 OE，则 ，于是所求角易于作出；（2）注意到寻找 NE 的难度，故这里考虑分两步走：第一步，寻找或构造经过 PD 上的点且垂直于平面PAC 的直线；第二步，确定上述垂线的平行线 NE 的位置。因此，解题从寻找或构造平面 PAC 的垂线切入。方法一：（）设 ACBD=O，连 OE，则 OE/PB， EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角. 在AOE 中，AO=1，OE= 即 AC 与 PB 所成角的余弦值为
22、 .（）在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F，则 .连 PF，则在 RtADF 中 设 N 为 PF 的中点，连 NE，则 NE/DF， DFAC，DF PA，DF 面 PAC，从而 NE面 PAC.N 点到 AB 的距离 ， N 点到 AP 的距离 方法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C 、D、P、E 的坐标为A（0，0，0）、 B（ ，0 ，0）、C（ ，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E （0， ，1），从而 设 的夹角为 ，则 AC 与 PB 所成角的余弦值为 .（）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（x ，0，
23、z），则 ，由 NE面 PAC 可得， 即 N 点的坐标为 ，从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1， .点评：在解法一中，（ II ）中运用迂回战术，首先利用已知条件作出平面 PAC 的垂线 DF，再而寻找DF 的平行线段 DE。在直面构造或寻觅遇到困难时，常运用这一策略；解法二通过坐标运算求解言简意赅，当然是这一类问题的最简解法。6.已知三棱锥 PABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点，ABC， PEF 都是正三角形，PFAB.（）证明 PC平面 PAB；（）求二面角 PABC 的平面角的余弦值；（）若点 P、A、B 、C 在一个表面积为 12 的球面上，求ABC 的边长.分
24、析：（）注意到题设条件中的正三角形与直角三角形，想到利用这些三角形的特性确定线线垂直关系；（）利用（）中的认知寻找或构造平面角；（）首先认知这四点的特殊性，而后刻意化生为熟。（）证明： 连结 CF.（） 解法一： 为所求二面角的平面角. 设 AB=a，则 解法二：设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. 得 PA=PB=PC. 于是 O 是ABC 的中心. 为所求二面角的平面角 .设 AB=a，则 （）解法一：设 PA=x，球半径为 R. ，的边长为 解法二：延长 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直径. 连结 OA、AD，可知PAD 为直角三角形. 设 AB=x，球半径为 R. 点评：
25、（1）对于（），由直角三角形性质认定 是证明关键，同时它也为（）中认知PA、 PB、PC 两两互相垂直奠定基础。（2）对于（），在认定球面上四点 P、A、B 、C 满足条件 PA、PB、PC 两两互相垂直之后，解题便实现了“ 化生为熟” ，进入人们所熟悉的情境。7.如图，在五棱锥 SABCDE 中，SA 底面 ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE= ,BA E=BCD=CDE=120.（）求异面直线 CD 与 SB 所成的角（用反三角函数值表示）；（）证明 BC平面 SAB；（）用反三角函数值表示二面角 B-SC-D 的大小（本小问不必写出解答过程）分析：（1）为寻出所求角，首先寻找
26、CD 的平行线。为推证猜想中的 BE/CD，也为了将四边形问题转化为三角形问题，考虑在底面 ABCDE 内延长 BC 与 DE 交于点 F，解题由此进入熟悉的境地。（2）欲证 平面 SAB，又由题设知 ，因此，证明 或 BC 垂直于平面 SAB 内其它直线便成为证题的关键。这里能否证出 ，还要认知底面多边形切入。方法一：（）连结 BE，延长 BC、ED 交于点 F， 则DCF=CDF=60，CDF 为正三角形， CF=DF。 又 BC=DE，BF=EF。 因此，BFE 为正三角形，FBE=FCD=60， BE/CD，所以SBE（或其补角）就是异面直线 CD 与 SB 所成的角。SA底面 ABC
27、DE，且 SA=AB=AE=2， SB=2 ，同理 SE=2 。又BAE=120，所以 BE=2 .从而 cosSBE= ， SBE=arccos .所以异面直线 CD 与 SB 所成的角为 arccos .（）由题意，ABE 是等腰三角形，BAE=120，所以ABE=30，又FBE=60，ABC=90，所以 BCBASA底面 ABCDE，BC 底面 ABCDE，SABC，又 SABA=A，BC平面 SAB。（）二面角 B-SC-D 的大小为 arccos .方法二：（向量解法）：（）连结 BE，延长 BC、ED 交于点 F，则DCF=CDF=60，CDF 为正三角形， CF=DF。 又 BC
28、=DE，BF=EF。 故BFE 为正三角形。因为ABE 是等腰三角形，且BAE=120， ABC=90.以 A 为原点，AB、AS 边所在的直线分别为 x 轴、z 轴，以平面ABC 内垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系（如图），则 A（0，0，0），B（2，0 ，0），S （0，0，2），且 C（2， ，0），D（ ，0），于是 ）， =（2，0，2），则 = ， =arccos ，异面直线 CD 与 SB 所成的角为 arccos .（） =（0， ，0）， =（2，0，0）， =（0，0，2）， ， BCAB， BCSA。 ABSA=A， BC平面 SAB。（）二面角 B-SC-D 的大小为 点评：在这里，作辅助线延长 BC、ED 交于点 F 是关键一笔（得意之笔）。由此，在确认底面有关线段间的垂直关系时，便将研究四边形（或五边形）问题转化为研究三角形问题，这是化繁为简，化生为熟，化难为易的转化，也为（ II ）中论证出 埋下伏笔。请同学们细细味悟这一解题策略。
