1、,第一章第四节 古典概率模型,I. 什么是古典概率模型,如果试验E满足(1) 试验结果只有有限种，(2) 每种结果发生的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称为等可能概型或古典概型。,II. 古典概率模型中事件概率求法,因试验E的结果只有有限种,即样本点是有限个: 1,2 ,n ，其中S=12 n， i是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有 1=P(S)=P(12 n)=P(1)+P(2 )+P(n)=nP(i), i=1,2,n。,从而，P(i)= 1/n，i=1,2,n。,因此，若事件A包含k个基本事件，有P(A)=k(1/n)=k/n。,III. 古
2、典概型的例,例1：,掷一颗均匀骰子， 设:A表示所掷结果为“四点或五点”；B表示所掷结果为“偶数点”。 求:P(A)和P(B)。,解：,由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3； 再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。,例2：,解:,货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自同一产地的概率。,从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。 令 A=两件商品都来自产地甲,kA= C212=66,B=两件商品都来自产地乙,kB= C23 =3， 而事件:两件商品来自同
3、一产地=AB,且A与B互斥,AB包含基本事件数66+3=69。 故，所求概率=69/105=23/35。,例3,：有外观相同的三极管6只,按电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只, (1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取 下一只(放回抽样); (2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。 设A=抽到两只甲类三极管,B=抽到两只同类三极管,C=至少抽到一只甲类三极管,D=抽到两只不同类三极管。 求：P(A),P(B),P(C),P(D)。,解:,(1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取。因第一次从6
4、只中取一只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管共有66=36 种可能的取法。从而,n=36。,注意:这种分析方法使用的是中学学过的乘法原理,因每个基本事件发生的可能性相同,第一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。所以,取两只甲类三极管共有 44=16 种可能的取法, 即kA=16。故P(A)=16/36=4/9； 令E=抽到两只乙类三极管,kE=22=4。故 P(E)=4/36=1/9; 因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9； 因B= AE ,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E
5、)=5/9； D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。,(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有n=65=30种可能的取法。 由乘法原理,得 kA=43=12, P(A)=12/30=2/5; kE=21=2，P(E)=2/30=1/15; 由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15； 由B=AE,且A与E互斥,得P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。,教材例2,解:,例4：n个球随机
6、地放入N(Nn)个盒子中,若盒子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球”的概率。,因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个, 故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放入N个盒子中共有Nn种不同的放法。每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法原理得): N(N-1)(N-n+1)=ANn 种。 故，P(A)= ANn/Nn。,设每个人在一年(按365天计)内每天出生的可能性都相同,现随机地选取n(n365)个人,则他们生日各不相同的概率为 A365n/365n。 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率为 1- A365n/365n。,许多问题和上例有相同的数学模型。,例如(生日问题):,某人群有n
7、个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？,此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出： “在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。,n p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,经计算可得下述结果：,把n个物品分成k组,使第一组有n1个,第二组有n2个, ,第k组有nk个,且 n= n1+ n2+nk 。则:不同的分组方法有,公式,种。,解:,例5: 某公司生产的15件产品中,有12件正品,3件次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每箱装5件，设: A=每箱中
8、恰有一件次品, B=三件次品都在同一箱中。 求: P(A)和P(B)。,15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有,种等可能的装法。,故, 基本事件总数有,个。,续:,把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种装法。这样的每一种装法取定以后, 把其余12件正品再平均装入3个箱中,每箱装4件,有,个基本事件。,再由乘法原理,可知装箱总方法数有,即A包含,从而，,续:,把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有,个基本事件。故，,由乘法原理，知装箱方法共有,即B包含,例6 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中
9、任 取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,例7 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六
10、,周日,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,例8 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”则所求概率为,解:,于是所求概率为,小结,本节首先给出古典概型的定义；然后讨论了古典概型中事件概率的求法：,若事件A包含k个基本事件，有P(A)=k(1/n)=k/n；,最后，给出了几个古典概型中求随机事件概率的应用实例。,
