1、第一节 风险与保险 第二节 概率与保险 第三节 概率分布与保险 第四节 随机变量的数字特征与保险,第一章 保险与概率分布,案例一：风险与保险 【案情介绍】一场工业意外事故造成死103人、伤数百人的惨剧。其中两人生前购买了某保险公司的“分期支付储蓄终身寿险”和“综合个人意外保险”，其家属分别得到了人民币24万元和13万元的保险赔偿和给付。而其他不幸者因为没买过任何保险，只能得到有关部门有限的抚恤金。,第一节 风险与保险,【案例分析】,当风险事故发生时，保险公司的赔偿虽然不能给死者家属多少精神上的安慰，但在经济上却是一种恰逢其时的帮助。相比之下，没有购买保险的死难者家属不得不承受精神与经济上的双重
2、打击。,任何人在其一生中都有可能遇到意外事故甚至灾难，其后果可能是轻微的，也可能是严重的，严重时，不但引起伤害，也可能丧失生命，并使依靠其生活的家人失去生活来源。 这种经济上的不稳定性需要得到保障。保险就是一种有效的保障方式。保险虽然不能事先化解风险，但是却能在较大程度上减轻或消除风险事故的损害。,【启示】,国外大多数保险教科书将风险定义为：损失（包括自然的和人为的）的不确定性。 有些人认为，风险是在一定情况下，人们对于有关事物的未来结果的一种客观疑惑。 指引起灾害和意外事故的原因，或指由于灾害和意外事故造成的损失，还可以指灾害和意外事故本身。,1.1风险的定义,技术经济学中风险的定义为，由于
3、随机的原因所引起的（项目）总体的实际价值对预期价值之间的差异。 本教材把风险定义为，在一定的条件下，实际发生的损失与预期损失之间的相对差异。,（1）风险因素(hazard)引起风险事故发生的因素，增加风险事故可能性的因素，以及在事故发生后造成损失扩大和加重的因素。例如：粗心大意是失窃的风险因素。“单纯”是上当受骗的风险因素？,风险三要素,（2）风险事故（ perils）造成损失的直接原因或条件。例如：失窃、火灾、车祸、疾病等。,（3）风险损失(Loss)人身伤害和伤亡或价值的非故意的、非预期的减少或消失，有时也指精神上的危害。,风险因素可能引起风险事故，风险事故则可能导致损失，风险因素本身的存
4、在也可能引起损失。,1.2风险理论,保险的基本职能是分散风险。因此如何定义和测量风险是保险精算学中的一个重要内容。 风险理论就是使用统计学和数学等研究工具，对经济管理活动中的损失风险和经营风险进行定量的刻画，建立相关风险模型来研究风险的性质，并为现实的保险经营进行有效的风险分析和控制提供技术支持的一门学科。,风险理论就是，对出现在保险业务总量中的各种类型的波动的研究。 1909年Bohlman就提出了“古典风险理论”，这个理论讨论了寿险数学和在个人保单中由随机波动引起的偏差。该理论在实践中缺陷较大。 在1909-1919年菲力普提出了“集合风险理论”，该理论首次应用概率论的方法来研究保险业务计
5、划。该理论对于寿险业和非寿险业都是适用的。,小资料：人的一生中风险来自哪些方面？,一方面是来自个人及家庭财产极其相关利益遭受损失的风险。例如盗窃、火灾、抢劫、爆炸、台风、洪水以及受骗、经营失策等所至的后果。 另一方面就是来自对人的身体和生命构成威胁的各种风险。意外事故可导致人的受伤、残疾甚至死亡。人因各种原因会患上疾病，疾病会导致人的瘫痪和死亡。,无论意外事故还是疾病都有可能使一个人丧失工作能力，失去职业，使收入中断，生活陷入困境。而仔细想一想人的一生，究竟有多少人能最后无疾而终？绝大多数人不是因意外事故突然夭折，便是病魔缠身，被折磨而死。,1.3风险基本原理的数量分析,风险是以其变异性的大小
6、进行度量的，因此度量风险水平就是风险的数量分析。 度量风险大小的两个常用指标是风险的方差和变异系数。方差反映了风险的绝对量，而变异系数则反映风险的相对水平。,保险是将风险从被保险人向保险人的转移； 保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险保障； 风险集合包含的个体越多，其相对风险越小； 不同的被保险人有不同的风险水平； 在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失将占到总损失金额的较大比重。,1.3.1 五个基本原理,1.3.2 风险转移,（一）个体风险令X表示个体风险的随机损失，其均值E(x)，方差为D(x)，在无保险情况下，保险人和被保险人所承担的风险分别为：,如果被保险人通过支付固定保费E(x
7、)，将随机损失X转移给保险人（暂且忽略附加保费和利率等因素），则保险人和被保险人所承担的风险情况为：从上表可看出，被保险人通过支付固定的保费E(x)，将其随机损失X的变异性D(x)全部转移给了保险人。,（二）风险集合对于由n个相互独立的风险所组成的集合，风险转移也可作同样的数学描述。令Xi为第i个风险的随机损失，均值和方差为E(Xi)和D(Xi)，则风险集合的总损失为 ，均值为 ，方差为 。在没有保险的情况下，保险人和被保险人所承担的风险如下：,如果风险集合中的所有个体风险都购买了全额保险，则保险人与被保险人之间的关系为：,（三）相对风险,当许多相互独立且具有相同损失特性的个体风险聚合成风险集
8、合时，风险集合的相对变异性小于个体风险的相对变异性。 证明过程：随机损失Xi的变异系数CV被定义为标准差与均值之比，即 其中 和 分别为个体风险Xi的均值和方差。,N个独立同分布随机风险X1，Xn之和的均值和方差分别为和从而对于n个具有相同损失特性的度量风险所组成的风险集合，其随机损失的变异系数为上式表明，n个独立同分布随机变量值和的变异系数是单个随机变量的变异系数的根号n分之一。,风险集合的相对变异性小于个体风险的相对变异性这一特性，是保险赖以存在和发展的基础。 可保风险一般满足五个条件：损失的非一般性；偶然性；可统计性；损失程度的可确定性；非巨灾性,（四）风险差异（P8页）在前文讨论中我们
9、假设风险集合是同质的，但在多数情况下，风险集合是非同质的，个体风险之间存在较大差异。因此一个风险集合可以根据个体风险之间的相似程度分解为若干风险子集合。,个体风险的期望损失及其方差通常是难以估计的，因此只能以风险子集的期望损失作为个体风险保费厘定的基础。 风险子集的方差大小可用于评价该风险子集的保费是否合：方差越小，说明保费越合理；否则，越不合理。,通过以上的分析，我们知道在个体风险和风险集合之间，还存在风险子集，即对风险集合按照个体风险的不同特征所进行的一种分解。 属于同一风险子集的个体风险有更加接近的损失分布，因此根据风险子集的损失经验计算的保费能增加投保人在保费支付上的公平性，减少互助性
10、保费的影响。,（五）风险分级 P9,但当风险集合被分解成越来越小的风险子集时，根据风险子集的损失经验估计其期望赔付额，估计结果会越来越不稳定。这就要求我们在估计结果的稳定性和保费厘定的公平性之间进行权衡。,解决上述问题的方法通常是，对于一个风险集合，一般都能找到若干风险分级变量，每个分级变量可以有两个或两个以上的取值，不同的取值代表不同的风险水平。 这些风险分级变量按照其取值对风险集合进行交叉分类，即可得到风险子集。这样进行风险分级之后，即可满足公平性要求，又可满足稳定性。,风险集合中的少数巨灾风险可能会完全左右风险集合的损失分布，这时必须引入偏度系数对其损失分布进行描述，偏度系数反映了损失分
11、布关于均值不对称的程度，它的大小受到巨灾风险的影响。,1.3.3风险的非对称性（P10）,偏度系数具有统计学中的相应特征关系。 如果定义单个随机变量的偏度系数为 ，n个独立同分布的随机变量之和的偏度系数为 ，则：这说明风险集合包含的相互独立的个体风险越多，其损失分别的变异性和非对称性就越小，少数巨灾风险对风险集合的影响也越小，经营稳定性越好。,第二节 概率与保险,保险人如何确定某类风险标的的损失概率，进而确定损失期望值，是制定纯保费率的先决条件。要确定损失概率，就要运用概率及统计分析，要估计损失的波动，保障经营财务的稳定，就要运用大数法则。,了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么
12、意义呢？,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,概率论的相关知识,在观察人数很多的情况下，各种赔款金额出现的可能性大小都具有某种规律，即同一赔款金额出现的次数与赔偿总次数的比率接近某一常数。（参见P12页表2-1） 随机事件的概率：某一随机事件，经过长时间的观察，在实验中发生的次数与实验总次数的比率，几乎为一定值。这一定值就是随机事件发生的可能性大小。这种通过比率定义的概率，在概率论中被称为古典概率。,2.2概率定义（P12）,先知（先验）概率：如果一个随机实
13、验在完全相同的条件下进行n次，在n次试验中A发生了m次，则该事件发是的概率为P(A)，且在实际中，随机试验只能进行有限次，其结果m/n只是概率的一个估计值，这个估计值的精确度随n增大而提高。,概率在保险上可有两种解释（P14） 1）损失的空间概率，指在非常大数目的风险单位中，同样风险单位在给定经验周期内发生损失的比率； 2）损失的时间概率，指在非常长的时期内，同一风险单位在等长的周期内发生损失的比率。,随机事件可以是任何事件，但在保险经营中，往往是指某种风险或损失。因此，随机事件的概率，在保险经营中往往是指损失概率。 当我们把保险经营中的各种损失结果抽象成随机事件后，求相应的损失概率就转化成求
14、某一随机事件的概率。,2.3互不相容事件（P15） 2.4相交事件、独立事件、事件的并 事件A和B同时发生，则称为事件A和B的交集，记为AB或AB。 两个事件A、B中至少有一个事件发生，称为事件A和B的并，记为AB或A+B。,对于事件A和B，在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P（B/A），且有由上式可知： 事件交的概率 P(AB)=P(B) P（A/B）=P(A) P（B/A） 事件并的概率 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),两个事件独立，是指其中一个事件的发生，不影响另一个事件的发生。若事件A、B相互独立，则P(A/B)=P(A)P(AB)=P(A) P(B)
15、P(AB)=P(A)+P(B)-P(A) P(B) （参见P16页例2-1、例2-2、3、4、）,2.5.1全概率定理（P19）如果事件A1，A2，An构成完备事件组，且P(Ai)0(i=1,2,n)，则对任一事件B，有上式称为全概率公式。,2.5概率定理,其意义在于可以将一个复杂的事件分解成若干个比较简单的事件来求其概率：一个事件A往往可能是在若干个不同条件下（可视为A发生的不同原因）发生，因而可将A分解成若干个互不相容事件，只要知道各种原因发生条件下该事件发生的概率以及各种原因发生的概率，利用全概率公式就可以求得该事件的概率。（P20页例2-6）,若事件A1，A2，An构成完备事件组，且P
16、(Ai)0(i=1,2,n)，则对任一事件B（P(B)0），有上式称为贝叶斯公式，或逆概率公式。,2.5.2贝叶斯定理（逆概率定理）P21页,贝叶斯公式的意义在于：已知事件B当且仅当n个两两互斥的事件A1，A2，An之一发生时发生，即A1，A2，An为B发生的“原因”，现在B已经发生了，反过来探讨A1，A2，An中哪一个是导致B发生的真正“原因”。 （P21例2-7、8）,现实世界中有许多随机试验只有两种可能结果，将这些试验的某一结果记作A，则另一个结果就是 。象这类只考察两种结果A和 的试验，称作贝努里试验。,2.5.3贝努里定理,如果在相同的条件下独立地做n次贝努里试验（即各次试验的结果互
17、不影响），事件A在每次试验中发生的概率保持不变，这种试验称为n重贝努里试验。,设贝努里试验中事件A发生的概率为p（0p1），则在n重贝努里试验中A恰发生m次的概率为：这个定理称为“贝努里定理”。（P23页例2-9）,一生风险知多少（一）,每个人都可能遇到的危险机会有： * 受伤：危险概率是1/3 * 难产（行将生育的妇女）：危险概率是1/6 * 车祸：危险概率是1/12 * 在家中受伤：危险概率是1/80 * 受到致命武器的攻击：危险概率是1/260 * 死于心脏病：危险概率是1/340 * 家中成员死于突发事件：危险概率是1/700,一生风险知多少（二）,乳腺癌（女性）：危险概率是1/250
18、0 死于中风：危险概率是1/1700死于突发事件：危险概率是1/2900 死于车祸：危险概率是1/1500 染上爱滋病：危险概率是1/5700 被谋杀：危险概率是1/11000 死于怀孕或生产（女性）：危险概率是1/14000 因坠落摔死：危险概率是1/20000,一生风险知多少（三）,死于工伤：危险概率是1/26000 走路时被汽车撞死：危险概率是1/40000 自杀：危险概率是1/20000（女性） 危险概率是1/5000（男性） 心脏病突发（超过35岁）：危险概率是1/77 如果您不吸烟，而您的配偶吸烟，那么您可能因受二手烟污染而死于肺癌：危险概率是1/60000,一生风险知多少（四）,
19、死于火灾：危险概率是1/5000 溺水而死：危险概率是1/5000 被刺伤而死：危险概率是1/60000 死于手术并发症：危险概率是1/80000 因中毒而死（不包括自杀）：危险概率是1/86000 骑自行车时死于车祸：危险概率是1/86000 吃东西时噎死：危险概率是1/160000,一生风险知多少（五）,死于飞机失事：危险概率是1/250000 被空中坠落的物体砸死：危险概率是1/290000 触电而死：危险概率是1/350000 死于浴缸中：危险概率是1/1000000 坠落床下而死：危险概率是1/2000000 被动物咬死：危险概率是1/2000000 被龙卷风刮走摔死：危险概率是1/
20、3000000,一生风险知多少（六）,男女两性在遭遇危险方面的差异： 男性的预期寿命一般来说比女性短四五年。 不论在哪个年龄段，男性死亡率都高于女性。 新生儿中，男婴数量比女婴多2%左右，但是： 到25岁时，男女的数量大致相等。 到35岁时，女性比男性多大约2%。,第三节 概率分布与保险,3.1随机变量（P24页） 随机变量的分布函数 分布函数的性质 3.2离散型随机变量及其分布 3.2.1离散型随机变量的分布函数3.2.2离散型随机变量的概率分布（P25）,3.3连续型随机变量（P26页） 3.4概率分布在保险中的应用 3.4.1索赔次数、索赔频数 索赔次数始终是一个离散型随机变量。（P27
21、-28例） 3.4.2索赔额 索赔额为连续型变量，所以一般求索赔额取一个点值的概率没有意义。 索赔额的分布可以用其频数分布表和图来描述；P30 另一种描述方法是使用其密度函数和分布函数来分析。用其密度函数f(x)在x=a和x=b区间上覆盖的面积来表示随机变量在(a,b)区间上的概率 连续型变量的分布函数的定义与离散型的完全相同。（P32页）,第四节 随机变量的数字特征与保险,4.1数学期望与保险 离散随机变量的期望值：连续随机变量的期望值： 期望值的性质：,4.1.2期望与保险 所谓损失期望就是损失的不确定数额与损失概率的乘积。 对于保险人，确定了损失期望，也就确定了预期损失的总额，进而为保费
22、的收取确定了依据；而对于保险购买者，将预期损失的金额与保费相比较，做出决策。 每一赔案的平均额为总体平均赔款额通常是未知的参数，必须用样本均值对其进行估计得到。如X1，X2，Xn为一组观测数据，且相互独立，则样本均值为：P38页例4-1、2,4.2方差与保险 4.2.1方差、标准差（见P40页） 4.2.1方差、标准差与保险 P42页例4-4、5、6 4.3矩，矩母函数（略）4.4条件均值、条件方差与偏度 4.4.1条件分布 1、离散型随机变量的条件分布 设（X，Y）是二维离散型随机变量，其联合概率分布为 P(X=xi,Y=yi)=pij (i,j=1,2,)。,在给定Y=yj下X的条件分布为
23、：其中：i=1,2,；p.j0是Y的边缘分布。 在给定X=xi下Y的条件分布为：其中：j=1,2,；pi. 0是X的边缘分布。,2、连续型随机变量的条件分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，边缘密度函数分别为f1(x)和f2(y)，则称上式为在给定Y的某一值y的条件下，X的条件密度函数。进而其对应的条件分布函数为类似地，另一条件密度函数为,4.4.2条件均值（P50页） 在给定另一随机变量Y等于y的条件下，随机变量X的条件分布为：（离散型）（连续型） 条件均值具有一般均值的性质，如：另一重要性质：条件均值的均值就是（无条件）均值。即，X的期望值（即X的无条件均值）等于在给定Y的条件下，X的条件均值在变量Y所有可能取值的期望值，公式表示为：,或表示为以上公式的应用： 如果直接求X的均值比较困难时，可以先限定某变量Y的值后，算出E(X|Y=y)，再借助Y的分布求出X的均值； 如果将X的均值看成是总的平均，E(X|Y=y)则看成是分组平均，那么总平均等于分组平均的加权平均。 参见P51页例4-13,4.4.3条件方差（P52页） X的条件方差的计算公式与普通的方程公式类似，（ 当X为连续型变量时，其公式同理。）可以证明，X的无条件方差与以Y为条件的X的条件方差之间的关系为：参见P52页例4-14,4.5常用的理论概率分布 参见P54页本章结束！,
