第五讲 二次函数的实际应用.doc

1、第五讲 二次函数的实际应用【知识速览】1实际问题中函数解析式的求法设 为自变量， 为 的函数，在求解析式时，一般与解应用题列方程一样，先列出关于xyx变量 ， 的二元方程，再用含 的代数式表示 ，最后还要写出自变量 的取值范围.yx2利用函数知识解应用题的一般步骤（1）设定实际问题中的变量；（2）建立变量与变量之间的函数关系式，如一次函数、二次函数或其他复合而成的函数式；（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）解答函数问题，如最值等；（5）写出答案 2.与二次函数有关的实际问题大概有以下几种类型：图形问题、销售利润问题、抛物线形建筑物问题等【典型例题】例 1. 某商品现在的售

2、价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？（考查应用二次函数解决销售利润问题）例 2. 恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地上市时，外商李经理按市场价格 10 元/千克在我州收购了 2000 千克香菇存放入冷库中据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨 0.5 元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 340 元，而且香菇在冷库中最多保存 110 天，同时，平均每天有 6 千克的香菇损坏不

3、能出售（1）若存放 x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y 元，试写出 y与 x 之间的函数关系式（2）李经理想获得利润 22500 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？（考查应用二次函数解决销售利润问题）例 3.现有 60 米长的篱笆，准备围成一个如图所示的养鸡场，为了节省篱笆，养鸡场一面可以用墙来替代，另一面的篱笆与墙平行，中间再用篱笆分开.设与墙平行的一边长为 x 米，养鸡场的总面积为 y 平方米.（1）求出 y 关于 x 的函数解析式；（2）x 取多少时，养

4、鸡场的总面积最大？最大是多少？（考查利用二次函数解决图形问题）例 4.在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm/秒的速度移动，同时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/秒的速度移动.如果 P、Q 两点在分别到达 B、C 两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，PBQ 的面积等于 8cm2；（2）设运动开始后第 t 秒时，五边形 APQCD 的面积为 Scm2，CDQBPA写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；t 为何值时 S 最小？求出 S 的最小值.（考查利用二次函数

5、解决图形问题）例 5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部宽为 4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4m，若该车要想通过此门，则装货后的最大高度为多少？例 6. 如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m.（1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）（2）当 h=2

6、.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围.【考点速练】1.如图，等腰 RtABC 的直角边 AB2，点 P、Q 分别从 A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点 P 沿射线 AB 运动，点 Q 沿边 BC 的延长线运动，PQ 与直线相交于点 D.(1)设 AP 的长为 x，PCQ 的面积为 S，求出 S 关于 x 的函数关系式；(2)当 AP 的长为何值时，S PCQ= SABC 2.某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价 y（元/千克）与采购量 x（千克）之间的函数关系图象如图中折线

7、 AB-BC-CD 所示（不包括端点A）（1）当 100x200 时，直接写 y 与 x 之间的函数关系式： （2）蔬菜的种植成本为 2 元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过 200 千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418 元的利润？3.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价 M（元）与时间 t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图 1） ，每件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）的关系可用一条抛

8、物线的一部分上的点来表示（如图 2） （说明：图 1，图 2 中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本 ）请你根据图象提供的信息回答：（1）每件商品在 3 月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？（2）求图 2 中表示的每件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围） ；（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润 W（元）与时间 t（月）之间的函数关系式吗（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）？若该公司共有此种商品 30000 件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？4.如图，有一抛物线拱桥，已知水位在 AB 位

9、置时，水面的宽为 米；水位上升 4 米，就达64到警戒线 CD，这时的水面宽为 米.若洪水到来时，水位以每时 0.5 米速度上升，求水过警34戒线后几小时淹到拱桥顶端 M 处？【拓展提高】1.如图 1，RtPMN 中，P90，PMPN，MN8cm，矩形 ABCD 的长和宽分别为 8cm 和2cm，C 点和 M 点重合，BC 和 MN 在一条直线上.令 RtPMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线向右以每秒 1cm 的速度移动（如图 2） ，直到 C 点与 N 点重合为止.设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与PMN 重叠部分的面积为 y .求 y 与 x 之间的函数关系式.cmxNDMC

10、BAyO40030060 70y(件 )x(元 )2. 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力 y 随时间 t 的变化规律有如下关系（1）讲课开始后第 5 分钟与讲课开始第 25 分钟比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学题，需要讲解 24 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到 180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【课

11、堂检测】1.某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件 70 元，试销中销售量 （件）与销售单价 （元）的关系可以近似的看作一次函yx数（如图） （1）求 与 之间的函数关系式；yx（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额 总成本）为 P 元，求 P 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；根据题意判断：当 x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？2410()2738(4)ttytt2.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的 A 处安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为 0.8 m水流在各个方

12、向上沿形状相同的抛物线路径落下，根据设计图纸已知：图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是 . 542xy喷出的水流距水平面的最大高度是多少？如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ 3某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间的关系（即前 x 个月的利润之和 y 与 x 之间的关系） （1）根据图上信息，求累积利润 y（万元）与销售时间 x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润

13、可达到 30 万元？（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？【课后作业】1.“健益”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以 30 元/千克销售，那么每天可售出400 千克由销售经验知，每天销售量 (千克)与销售单价 (元)( ）存在如下图所yx30示的一次函数关系式试求出 与 的函数关系式；yx设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 的范围(直接写出答案)x2.某公司营销 A、

14、B 两种产品，根据市场调研，发现 如下信息：信息 1：销售 A 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx在 x=1 时，y=1.4；当 x=3 时，y=3.6信息 2：销售 B 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x.根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？3.为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt 内修建矩形水池 ，使顶点 在

15、斜边 上， 分别在直角边ABCDEFGE、ABGF、上；又分别以 为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分） ，、 ACB、两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中 ， .设 米，、32460CxEF米.yDE（1）求 与 之间的函数解析式；yx（2）当 为何值时，矩形 的面积最大？最大面积是多少？DEFG（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 为何值时，矩形 的面积等 于两弯xDEFG新月面积的 ？1第六讲 二次函数与几何图形的综合专题【知识速览】二次函数与几何综合专题大概涉及以下几方面：（1）求面积最值；（2）求周长最小值；（3）与直角三角形结合；（4）与等腰三角形结合；（

16、5）与平行四边形结合；（6）与圆结合；（7）与相似三角形结合等.本节课主要研究前五种问题.【典型例题】例 1. 已知抛物线 yax2bxc 经过 A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；(3)在直线 l 上是否存在点 M，使 MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由 （二次函数中求周长最小问题、二次函数与等腰三角形结合）例 2.如图，已知抛物线经过点 A（1，0） 、B （3， 0） 、C（0，3）三点（1

17、）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于 N，若点 M的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使BNC 的面积最大？若存在，求 m的值；若不存在，说明理由 （利用二次函数求面积最大值问题）例 3.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，xoy2yx得到抛物线 .所得抛物线与 轴交于 两点（点 在点 的左边） ，与 轴交2()yxhkAB、 By于点 ，顶点为 .CD（1）求 的值；k、（2）判断 的形状，并说明理由；A

18、例 4.已知二次函数图象顶点为 C（1，0） ，直线 y=x+m 与该二次函数交于 A，B 两点，其中A 点（3，4） ，B 点在 y 轴上.（1）求 m 值及这个二次函数关系式；（2）P 为线段 AB 上一动点（P 不与 A，B 重合） ，过 P 做 x 轴垂线与二次函数交于点 E，设线段 PE 长为 h，点 P 横坐标为 x，求 h 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 取值范围；（3）D 为线段 AB 与二次函数对称轴的交点，在 AB 上是否存在一点 P，使四边形 DCEP 为平行四边形？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在,请说明理由.（二次函数与平行四边形结合）【考点速练】1如

19、图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标DY ACEPB2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，3） ，点 P 是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t（1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式（2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM ，当线段 PM 最长时，求ABM 的面积（3）是否存在这样的点 P

20、，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由3.如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由4.已知：如图一次函数 y x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数2y x 2bx c 的图象与一次函数 y x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于

21、D、E 两1 2点且 D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由【课堂检测】1.如图，已知抛物线 的顶点坐标为 Q ，且与 轴交于点 C)0(2acbxy 1,2y，与 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧） ，点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛3,0x物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合） ，过点 P 作 PD 轴，交 AC 于点 Dy(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP 是直角三角形时，求点

22、 P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点 E 在 轴上，点 F 在抛物线上，x问是否存在以 A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由2.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（1 ，0） ，如图所示：抛物线 y=ax2+ax2 经过点 B（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；OAByCxD E2（1 题图）（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【课

23、后作业】1.如图，抛物线 y=x22 x+c 的顶点 A 在直线 l： y=x5 上（1）求抛物线顶点 A 的坐标；（2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、 D（ C 点在 D 点的左侧） ，试判断 ABD 的形状；（3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、 A、 B、 D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2.如图 14，已知点 O(0，0)，A(5，0)，B(2，1)，抛物线 (h 为常数)与1(2hxyl：y 轴的交点为 C.(1) 经过点 B，求它的解析式，并写出此时 的对称轴及顶点坐标；l l(2)设点 C 的纵坐标为

24、，求 的最大值，此时 上有两点 ， ，其中Cy 1yx， 2，比较 与 的大小；021x12(3)当线段 OA 被 只分为两部分，且这两部分的比是 1：4 时，求 h 的值.l3如图，已知抛物线 y=ax2+c 过点（2，2） ， （4，5） ，过定点 F（0，2）的直线 l：y=kx+2与抛物线交于 A、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 C （1）求抛物线的解析式；（2）当点 B 在抛物线上运动时，判断线段 BF 与 BC 的数量关系（、=） ，并证明你的判断；（3）P 为 y 轴上一点，以 B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m） ，求自然数 m 的值；（4）若 k=1，在直线 l 下方的抛物线上是否存在点 Q，使得QBF 的面积最大？若存在，求出点 Q 的坐标及QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由