1、 1 / 10同步课程导数的概念及其几何意义1 函数的概念？设 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在AB、 fAx集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数记(fx、 :ABB作： 其中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的(,yfx、 x值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域(fA、2 判断函数的单调性有哪几种方法？定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减”等.一、导数的概念1函数的平均变化率：一般地，已知函数 ， ， 是其定义域内不同的两点，记 ，()yfx01 10x，10y1(
2、f 0)(xf则当 时，商 称作函数 在区间 （或x00)(fy()yfx0,）的平均变化率00,注：这里 ， 可为正值，也可为负值但 ， 可以为 yx2函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应的改变()yfx0 0xx0(f如果当 趋近于 时，平均变化率 趋近于一个常数 （也就是说平均00()(ffyxxl变化率与某个常数 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数） ，那么常数 称为函数l在点 的瞬时变化率()fx0“当 趋近于零时， 趋近于常数 ”可以用符号 “ ”记作：00()(fxfxl“当 时， ”，或记作“ ”，符号“ ”读作
3、x00fflx00()(limxfxfl“趋近于”函数在 的瞬时变化率，通常称为 在 处的导数，并记作 0x()f0x0()fx导数的概念及其几何意义知识讲解知识回顾2 / 10同步课程导数的概念及其几何意义这时又称 在 处是可导的于是上述变化过程，可以记作()fx0“当 时， ”或“ ”000)()xffx000()(lim()xfxffx3可导与导函数：如果 在开区间 内每一点都是可导的，则称 在区间 可导这样，对开区()fx(,)ab()fx(,)ab间 内每个值 ，都对应一个确定的导数 于是，在区间 内， 构成一个新的(,ab ()f ()fx函数，我们把这 个函数称为函数 的导函数记
4、为 或 （或 ） ()yfx()fxyx导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数二、导数的几何意义1.导数的几何意义：设函数 的图象如图所示 为过点 与()yfxAB0(,)xf的一条割线由此割线的斜率是00(,Bx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变)(ffx化率当点 沿曲线趋近于点 时，割线 绕点 转动，它的ABA最终位置为直线 ，这条直线 叫做此曲线过点 的切线，即 切线D 00()(limxfxf的斜率A由导数意义可知，曲线 过点 的切线的斜率等于 ()yfx0(,)fx0()f2.求曲线的切线方程若曲线 在点 及其附近有意义，给横坐标 一个增量 ，
5、相应的纵坐标也有一()yfx0(,)P0xA个增量 ，对应的点 .则 为曲线 的割线.当0fxA 0(,)QxyAPQ()yf时 ,如果割线 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，xQ此时割线 的斜率 就趋近于切线的斜率.PyxA切线的方程为 .00()kx0xyxODCBA3 / 10同步课程导数的概念及其几何意义题型一、导数的概念【例 1】 如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，()fxABC， ， (04)2(64)， ， ， ， ，则 ；函数 在 处的导数 (0f()fx1(1)f 12 3 4 654321BCAOyx【例 2】 求函数 在 到 之间
6、的平均变化率2yx0【例 3】 求函数 在 附近的平均变化率，在 处的瞬时变化率与导数2()fx1x1x【例 4】 求 在 处的导数yx04 / 10同步课程导数的概念及其几何意义题型二、导数的几何意义【例 5】 已知曲线 上一点 ，用斜率定义求：1yx(2)A，1 过点 A 的切线的斜率；2 过点 A 的切线方程【例 6】 函数 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）()fx Oyx321A B0()(3)2fff0(3)(2)fff C D 3【例 7】 求函数 的图象上过点 的切线方程()afx(0)A2(1)a，5 / 10同步课程导数的概念及其几何意义题型三、综合问题【例 8】
7、已知直线 ykx1 与曲线 yx 3axb 切于点(1,3)，则 b 的值为( )A3 B3C5 D5【例 9】 曲线 y 在点( 1，1)处的切线方程为( )xx 2Ay2x1 By2x1Cy 2x3 Dy2x2【例 10】 设曲线 yax 2 在点(1 ，a)处的切线与直线2xy60 平行，则 a( )A1 B.12C D112【例 11】 若函数 f(x) x3 f(1)x2f (2)x5，则曲线 f(x)在点(0，f(0) 处的切线 l 的方程为13 12_【例 12】 已知 f1(x)sinxcosx，记 f2(x)f 1(x)，f 3(x)f 2(x)，f n(x)f n1 (x)
8、(nN *，n2)，则f1( )f 2( )f 2 012( )_.2 2 2【例 13】 曲线 C：f (x)sin xe x2 在 x0 处的切线方程为_6 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【例 14】 已知直线 ykx 与曲线 yln x 有公共点，则 k 的最大值为_【例 15】 设 P 为曲线 C：yx 2x1 上一点，曲线 C 在点 P处的切线的斜率的范围是1,3 ，则点 P 纵坐标的取值范围是 _【例 16】 曲线 C：f (x)sin xe x2 在 x0 处的切线方程为_【例 17】 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）4yxl480xylA B C D
9、3053xy430xy【例 18】 若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 等于（ ）(1)， 3yx21594aaA 或 B 或 C 或 D 或25641472674【例 19】 已知函数 的图象在 点处的切线方程为 ，又 点的横坐标为2()5gxfxP8yxP，则 _5f【例 20】 曲线 在点 处的切线方程是_324yxx(13)，曲线 过点 的切线方程是_，【例 21】 已知曲线 ，则过点 的切线方程是_314yx(24)P，【例 22】 已知曲线 ： 及点 ，则过点 可向 引切线的条数为_s3()， Ps【例 23】 曲线 和 在它们的交点处的两条切线与 轴所围成的三角形的面积是_
10、1yx2 x【例 24】 偶函数 f(x)ax 4bx 3cx 2dxe 的图象过点 P(0,1)，且在 x1 处的切线方程为yx2，求 yf (x)的解析式7 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【例 25】 设有抛物线 C：yx 2 x4，通过原点 O 作 C 的切线 ykx，使切点 P 在第一象限92(1)求 k 的值；(2)过点 P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标【例 26】 已知曲线 在点 处的切线 平行直线 ，且点 在第三象限，32yx0P1l410xy0P1 求 的坐标；0P若直线 ，且 也过切点 ，求直线 的方程1ll0l【例 27】 已知函数 的图象过点
11、 ，且在点 处的切线方程32()cfxbxd(02)P， (1)Mf，为 求函数 的解析式670xy()yf8 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【例 28】 已知直线 为曲线 在点 处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 ，1l2yx(10)， 2l 12l（1）求直线 的方程；2l（2）求由直线 、 和 轴所围成的三角形的面积1x【练 1】 函数 在闭区间 内的平均变化率为（ ）2()1fx1x，A B C D232x42x【练 2】 曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）324yx(13)，A B C D0560120【练 3】 过点 作曲线 的切线，则切线方程为_(1)， 3yx【练
12、4】 已知函数 若函数 的图象过原点，且在原32()(1)()faxb()aR， ()fx点处的切线斜率是 ，求 ， 的值随堂练习9 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【练 5】 已知曲线 ： ，求曲线 上横坐标为 的点的切线方程C43294yxxC1【练 6】 已知曲线 y x21 与 y1x 3 在 xx 0 处的切线互相垂直，求 x0 的值1610 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【题 1】 若函数 ，则当 时，函数的瞬时变化率为（ ）2()fx1xA1 B C2 D 2【题 2】 已知曲线 上一点 ，用斜率定义求：yx52A，1 过点 的切线的斜率； 过点 的切线方程【题 3】 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ()bfxa()yfx(2)f， 74120xy求 的解析式；y证明：曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积()fx0xyx为定值，并求此定值课后作业
