1、1初等几何研究试题答案（I）一、线段与角的相等1. O 1、O 2相交于 A、B,O 1的弦 BC 交O 2于 E,O2 的弦 BD 交O 1于 F,求证: （1）若DBA=CBA,则 DF=CE; (2) 若 DF=CE,则DBA=CBA. ABCE FO1 O2证明:(1)连接 AC、AE、AF、AD在O 1中,由CBA=DBA 得 AC=AF在O 2中,由CBA=DBA 得 AE=AD由 A、C、B、E 四点共圆得1=2由 A、D、B、E 四点共圆得3=4所以ACEAFDDF=CE(2)由（1）得1=2,3=4DF=CEACEAFD2AD=AE在O 2中,由 AD=AE 可得DBA=CB
2、A2. 在ABC 中,AC=BC,ACB=90 O ,D 是 AC 上的一点,AEBD 的延长线于 E,又 AE= BD,12求证:BD 平分ABC.A BCDEF证明:延长 AE,BC 交于点 FEDBC90 ADEC A BFF11E22BDAC又又又 平 分即 平 分3. 已知在凸五边形 ABCDE 中,BAE=3 ,BC=CD=DE,且BCD=CDE=1802 ,3求证:BAC=CAD=DAE. ABC DE证明:连接 BD,得 CBD 是等腰三角形且底角是CDB=180(1802 )2= .BDE=(1802 )- =1803A、B、D、E 共圆同理 A、C、D、E 共圆BAC=CA
3、D=DAE4. 设 H 为锐角ABC 的垂心,若 AH 等于外接圆的半径.求证:BAC=60 AB CHD证明:过点 B 作 BDBC,交圆周于点 D,连结 CD、ADDBC=90, CD 是直径,则CAD=90C4由题,可得 AHBC, BHACBDAH, ADBH 四边形 ADBH 是 AH=BD又AH 等于外接圆的半径(R) BD=R,而 CD=2R 在 RtBCD 中,CD=2BD,即BCD=30BDC=60又BAC=BDC BAC=BDC=605. 在ABC 中,C=90 o,BE 是B 的平分线,CD 是斜边上的高,过BE、CD 之交点 O 且平行于 AB 的直线分别交 AC、BC
4、 于 F、G,求证AF=CE.CEABDFGO123456证明:如图13,1=2.2=3,GB = GO, 5=4=6,CO =CE, FGAB,AFCF=BGCG=GOCG,又FCOCOG,COCF=GOCG=AFCF,CO=AF,CO=CE,AF=CE. 56. 在ABC 中,先作角 A、B 的平分线,再从点 C 作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点 D、E,若 DEBA,求证:ABC 等腰.CA BDE证:如图所示设 AC、ED 的交点为 FAD 是A 的平分线 1=2DEAB 1=3CEAD 3=5, 4=21=2=3=4=5则FAD 和FCE 是等腰三角形AF=DF,EF=CF
5、AC=DE同理可证 BC=DEAC=BCABC 是等腰三角形67. 三条中线把ABC 分成 6 个三角形,若这六个三角形的内切圆中有 4 个相等.求证:ABC 是正三角形r rOF EDB CAHIG L KJ证明:AOF、AOE、COD、COE、BOF、BOD 面积都相等S OFB =SOEC即: BFr+ FOr+ BOr= CEr+ OEr+ OCr212121(BF+FO+BO)r= (CE+OE+OC)r22BF+FO+BO=CCE+OE+OCCE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ2DH+2BH=2FK+2CK2BF=2CE7又 F、E 分别为 AB、AC 之中点
6、AB=AC同理:AB=BC故ABC 是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.ABDCEFIHGO证明:又AOB、BOC 、COD、DOA 四个三角形的面积相等1122ODCrOBrCEGIOG22DFCBH四边形为菱形89. 凸四边形被对角线分成 4 个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 .ABDCPNO1O2OO3O4MQ证明:连结 O1 、O 2,分别作 O1 、O 2 到 AC 的垂线,垂足分别为 P 、M在ABC 中,BO 是O 1 、O 2的公切线BOO 1 O2又O 1 、O 2半径相同,且都与 AC 相切O 1
7、O2ACBOAC BDAC两个相等的内切圆O 1 、O 3在对顶三角形AOB 与COD 中周长 CAOB =CCODAO+BO+AB=CO+DO+CD又OP=OQ=OM=ON（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)2AB=2CDAB=CD同理 AD=BC9四边形 ABCD 是平行四边形又ACBD四边形 ABCD 是菱形10. 在锐角ABC 中,BD,CE 是两高,并自 B 作 BFDE 于 F,自 C 作CG DE 于 G,证明:EF=DG.MGOFEDCBA证明:设 O,M 分别是 BC,FG 的中点,所以 OMBF,因为 BFFG, 所以 OMFG,又因为
8、BEC=BDC= 90所以 BCDE 四点在以 BC 为直径的圆上,因为 OMDE,所以 OM 平分 ED,所以 FM-EM=MG-MD即 EF=DG.1011. ABC 中,M 是 BC 的中点,I 是内心,BC 与内切圆相切与 K.求证:直线 IM 平分线段 AK.IOMLKHGFEDCBA证明:作出A 的旁切圆 O,设它与 BC 边和 AB,BC 的延长线分别切于 D,E,F,（如图）连接 AD 交内接圆于 L,则因内接圆和旁切圆以 A 为中点成位似,则:ILBC,即 K,I,L 共线于是原题借中位线可如下转化 MI 平分 AK,M 平分 DKBD=KC后者利用圆 I 与圆 O 两条外公
9、切线相等EG=FHBD+BK=CD+CK11则反推过去,得到 IM 平分线段 AK.12在ABC 中,M 是 BC 的中点,I 是内心 ,AHBC 于 H,AH 交 MI于 E,求证:AE 与内切圆半径相等. ELKM HGF IB CA证明:如图所示作ABC 的内切圆 ,切点分别交于 BC 于点 K、AB 于点 F、AC 于点 G,连接KL 与 AC KL 是直径,又M 为 BC 的中点,I 为内心,则 AL又AHBCAHLK 又点 E 点 I 分别都在 AH、LK 上AELI四边形 AEIL 为平行四边形AELI命题得证.1213. 在矩形 ABCD 中,M 是 AD 的中点,N 是 BC
10、 的中点,在 CD 的延长线取 P 点,记 Q 为 PM 与 AC 的交点,求证: QNMMNPAB CDMNPQ OR证明:利用矩形的中心 设 O 是矩形 ABCD 的中心,则 O 也是 MN 的中点,延长 QN 交 OC 的延长线于 R,如图,则 O 又是 PR 的中点,故 NC 平分PNR.,而 NMNG.NM 平分PNQ14. 给定以 O 为顶点的角,以及与此角两边相切于 A、B 的圆周,过 A作 OB 的平行线交圆于 C,连结 OC 交圆于 E,直线 AE 交 OB 于 K,求证:OK=KB.13ABCDEKO证明:如图所示,过 C 作圆的切线交 OB 延长线于 D.OD,OA,CD
11、 都是圆的切线,且 ACCD四边形 ACDO 是等腰梯形,DOA=DBOC=ACO,ACO=OAK BOC=OAKDOA=D AOKODC 21ODC21AK OA=OB OB=OA=2KO,即 OK=KB15. 在等腰直角ABC 的两直角边 CA,CB 上取点 D、E 使 CD=CE,从 C、D 引 AE 得垂线,并延长它们分别交 AB 于 K、L, 求证:KL=KB.AVBV LVKVBVEVBV HBVEVBVDVBVCVVBVBVBV14证明:延长 AC 至 E使 CE=CE,再连 BE交 AE 的延长线于 H.ABC是等腰直角三角形AC=BC ,ACB=BCE=90又CE=CE BC
12、EACECAE=CBE AEC=BEH BHEACEBHE=ACB=90 DLCKEB 及 DC=CE KL=LB.16. 点 M 在四边形 ABCD 内,使得 ABMD 为平行四边形,试证:若CBM= CDM,则ACD=BCM.A BCD MN1234567证:作 ANBC 且 AN=BC,连接 DN、NCABMD 为平行四边形,ANBC 且 AN=BCABCN、 DMCN 为平行四边形,AD=BMDN=CM、AN=BCADNBMC151=3, 2= 4, 6=71=23=4A、C、N、D 共圆（视角相等）5=7（同弧 AD）5=6 即ACD=BCM17.已知ABC=ACD=60,且ADB=
13、90- BDC,求证:ABC 是等21腰的. ABCDF证明:延长 CD 使得 BDDE,并连结 AEADB90 BDC212ADBBDC180又BDCADBADE180ADBADE又BDDE,ADADADBADEABDAED60,ABAE16又ACD60ACE 为正三角形ACAEABACABC 为等腰三角形18.O 1、O 2半径皆为 r,O 1平行四边形过的二顶 A、B,O 2过顶点 B、C,M 是O 1、O 2的另一交点,求证AMD 的外接圆半径也是r.21OEMDBOOCA证明: 设 O 为 MB 的终点连接 CO 并延长O 1于 E则由对称知 O 为 CE 的中点O 平分 MBO 平
14、分 CEMEBC 是平行四边形17MEBCADMEAD 亦是平行四边形MAEAMDAMD 的外接圆半径也为 r19. 在凸五边形 ABCDE 中,有ABC=ADE ,AEC=ADB, 求证:BAC =DAE.D CBEAF 证明:连接 BD,CE,设它们相交于 F,如图,AEC=ADB.A,E,D,F 四点共圆.DAE=DFE.又ABC=ADE=AFE.A,B,C,F 四点共圆.BAC=BFC.又DFE=BFC.BAC=DAE.1820. 在锐角ABC 中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C 处的两切线分别交 B 处的切线于 M、N,设 BD 是ABC 的高（D 为垂足）,求证:BD 平分MDN
15、. ABCDMMNNm n证明:如上图,m、n 分别表示过 M、N 的切线长,再自 M 作 MMAC于 M, 作 NNAC 于 N,则有NBNCNMAMNCNAM/CN=AM/CN=m/n又MMBD NNMD/DN=MB/BN=m/n由等比性质知m/n=(MDAM)/(DN-CN)=AD/DCADMCDNDM/DN=m/n 即 DM/m=DN/n19BD 平分MDN21.已知:AD、BE、CF 是ABC 的三条高.求证:DA 、EB 、FC 是DEF 的三条角平分线. AB CDEF证明:连结 DF、FE、DEC FAB ADBCB、D、H、F 共圆13ADBC BEACB、D、E、A 共圆2
16、=32=1AD 平分EDF同理,CF 平分EFD BE 平分FED即证:DA、EB、FC 是DEF 的三条角平分线2022.已知 AD 是ABC 的高,P 是 AD 上任意一点,连结 BP-CP,延长交AC、 AB 于 E、F,证 DA 平分EDF.B CADEFIJP证:过 E、F 两点分别作 EH、FG,使 EHBC,FGBC, 且交 CF、BE于 I、 JEH BC,ADBC,FGBCEH AD FG = = EIHAPDFJGJEIH又 EIPJFP EHDFGDPJFIDFJ=DEI FDB=EDC即ADF=ADE即 DA 平分EDF23.圆内三条弦 PP1、QQ 1、RR 1、两两
17、相交,PP 1 与 QQ1 交于 B,QQ121与 RR1 交于 C,RR1 与 PP1 交于 A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP1=CQ1,求证:ABC 是正三角形 .P P1Q1R1 QRA BC解:设 AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1,则由相交弦定理得m(c+n)=n(b+m)m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m)即 ma=ncmb=namc=nb三式相加得 m=n所以 a=b=c 即ABC 是正三角形24.H 为 ABC 的垂心 ,D、E 、F 分别为 BC、CA、AB 的中点,一个以H 为心的圆交 DE 于 P、Q,交 EF 于 R、S, 交 FD
18、 于 T、V.求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU22B CHDEF RST QKCAB证明:连结 AS、AR、 RH由相交弦定理知:AHHA=BHHB=CHHCAS2=AR2=AK2+KR2设 H 的半径为 r,在 KRH 中,KR 2=r2-HK2AS2=r2+（AK+KH ）（AK-HK ）=r2+AH(AK-HK)在 ABC 中,F、E 为 AB、AC 的中点,且 AA BC AK=KAAS2=AR2=r2+AHHA同理:BT 2=BU2=r2+BHHBCP2=CQ2=r2+CHHCA2325、在锐角三角形 ABC 中,AD 、BE、CF 是各边上的高,P、Q 分别在线段 DF、
19、EF 上,且 PAQ 与DAC 同向相等.求证:AP 平分 FPQRFDEAB CPQ证明:作出APQ 的外接圆,延长 PF 交圆于 R,分别连结 RA、RQ由图可知,AQPR 内接于圆PRQ=PAQ=DAC= DFE21由外角定理得,PRQ+FQR=DFEFCRQAFRQ FR=FQAF 垂直平分 RQARQ=AQR又 AQPR 内接于圆APQ=ARQ APR=AQRAPQ=APRAP 平分FPQ240000 9)2()1( ,45,3,5.26 BACACQPRPQBR ARQR求 证 ： 之 外 ， 且在、是 任 意 三 角 形 ，PC BQ RAS2500000 009153)2(45364511BACARQBAQRQSPPSACBARBSRQASPCCQPASAPSQCQPABRSAQRSPAQRS又同 理 ，即又）（ 如 图 所 示，连 结 ，的 另 一 侧 作 正为 一 边 在证 明 ： 以27已知:凹四边形 ABCD 中, .求证:AC=BD.45DA BDCEF26证明: 如图,延长 DC 交 AB 于点 E,延长 BC 交 AD 于点 F. 45DA且,E90又 B45CDBAES
