1、第三章 稳态导热,通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热,本节将重点针对一维、稳态、常物性、无内热源情况讨论。 直角坐标系：,1 单层平壁的导热,a 几何条件：单层平板；L,b 物理条件：、c、k 已知；无内热源,c 时间条件：,d 边界条件：第一类,x,根据上面的条件可得：,第一类边条：,控制 方程,边界条件,直接积分，得：,带入边界条件：,带入Fourier 定律,热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况,线性分布,2 、热阻的含义 热量传递是自然界的一种转换过程 , 与自然界的其他转换过程类同 , 如 : 电量的转换 , 动量、质量等的转换。其共同规律可表示为 :过程中的转换量
2、= 过程中的动力 / 过程中的阻力。,在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即,在平板导热中，与之相对应的表达式可改写为,这种形式有助于更清楚地理解式中各项的物理意义。 式中：热流量为导热过程的转移量；温压 为转移过程的动力；分母 为转移过程的阻力。,由此引出热阻的概念： 1 ）热阻定义：热转移过程的阻力称为热阻。 2 ）热阻分类：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：导热阻、辐射热阻、对流热阻等。 对平板导热而言又分： 面积热阻 r ：单位面积的导热热阻称面积热阻。 热阻 R ：整个平板导热热阻称热阻。,3 ）热阻的特点： 串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热
3、流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。,3 多层平壁的导热,多层平壁：由几层不同材料组成,例：房屋的墙壁 白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成,假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等,k1,k2,k3,L1,L2,L3,q,Rt1,Rt2,Rt3,T,边界条件：,热阻：,l为各层厚度，即li=Li+1-Li,由热阻分析法：,问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？,第一层：,第二层：,第 i 层：,对流热阻,多层、第三类边条,例题： 已知某N层串联复合平壁的稳态导热问题可近似为一维导热处理。平壁的左侧分别与80的热流体换热，对流换
4、热系数分别为4W/m2K，右侧与20的冷流体换热，对流换热系数分别为2W/m2K。组成复合平壁的各层厚度均为1m。垂直导热方向的面积为4m2，以左侧为第一块平壁，热导率由k(i)（1iN）表示，且k(1)=1W/mK，k(i+1)=2k(i)，忽略辐射换热和各层平壁交界面处的接触热阻。 （1）当N=3时，请画出等效热网络图，并标明各部分热阻。 （2）试用N表示通过复合平壁的热流密度和导热速率。 （3）N=10时，计算第5、6层平壁交界面处的温度。,分析： 按题意，一维、稳态、平壁导热问题，第三类边界条件； 已知平壁相关尺寸、热导率；流体温度及对流换热系数；,（1）当N=3时，请画出等效热网络图
5、，并标明各部分热阻。,各热阻：,（2）试用N表示通过复合平壁的热流密度和导热速率。,平壁总热阻：,k(1)=1W/mK，k(i+1)=2k(i)，因此,导热速率为：,热流密度为：,（3）N=10时，计算第5、6层平壁交界面处的温度。,N=10时，导热速率为：,从热流体到第5、6层交界面处，总热阻为：,由于第5、6层平壁交界面处的温度可以表示为：,因此，第5、6层平壁交界面处的温度为：,如果还需要考虑与周围环境的辐射换热？,1、辐射热阻和对流热阻应为并联 2、若流体温度与墙壁温度相等，可以合并为一个热阻,并联的情况？,4 单层圆筒壁的导热,圆柱坐标系：,假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的
6、1/10，则此时可近似为沿半径方向的一维导热,T1,T2,T1,T2,Rt,q,一维、稳态、无内热源、常物性：,第一类边界条件：,(a),对上述方程(a)积分两次:,第一次积分,第二次积分,应用边界条件,获得两个系数,将系数带入第二次积分结果,显然，温度呈对数曲线分布,下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况,注意：虽然是稳态情况，但热流密度q与半径 r 成反比！,根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：,圆筒壁内温度分布：,圆筒壁内温度分布曲线的形状？,T1,T2,单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热,通过单位长度圆筒壁传热过程的 热阻 mK/W,T1,T2,Tf1,Tf2,T,q
7、,q,Tf1,T1,T2,Tf2,Rf1,Rf2,Rt,5 多层圆筒壁,由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算,通过单位长度圆筒壁的热流量,T1,T2,T3,T4,k1,k2,k3,T1,T2,T3,T4,q,Rt1,Rt2,Rt3,多层圆筒壁,6、通过球壳的导热,对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的导热，再球坐标系中也是一个一维导热问题。相应计算公式为：,温度分布：,热流量：,热阻：,推导过程？,6、通过球壳的导热,微分方程：,边界条件：,一维稳态、常物性、无内热源假定：,直接积分：,代入边界条件：,6、通过球壳的导热,热流量：,热阻：,7、径向系统的临界隔热层
8、厚度问题,增加径向系统的厚度，即隔热层厚度r增加： 1、导热热阻 2、对流热阻,存在临界隔热层厚度！,7、径向系统的临界隔热层厚度问题,对r求导，并使导数为0：,对r二次求导，验证极大值/极小值,为极小值,热损最大,7、径向系统的临界隔热层厚度问题,某些情况下，增加了隔热层，反而热损也增加了。,应用实例：细管，电线 电线的绝缘层外直径小于临界热绝缘直径时， 可起到散热作用,注意：只有在rircr时，才可能存在此情况,需要考虑临界热绝缘直径的场合：ri较小时, k较大时, h较小时,思考：平壁系统是否存在临界隔热层厚度问题？,8 其它变面积或变导热系数问题,求解导热问题的主要途径分两步： 求解导
9、热微分方程，获得温度场； 根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量；对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。,问题的核心：一维导热热流量在x方向为常数！,对于稳态、无内热源、一维导热问题，根据能量守恒，必然有,此时，一维Fourier定律：,当kk(T)时,且面积随x变化为A=A(x)时，,分离变量后积分，并注意到热流量q与x 无关(稳态)，得,当 k 随温度呈线性分布时，即k k0aT，则,实际上，不论 k如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将k换成平均导热系数。,例：可用傅里叶公式直接推导
10、球体导热问题,分离变量：,积分：,若热导率为常数，可直接得到：,若,9. 有内热源情况,研究对象：厚度为2l的墙壁，内热源强度为 ， 两边为第一（第三）类边界，中间为绝热边界（隐含条件）， 取墙壁的一半为研究对象建立导热微分方程常物性时导热微分方程组如下：,（1） 平壁,积分两次，得：,代入边界条件解出C1和C2,并代入导热微分方程，得到：,三类边界时具有内热源平壁的温度分布：,三类边界时具有内热源平壁的热流密度：,一类边界时具有内热源平壁的温度分布：,有内热源问题的通解,热流密度与x相关了，不再是常数。因此，热阻也不再适用！,（2） 径向系统（了解）,控制方程：,边界条件，第一/第三类：,隐
11、含条件,（2） 径向系统（了解）,控制方程，第一次积分：,第二次积分：,确定系数：,第一类边条,第三类边条,其他情况，球坐标系统等见课本附录C,例题： 某厚度为L的平壁稳态导热问题可近似为一维导热处理。 （1） 假定平壁左表面处于第一类边界条件，右表面处于第三类边界条件下，平壁内无内热源，请给出其导热微分方程及定解条件。物理符号自定。 （2） 假定该平壁存在内热源qv，其大小随x存在qv=px的函数关系，p为常数。假定平壁热导率为常数。请分析说明该平壁内x方向上温度分布呈现何种函数变化？ （3） 假定平壁左表面处于第一类边界条件，右表面与温度为50的冷流体进行对流换热，已知对流换热系数为1W/
12、m2K，平壁中单位体积的产热速率恒定，为qv=40W/m3，且平壁厚度L=1m，热导率为4W/mK。现通过实验测得平壁内x=0.7m处的温度最高，求左表面的温度。,分析： 按题意，一维、稳态、平壁导热问题,（1）导热微分方程及定解条件,导热微分方程（无内热源）：,定解条件：,第一类边界条件,第三类边界条件,（2）存在内热源、k为常数情况下，导热微分方程为,积分得：,即温度在x方向呈现三次函数关系,分析：,（3）内热源为常数，则温度分布为二次函数，通解为：,由平壁右侧处于第三类边界条件,同时题目给定了最大温度位置x=0.7m,解得C1、C2系数，得到温度为：,左表面温度为：,10. 通过接触面的
13、导热,实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触 给导热带来额外的热阻,当界面上的空隙中充满导热系 数远小于固体的气体时，接触 热阻的影响更突出, 接触热阻,当两固体壁具有温差时，接合 处的热传递机理为接触点间的 固体导热和间隙中的空气导热， 对流和辐射的影响一般不大,(Thermal contact resistance）,（1）当热流量不变时，接触热阻 Rt,c 较大时，必然在界面上产生较大温差,（2）当温差不变时，热流量必然随着接触热阻 Rt,c 的增大而下降,（3）即使接触热阻 Rt,c 不是很大，若热流量很大，界面
14、上的温差是不容忽视的,接触热阻的影响因素：,（1）固体表面的粗糙度,（3）接触面上的挤压压力,例：,（2）接触表面的硬度匹配,（4）空隙中的介质的性质,在实验研究与工程应用中，消除接触热阻很重要,导热姆（导热油、硅油）、银,先进的电子封装材料 （AIN），导热系数达400以上,通过扩展表面（肋片）的导热(了解),第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：,为了增加传热量，可以采取哪些措施?,（1）增加温差（Tf1 - Tf2），但受工艺条件限制,（2）减小热阻：,a) 金属壁一般很薄(L 很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略,b) 增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的,c) 增大换热面
15、积 A 也能增加传热量,通过扩展表面（肋片）的导热,一 基本概念 1 、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面 2 、常见肋片的结构：针肋 直肋 环肋 大套片,在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段,肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面,3 、肋片导热的作用及特点 1 ）作用：增大对流换热面积及辐射散热面 , 以强化换热 2 ）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热， 肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即： qconst 。 4 、分析肋片导热解决的问题 一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？ 二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？,1 通
16、过等截面直肋的导热,已知： 矩形直肋 肋基温度为Tb，且Tb t 肋片与环境的表面传热系数为 h. k，h和Ac均保持不变 求： 温度场 T 和热流量 q,分析：严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热源、常物性、第三类边条的导热问题。但由于三维问题比较复杂，故此，在忽略次要因素的基础上，将问题简化为一维问题。,简化：a. 宽度 w t and L 肋片长度方向温度均匀 b . k 大、t L，认为温度沿厚度方向均匀 边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热 求解：这个问题可以从两个方面入手：a 导热微分方程，b 能量守恒Fourier law,能量守恒：,Fourier 定律：,N
17、ewton冷却公式：,关于温度的二阶非齐次常微分方程,导热微分方程：,引入过余温度 。令,则有：,混合边界条件：,方程的通解为：,应用边界条件可得：,最后可得等截面内的温度分布：,双曲余弦函数,双曲正切函数,双曲正弦函数,稳态条件下肋片表面的散热量 = 通过肋基导入肋片的热量,肋端过余温度： 即 x L,当mL2.65时，可近似认为肋片无限长了,肋片性能 （1）肋片有效度（f）：肋片的传热速率与没有肋片时原有的传热速率比值。,（2）肋片有效度（f）应尽可能大，小于2则无实际应用价值。 （3）有效度的极限：无限长肋片 （4）有效度的热阻量化方式：肋片热阻 肋基热阻：,肋片性能-假定整个肋片表面都
18、处于肋基温度为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引进肋片效率,当L0时，效率1；L时，效率0；,m和L对肋片效率的影响分析：,b. L一定时，m越大，f越低,a. m一定时， L越大，q越大，但f越低,采用长肋可以提高散热量，但却使肋片散热有效性降低,可采用变截面肋片设法降低m,肋片的纵剖面积,影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 k 、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数 h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、L）,可见， 与参量 有关，可查关系曲线。这样，矩形直肋的散热量可以不用公式计算，而直接用图查出 ，散热量,3 肋端非绝热,解得,微分方程式,计算肋板效率时太复杂，一般采用简化计算的方
19、式。,3 肋端非绝热,将传热速率近似为,其中， 在当 时可近似成立。,4 通过环肋及三角形截面直肋的导热为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，后面分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。,5 组合肋片,肋片总效率：,总表面积：,总传热速率：,肋片总热阻：,二维稳态导热问题,一维导热模型难以适用于所有导热问题。,不存在内热源、稳态时的微分控制方程：,二维稳态导热问题分离变量法,t(x,y),引入：
20、,边界条件：,假定解的格式为：,控制方程：,代入,二维稳态导热问题分离变量法,解得：,令：,因此通解为：,代入相关边界条件：,二维稳态导热问题形状因子法、无量纲导热速率法,1、形状因子S m,热阻：,导热速率：,2、无量纲导热速率,物体表面积,二维稳态导热问题数值方法,1、一维、稳态、无内热源：平壁、圆柱、球 2、热阻的概念 3、多层平壁、圆柱壁 4、临界隔热半径：P75 例3.5，表3.3 5、变面积、变导热系数问题（一维导热的Fourier解法，P70） 5、一维、稳态、有内热源：平壁、（圆柱、球见课本P85-87） 6、接触热阻P62 7、扩展表面（肋片）导热问题 8、二维导热（课本第四章）,思考： 1.使用热阻概念, 对通过单层和多层平板, 圆筒和球壳壁面的一维导热问题的计算方法。 2.利用能量守恒定律和傅立叶定律推导等截面和变截面肋片的导热微分方程的基本方法。 3.肋效率的定义。 4.肋片内温度分布及肋片表面散热量的计算。 5.放置在环境空气中的有内热源物体一维导热问题的计算方法 6.什么是形状因子? 如何应用形状因子进行多维导热问题的计算?,作业：3.5，3.12，3.18，3.24，3.47,
