1、走下神坛的抽象代数,李尚志北京航空航天大学,2018/10/5,抽象代数课程教什么?考什么?,微积分,线性代数有计算,抽象代数没有? 既然叫抽象, 就是没有例子? 有证明。太难,课时不够, 删去! 还剩什么？死记硬背！ 九阴真经: 努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔 小学程度就可以背诵和考试! 谁是山寨版 ?,2018/10/5,抽象代数一定要从公理开始?,公理是什么? 许多不同东西的共同点. 公理化方法: 描述性(非构造性)定义 样板: 几何(欧几里德) - 代数(抽象代数) 群,环,域的公理内容: 1. 对加、减、乘、除的封闭性 2. 解释什么是加、减、乘、除 加法
2、：向量空间前4条公理 = 交换群的运算 乘法：结合律(群的公理)对加法的分配律(环的公理) Prof.zhang 教学法: 通过有招学无招无招胜有招: 案例公理案例,2018/10/5,案例1. 三阶幻方以一变多,旋转 轴对称共有多少个？ 按2的位置分4组.每组2个.24=8,正方形的对称群,2018/10/5,正多边形与正多面体,正三角形的对称群 三角形数谜一变多 23=6 S3 正方体的旋转群 38个顶点=24 46个面=24,2018/10/5,公理化: 群,子群,陪集分解,以正方体旋转群G为例. G按6个面1,6分组, 第 i 组 Gi =g|g1=i g,a在同一组 g1=a1 a-
3、1g1=1 a-1g G1gaG1. Gi= aG1. 由a 可逆得: h1h 2 ah1ah2 |Gi |=|G1|, i=1,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|. 推广: G 对除法封闭总可计算a-1g “同组” 等价性=G1含1, 对求逆,乘法封闭 群G分为子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|.,2018/10/5,案例2. 复数的几何与矩阵模型,i2 = -1 : 左转两番朝后方 平面向量v(-1)v,后转(180o) 记viv为左转(90o).则i2 = -1. 域同构: 复数平面线性变换矩阵i 左转变换i a+bi a1+bi ,2018/10/5,案例3. 平面
4、旋转群 R,旋转a :v(cosa)v+(sina)(iv) (cosa +isina)n = cosna +isinna(棣美弗公式)f: RR, a eia = cosa +isina f(a+b) = f(a)f(b) : (群同态) Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZR (群同构),2018/10/5,案例4. 单位根群,单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根. f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n 1,w,w2,wn-1 , w = cos(2p/n) +isin(2p/n) n阶循环群 w =1,w,w2,wn-1 f:Z w , k wk , f(k
5、+r) = f(k)f(r) Ker f = nZ Zn=Z/nZ w ,2018/10/5,案例5. xn -1 的因式分解,复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)(x-wn-1) 有理数范围: 以x15 -1为例 1,w,w2,w14在乘法群中的阶d|15 同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x) F1(x)=x-1. F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1. F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1 F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x) 分圆多项式 Fd(x),2018/10/5,有限域: 5最 PK 3最,1 抽象
6、代数最后一课 2 最难 3 最不应当考 1 最有用: 信息安全大显身手 2 最有味: 抽象代数味道 3 最易懂: 小学生可以懂! 4 最先讲: 可在第一课第一分钟! 5 最应当考:首选第一题!,2018/10/5,案例6.三阶幻方全推导,各行和= (1+9)/3=15 中心=(15445)/(4 1)=5 奇偶按角边: 第一行和=第一列和 : a1+a2+a3 a1+b1+c1a2 b1 边=奇: a1+a2+a3 1 a2 1 边=奇, 角=偶,2018/10/5,案例7. 奇与偶的算术 -二元域,曾肯成问题: 随机整数行列式等于奇数与偶数的概率. 奇偶数加减乘公式: 偶偶=偶,偶奇=奇,奇
7、奇=偶;整偶=偶,奇奇=奇. 用0,1表示: 00=0,01=1,11=0;a0=0,11=1. 二元域 Z2=0,1.注意1+1=0,a-b=a+b.,2018/10/5,D=ad-bc为奇数的概率 情况1. ad=1,bc=0 a=d=1,(b,c)=(0,0),(0,1),(1,0) 情况2. ad=0,bc=1 b=c=1,(a,d)=(0,0),(0,1),(1,0) 共6种可能,概率=6/16=3/8 D为偶数的概率=1-3/8=5/8,Z2上的2阶行列式,2018/10/5,GL(2,2):Z2上2维空间V共3个非零向量 v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1) 任何两个线
8、性无关 每个置换都是可逆线性变换 上述矩阵右乘分别得(1),(23),(12),(123),(13),(132). GL(2,2) S3,Z2上可逆矩阵群,2018/10/5,数域上的线性代数定理: detA=1A可逆行线性无关 茅台换矿泉:也适合于二元域 Z2 第1行:A10, 2n-1个选择 第2行:A2 lA1, 2n-2个选择 第k+1行:Ak+1 l1A1+lkAk, 2n-2k个选择 共有 (2n-1)(2n-22)(2n-2n-1)个 概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)(1-1/2),Z2 上n阶行列式,2018/10/5,案例分析：“假零”性质,ab,ab的奇偶性只与a
9、,b奇偶性有关: ab =(r+偶)(s+偶) (结合,交换）=(r s)+ (偶偶)= (r s)+ 偶 ab =(r+偶)(s+偶) （分配)=rs+(r偶+偶s+偶偶)=rs+偶 “假零”性质: O1.偶偶=偶 O2.整偶=偶 真零性质: 00=0,数0=0 只考虑奇偶性:可以将偶数当作0.,2018/10/5,公理化：环, 理想, 商环,环 D：对加、减、乘封闭 加、减、乘的合法性条件： 加法:结合律,交换律,零,负元 减法:a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. 乘法:结合律,对加法的分配律 理想Q:D的子集,满足“假零”性质O1,O2 记a-bQ为 ab (mod Q),可按等
10、式计算 商环: D/Q =同余类集合 a=a+ Q, 定义加,减,乘:ab=ab, ab=ab.,2018/10/5,案例8. Zn -单表密码,Zn =Z/nZ=r+nZ| r=0,1,n-1. 加法密码: Z26: f(x) = x+b. 仿射密码: f(x)=ax+b, a可逆. 可逆元与反函数.例: y=3x+5, 93=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). 可逆条件: (a,n)=1, 存在 au+nq=1,au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b) Zn中可逆元组成乘法群 Zn*,2018/10/5,案例9.p元域Zp上可逆阵,素数p: Zp* = Zp 0
11、. Zp 是域.Zp 上的n阶可逆方阵个数 |GL(n,p)|=(pn-1)(pn-pk)(pn-pn-1) 随机整数n阶行列式模p余r概率 r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2 r0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA. 案例分析正规子群,同态基本定理,2018/10/5,案例10. 极限与微分,博士生 2010考题. 在一点a连续的全体实函数构成环C O(Dx)(无穷小)与o(Dx)=O(Dx)Dx都是C的理想. limxcf(x)=A f(x) A (mod O(Dx) f(x) f(a)+f(a)Dx (mod o(Dx) 和差积商极限: f(x)A, g(x)B 加
12、减乘除 幂的导数: (x+Dx)nxn+nxn-1Dx (xn)=nxn-1 积的导数: f(x)g(x)f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)Dx 商的导数:,2018/10/5,案例11.分数化小数- 循环节长度,数学聊斋: 商家打折: 1428元? a=1/7=0.142857 循环节D=106a-a= 142857=(106-1)/7. q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数. 最小的d使 10dqq(mod p) 当 p是素数(2,5), 10d1(mod p) D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1 混循环: (10d-1)10kq0(mod p
13、).,2018/10/5,案例分析乘法群元素的阶,例:q/7. 10k (k=1,2,)模7余3,2,6,4,5,1，d=6. 循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857 对k=1,2,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。 将D前k位移到末尾,得到D的rk(=3,2,6,4,5)倍。 推广：1/a的循环节轮换排列都得到D的rk倍。 仅当d=n-1时得到所有各倍循环群的生成元 另例:1/17=0.0588235294117647。1/19= 更多性质：142+857=999，14+28+57=99。,2018/10/5,案例12. 复数的代数模
14、型域扩张,2018/10/5,案例12. 复数的代数模型域扩张,环同态基本定理 已经找到矩阵J满足J2+I=0。 环同态 f:RxRJ, f(x)f(J). Kerf = f-1(0) = (x2+1). 每个 aI+bJa+bx=a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)Rx 商环 C = Rx/ (x2+1) =a+bx|a,bR 0=x2+1=x2+1 x2 = -1。 a+bx0 与x2+1互素,在C中可逆.C 是域. 记1=1,x=i, 则 i2 = -1. C=a1+bi | a,bR =复数域。 直接为x2+1造根: 不需先猜J2+I=0。 在Rx中强制规定“假零集合”Q = 0=
15、 x2+1. 则 Q = (x2+1)由 x2+1 的所有倍式组成. C=Rx/ (x2+1) 线性变换: a+bxxa+bx在基1,x下的矩阵满足条件 J2 = -I.,2018/10/5,推广. 域的代数扩张,无中生有: 为域F上多项式f(x)造根。 强制规定f(x)=0: 在Fx中生成理想 (f(x). 同余类环 E=Fx/(f(x)中f(x)=0, x是根. f(x) 在 Fx 中不可约: E 是F的代数扩域. 设d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间,E:F=d. 造矩阵根: F上线性变换g(x)xg(x) 在基1,x, , xd-1 下的矩阵J是f(x)的根。 f(
16、x)可约: 不可约因子h(x)在扩域E=Rx/(h(x)中有根,也是f(x)的根。 同构: h(x)在扩域M/F中有根w,则s:EM, g(x)g(w)为域同构. 自同构：sGal(E/F) g(w)g(u), w与u为h(x)的任意两个根。,2018/10/5,案例13.m序列有限域的扩张,Z2 上线性移位寄存器序列u1,u2,um, 满足条件 uk+n=c1uk+n-1+cnuk . m序列: 选c1,c2,cn达到最大周期 N=2n-1. (uk+1,uk+n) = (uk,uk+n-1)A状态转移矩阵 A = A的最小多项式 m(x) = xn-c1xn-1-cn-1x-cn. (uk
17、+1,uk+n)=(u1,un)Ak 取遍非零状态. 如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆，,2018/10/5,如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆,则有Uk+1= (uk+1,uk+n) 0使Uk+1B=0 0=Uk+1BAm=Uk+1AmB=Uk+1+mB, 对所有m. Uk+1+m包括Z2上所有的非零n维行向量. 这迫使 B = 0. 说明 Z2A中非零元都可逆。 Z2x/(m(x) Z2A是域, 包含元素2n个。 反过来,找2n元有限域,其乘法群的生成元的最小多项式m(x)=xn-b1xn-1-bn-1x-bn. 取(c1,c2,cn)=(
18、b1,b2,bn)即得m序列。 案例分析: (1) q元有限域存在q 是素数幂pn 。 (2) 有限域的乘法群是循环群。,更多案例,数学聊斋:指路为马之幼儿版-构造纠错码-二元域上的线性方程组 正17边形作图-Galois理论 实数域的代数扩张- 代数基本定理 2次、3次、4次方程的求根公式 n次方程的求根公式。,教学录象,1. http:/ 教育部 2006线性代数2.http:/精品课程 高等数学教学录像数学大观教学录像1-9(共9小时) 3. http:/ 李尚志:教育人生,线性代数,教学成果奖申请视频材料,博 客,高教社 http:/ 教师博客回忆录: 比梦更美好, 名师培养了我,数学家的文学故事数学文学: 数学聊斋, 数学诗选,谢谢 ！,
