1、曲线与方程【考点梳理】1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2求动点的轨迹方程的基本步骤【考点突破】考点一、直接法求轨迹方程【例 1】已知ABC 的顶点 B(0，0) ，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |3，则顶点 A 的轨迹方程为_.答案 (1) A (2) (2，2)解析 设 A(x，y)，由题意可知 D .(x2，y2)又|CD|3， 9，即(x10) 2y 236，(x2 5)2 (y2)2 由于 A，B，C 三点不共线 ，点 A 不能落在
2、 x 轴上，即 y0，点 A 的轨迹方程为(x 10) 2y 236(y0).【类题通法】直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代 换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标 系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性【对点训练】在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(1，1)关于原点 O 对称，P 是动点且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ，则动点 P 的轨迹方程为13_答案 x2 3y24(x1)解析 因为点 B 与点 A(1，1)关于原点 O 对称
3、，所以点 B 的坐标为(1 ，1)设点 P 的坐标为( x，y)，由题意得 ，化 简得 x23y 24(x1)，y 1x 1y 1x 1 13故动点 P 的轨迹方程为 x23y 24(x1)考点二、相关点(代入) 法求轨迹方程【例 2】设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 2 ， MN MP PM ，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程PF 解析 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ， (x 0，y 0)， (1， y0)，PM PF PM PF (x0，y 0)(1，y 0)0，x0y 0.20由 2 ，得( xx 0，y)2(x 0，y
4、0)，MN MP Error!即Error!x 0，即 y24x .y24故所求的点 N 的轨迹方程是 y24x.【类题通法】代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动 点坐标 P(x，y)(2)寻找所求动 点 P(x，y)与已知动点 Q(x，y)的关系(3)建立 P，Q 两坐标间的关系，并表示出 x，y. (4)将 x， y代入已知曲线方程中化简求解【对点训练】如图，已知 P 是椭圆 y 21 上一点，PMx 轴于点 M.若 .x24 PN NM (1)求 N 点的轨迹方程；(2)当 N 点的轨迹为圆时，求 的值解析 (1)设点 P，点 N 的坐标分别为 P(x1，y1)，N(x，y)，则
5、M 的坐 标为( x1，0)，且 xx 1， (x x1，yy 1)(0，yy 1)，PN (x 1x ， y)(0 ， y)，NM 由 得(0，y y 1)(0，y)PN NM yy 1y，即 y1(1) y.P(x1，y1)在椭圆 y 21 上，x24则 y 1，x214 21 (1) 2y21，x24故 (1 )2y21 即为所求的 N 点的轨迹方程x24(2)要使点 N 的轨迹为圆，则(1) 2 ，14解得 或 .12 32当 或 时， N 点的轨迹是圆12 32考点三、定义法求轨迹方程【例 3】已知圆 M：( x1) 2y 21，圆 N：(x1) 2y 29，动圆 P 与圆 M 外切
6、并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程.解析 由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr 1) (r2R)r 1r 24| MN|2.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为 1(x 2).3x24 y23【变式 1】将本例的条件“动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切”改为“动圆P 与圆 M、圆 N 都外切” ，求圆心
7、P 的轨迹方程.解析 由已知得 圆 M 的圆心为 M(1， 0)，半径 r11；圆 N 的 圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R，因为圆 P 与圆 M，N 都外切，所以|PM| PN|(Rr 1)( Rr 2)r 1 r2 2，即|PN|PM|2，又|MN|2，所以点 P 的轨迹方程为 y0(x 1).y28【变式 3】在本例中，若动圆 P 过圆 N 的圆心，并且与直线 x1 相切，求圆心 P 的轨迹方程.解析 由于点 P 到定点 N(1，0)和定直线 x1 的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点 P 的轨迹是以 N(1，0)为焦点，以 x 轴为对
8、称轴、开口向右的抛物线，故其方程为 y24x .【类题通法】应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解【对点训练】设圆 x2y 22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB |为定值；(2)求点 E 的轨迹方程，并求它的离心率解析 (1)证明：因为|AD| AC|，EBAC，所以 EBDACD ADC，所以| EB|ED| ，故|EA|EB|EA |ED|AD|.又圆 A 的标准方程为( x 1)2y 216，从而| AD|4 ，所以|EA|EB|4.(2)由圆 A 方程(x1) 2y 216，知 A(1,0)又 B(1,0)，因此|AB|2，则|EA |EB|4| AB|.由椭圆定义，知点 E 的轨 迹是以 A，B 为焦点， 长轴长为 4 的椭圆(不含与 x 轴的交点) ，所以 a2，c1，则 b2a 2c 33.所以点 E 的轨迹方程为 1(y0)x24 y23故曲线方程的离心率 e .ca 12
