1、中考必做的 36 道数学压轴题第一题夯实双基“步步高” ，强化条件是“路标”例 1(2013 北京，23,7 分)在平面直角坐标系 O 中，抛物线xy（ ）与 轴交于点 A，其对称轴与 轴交于点 B22mxy0x（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 的解析式；l l（3）若该抛物线在 这一段位于直线 的上方，并且在 这一段位12xl 32x于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式解 （1 ）当x 0 时， y 2 . A（ 0， 2） 抛物线 对 称 轴为x ，1mB（ 1， 0） （2） 易得A 点 关 于对 称轴 的 对称点 为A （ 2
2、， 2）则直线l 经过A 、B .没直线 的解 析式 为 yk x b则 解得2,0.kb2,.直 线 的解 析式 为 y2 x 2（3） 抛 物线 对称 轴为x 1抛物体 在2 x3 这一段 与在 1x 0 这一 段关于 对称轴对 称，结合图 象可 以观 察到 抛物 线在 2x 1这一段 位于 直线l 的 上 方， 在 1 x0 这一 段位 于直 线l 的下方抛 物 线与 直线l 的交 点横 坐标为 1 ；当x 1 时， y2 x( 1)2 4则抛物 线过 点（ 1，4 ）当 x 1 时， m2 m 24 ， m 2抛 物 线解 析为 y2 x2 4 x2 . 连接（2013 江苏南京，26
3、，9 分）已知二次函数 ya（xm） 2a（x m） （a、m 为常数，且 a0）.（1）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为 C.与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 D.当ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值；当ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，求 m 的值.【答案】 （1）证明：ya（xm ） 2a（xm）ax 2（2ama）xam 2am.因为当 a0时， （2am a） 24a（am 2am）a 20.所以，方程 ax2（2am a）xam 2am0 有两个不相等的实数根.所以，不论 a 与 m 为何值
4、，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点 . 3 分（2）解： ya（xm） 2 a（xm ）a（x ） 2 ，14a所以，点 C 的坐标为（ ， ）.14当 y0 时，a（x m） 2a（xm）0.解得 x1m，x 2m 1.所以 AB1.当ABC 的面积等于 1 时， 1 1.所以 1（ ）1，或 1 1.2424所以 a8，或 a8.当 x0 时，yam 2am.所以点 D 的坐标为（0，am 2am）.当ABC 的面积与ABD 的面积相等时，1 1214m21（ ）= 1（am 2am ） ，或 1 = 1（am 2am）.a114a所以 m ，或 m ，或 m .9 分22变式: （2
5、012 北京， 23，7 分）已知二次函数 在 和23(1)()2ytxtx0时的函数值相等。x（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数 的图象与二次函数的图象都经过点 ，求 和 的值；6ykx(3)Am，k（3） 设二次函数的图象与 轴交于点 （点 在点 的左侧） ，将二次函数的图象在BC，点 间的部分（含点 和点 ）向左平移 个单位后得到的图象记为 ，同时将BC，B(0)nG（2）中得到的直线 向上平移 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图6ykx象有公共点时， 的取值范围。Gn【答案】 （1）方法一： 二次函数 在 和23(1)()2ytxtx0时的函数值相等2x .334(
6、)()tt .这个二次函数的解析式是 213yx方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为 1x则 2()1t .3t这个二次函数的解析式是.213yx（2）二次函数的图象过 点.(3,)Am .21(3)6m又 一次函数 的图象经过点ykx 6k 4（3）令 2130解得： x由题意知，点 B、C 间的部分图象的解析式为 ， （ ）.1(3)2yx13x则向左平移后得到图象 G 的解析式为：， （ ）.1(3)(1)2yxn1nxn此时平移后的一次函数的解析式为 .46y若平移后的直线 与平移后的抛物线 相切.46yxn1(3)(1)2yxn则 有两个相等的实数根。146(3)(1)2xn即
7、一元二次方程 有两个相等的实数的根。290x判别式=2(3)4()nn解得： 与 矛盾.0平移后的直线 与平移后的抛物线 不相切.6yx1(3)(1)2yxn结合图象可知，如果平移后的直线与图象 G 有公共点，则两个临界交点为 和(,0)n.(3,0)n则 ，解得：416023n，解得：()6 23n第 2 题“弓形问题”再相逢， “殊途同归”快突破（例题）（2012 湖南湘潭，26，10 分） 如图，抛物线 的图象与)0(232axay轴交于 、 两点，与 轴交于 点，已知 点坐标为 .xAByCB0,4（1）求抛物线的解析式；（2）试探究 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 是
8、线段 下方的抛物线上一点，求 的面积的最大值，并求出此MMC时 点的坐标.【答案】解：（1）将 B（4，0）代入 中，得：)0(232axay 21a抛物线的解析式为： 1（2）当 时，解得 ，2312x41x12A 点坐标为（1，0） ，则 OA=1当 x=0 时， 2yC 点坐标为（0,2） ，则 OC=2在 RtAOC 与 RtCOB 中， 21OBCARtAOCRtCOBACO=CBOACB=ACO+OCB=CBO+OCB=90那么 ABC 为直角三角形所以 ABC 的外接圆的圆心为 AB 中点，其坐标为（1.5，0）（3）连接 OM.设 M 点坐标为（ x， ）2312x则 OBCO
9、BMCS S= 4212)321(4xx= )x当 x=2 时，MBC 的面积有最大值为 4，M 的坐标为（ 2，3）变式（2011 安徽芜湖 24）面直角坐标系中，ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别为（0，3） 、 （-1，0） ，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到ABOC（1）若抛物线过点 C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）ABOC 和ABOC重叠部分OCD 的周长；（3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点 M在何处时AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题）23 （2012 河南，23，
10、11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线12yx与抛物线 23yaxb交于 A、B 两点，点 A 在 x轴上，点 B 的纵坐标为3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（ 不与 A、B 重合） ，过点 P 作 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a、b 及 sinP的值；（2）设点 P 的横坐标为 m用含 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 值，使这两个三角形的面积之比为 9:10?若存在，直接写出 值；若不存在，说明理由第 23 题图BCDxOPAy【答案】 （1）由 0
11、2x，得 2,x (,0)A由 3，得 4, (3)B 2yaxb经过 A两点， 1,2ab2-=+4ba设直线 AB 与 轴交于点 E，则 (0,1) PC 轴， PO. 25sinsiA（2）由可知抛物线的解析式为 13yx 21(,3),()2PmCm22( 4C在 RtDA中， sinPA215()59.m 50当 1时， PD有最大值 5存在满足条件的 值， 329或【提示 】分别过点 D、B 作 DFPC， BGPC ，垂足分别为 F、G在 tRPDFA中， 21(8).5PDm又 4,BGm2(8)545PCDBSA当 910PCA时，解得 m；当 25DBSm时，解得 329变
12、式一 27 （2011 江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数 y=x2bx3 的图像经过点P（2,5） （1）求 b 的值，并写出当 1x3 时 y 的取值范围；（2）设点 P1（m,y 1） 、P 2（m +1,y2） 、P 3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上当 m=4 时， y1、y 2、y 3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、y 2、y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （2） 22b3，解得 b=2.当 1x3 时 y 的取值范围为4y0.（2）m=4
13、时， y1、y 2、y 3 的值分别为 5、12、21，由于 5+1221，不能成为三角形的三边长当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、y 2、y 3 的值分别为m22m3、m 24、m 22m 3，由于， m22m 3m 24m 22m3， （m2）280，当 m 不小于 5 时成立，即 y1y 2y 3 成立所以当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、y 2、y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，变式二（2013 重庆 B 卷，25 ，10 分）如图，已知抛物线 的图像与 x 轴的cbxy2一个交点为 B（5，0） ，另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C(0，5).（1）求
14、直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点，过点 M 作 MN/y 轴交直线 BC 于点N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 ， ABN 的面积为 ，1S2S且 ，求点 P 的坐标 .216SyxOCA B【答案】解：（1）设直线 BC 的解析式为 ，将 B（5，0） ，C （0，5）代入有：nmxy解得： 所以直线 BC 的解析式为50nm51n xy再将 B（5，0） ，C（0，5）代入抛物线 有：cb
15、xy2解得： 所以抛物线的解析式为：2cb56c562xy（2）设 M 的坐标为（x， ） ，则 N 的坐标为（ x， ） ，62x5MN= )5()(= x52当 时，MN 有最大值为421PM 2MyxOCA BNMQ（3）当 时，解得 ，0562xy1x52故 A（1,0） ，B（5,0） ，所以 AB=4由（2）可知，N 的坐标为（ ， ）25 5412S则 ，那么30621 15CBPS在 y 上取点 Q (-1，0)，可得 Q故 QPBC则直线 QP 的解析式为 1xy当 时，解得 ，562x23x所以 P 点坐标为（2， ） ， （ ， ） ，34第四题“准线” “焦点”频现身，
16、 “居高临下”明“结构”（例题）（2012 四川资阳，25，9 分）抛物线 的顶点在直线 上，过点 F214yxm3yx的直线交该抛物线于点 M、 N 两点（点 M 在点 N 的左边） ，MA 轴于点 A，NB(2,)轴于点 Bx（1）(3 分) 先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 的代数式表示） ，再求的值；m（2）(3 分) 设点 N 的横坐标为 ，试用含 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明aNFNB；（3）(3 分) 若射线 NM 交 轴于点 P，且 PAPB ，求点 M 的坐标x109（第 25 题图）答案：解（1） 2211()(1)44yxmx顶点坐标为( 2 , )顶点在
17、直线 上，3 2+3= ，得 =2m（2）点 N 在抛物线上，点 N 的纵坐标为 214a即点 N( , )过点 F 作 FCNB 于点 C，在 RtFCN 中，FC= +2，NC=NB-CB= , a214a2NF2C=221()()4a21()()4而 = NB2 ，NF=NB2F（3）连结 AF、BF由 NF=NB，得NFB=NBF，由（2）的结论知，MF=MA， MAF=MFA,MA 轴，xNB 轴， MANB,AMF+BNF=180xMAF 和NFB 的内角总和为 360,2MAF+2NBF=180，MAF +NBF=90,MAB+NBA=180，FBA+FAB=90又 FAB+MA
18、F=90FBA=MAF=MFA 又FPA =BPF，PFAPBF， ， = PFBA2PAB109过点 F 作 FG 轴于点 G,在 RtPFG 中，xPG= = ，PO= PG+GO= ，2PFG83143P( , 0) 14设直线 PF： ，把点 F（2 , 2） 、点 P( , 0)代入 解得ykxb143ykxb= ， = ， 直线 PF：k34b72374解方程 ，得 =3 或 =2（不合题意，舍去）12xxx当 =3 时， = ，M（3 , ）y55变式一 25已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点为 C（1，1）且过原点 O过抛物线上一点 P（x，y）向直线 y= 作垂线，
19、垂足为 M，连 FM（如图）4（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x=1 上有一点 F(1， )，求以 PM 为底边的等3腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PM=PN 恒成立？若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点为 C（1，1）且过原点 O，可得- =1， =1，c=0，2ba4cba=-1，b=2，c=0（2）由（1）知抛物线的解析式为 y=-x2+2x，故设 P 点的坐标为（m，-m 2+2m），则 M 点的坐标（m， ），54PF
20、M 是以 PM 为底边的等腰三角形PF=MF，即（m-1） 2+（-m 2+2m- ） 2=（m-1） 2+（ - ） 2343-m 2+2m- = 或-m 2+2m- =- ，341341当-m 2+2m- =时，即-4m 2+8m-5=0=64-80=-160此式无解当-m 2+2m- =- 时，即 m2-2m=-34114m=1+ 或 m=1-、当 m=1+ 时，P 点的坐标为（1+ ， ），M 点的坐标为323214（1+ ， ）54、当 m=1- 时，P 点的坐标为（1- ， ），M 点的坐标为（1-323214， ），54经过计算可知 PF=PM，MPF 为正三角形，P 点坐标为：
21、（1+ ， ）或（1- ， ）32143214（3）当 t= 时，即 N 与 F 重合时 PM=PN 恒成立4证明：过 P 作 PH 与直线 x=1 的垂线，垂足为 H，在 RtPNH 中，PN2=（ x-1） 2+（t-y） 2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，PM2=（ -y） 2=y2- y+ ，54516P 是抛物线上的点，y=-x 2+2x；PN 2=1-y+t2-2ty+y2=y2- y+ ，5161-y+t 2-2ty+y2=y2- y+ ，移项，合并同类项得：- y+2ty+ -t2=0，39y（2t- ）+（ -t2）=0 对任意 y 恒成立329162t- =0 且 -
22、t2=0，t= ，故 t= 时，PM=PN 恒成立4存在这样的点变式二（2012 山东潍坊，24，11 分）如图 12，已知抛物线与坐标轴分别交于 A（ ，0） 、2B（2， 0） 、C（0， ）三点，过坐标原点 O 的直线 与抛物线交于 M、N 两1ykx点分别过点 C、D（0， ）作平行于 x 轴的直线 l1、l 22（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切；（3）求线段 MN 的长（用 k 表示） ，并证明 M、N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段MN 的长图 12xyA BCDOMNl1l2【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为
23、 ，2yaxbc由 ，解得 0421abc140ab所以 24yx（2）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2， y2） ，因为点 M、N 在抛物线上，所以 ， ，所以 ；214yx214yx24(1)xy又 = = = ，ON222()()y所以 ON= ，又因为 y2 ，y1所以 ON= 2设 ON 的中点为 E，分别过点 N、E 向直线 l1 作垂线，垂足为 P、F，则 EF= = ，OCP2y所以 ON=2EF，即 ON 的中点到直线 l1 的距离等于 ON 长度的一半，所以以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切（3）过点 M 作 MHNP 交 NP 于点 H，则= + ，22NH21
24、()x21()y又 y1=kx1，y 2=kx2，所以 = ，22kx所以 ；1()kx又因为点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，所以 ，即 ，214x240k所以 x = =2k ，26k21所以 = ，21()2()所以 ，6MNk所以 MN= 24(1)延长 NP 交 l2 于点 Q，过点 M 作 MSl 2 于点 S，则 MS + NQ = = = ，12y1144x21()x又 = ，21x2()68kk所以 MS + NQ = = =MN2(1)即 M、N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 MN 的长第 24 题xyA BCDOMNl1l2EPQFSH第五题末尾“
25、浮云”遮望眼， “洞幽察微”深指向例题（2012 浙江宁波，26，12 分）如图，二次函数 的图象交 x 轴于2yaxbcA（1，0） ，B(2 ，0)，交 y 轴于 C（0，2） ，过 A，C 画直线(1)求二次函数的解析式；(2)点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA =PC，求 OP 的长；(3)点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H若 M 在 y 轴右侧，且CHM AOC（点 C 与点 A 对应） ，求点 M 的坐标；若 M 的半径为 ，求点 M 的坐标45【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为： (1)2yax将 x=0，y=2 代入，得2= a(
26、0+1)(02)解得 a=1抛物线的解析式为 ，即 (1)2yx2yx(2)设 OP =x，则 PC=PA =x +1在 RtPOC 中，由勾股定理，得 22(1)解得 ，即 32xOP(3) CHM AOC， MCH=CAO情形 1：如图，当 H 在点 C 下方时，MCH=CAO ，CMx 轴， ， ，2My2x解得 x=0（舍去） ，或 x=1， M(1，2)情形 2：如图，当 H 在点 C 上方时MCH= CAO，由(2) ：得，M 为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM的解析式为 y=kx2把 P（ ，0）的坐标代入，得 ，330k解得 ， 4k由 ，23x解得 x=0（舍去）
27、 ，或 x ，73此时 ， 109y10(,)9M在 x 轴上取一点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE 45COA=DEA=90，OAC=EAD， ADEAOC， ，ADECO ，解得 AD=2452AD(1，0) 或 D（3，0） 过点 D 作 DMAC，交抛物线于 M则直线 DM 的解析式为： 或 2yx26yx当 2x 6= x 2 x 2 时，方程无实数解当 2x+2x 2 x 2 时，解得 1717,点 M 的坐标为 M 或 M(,3)217(,3)2变式一 25如图，抛物线 y= x2+x+3 与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于14点 C，顶点为点 D，对称
28、轴 l 与直线 BC 相交于点 E，与 x 轴相交于点 F（1）求直线 BC 的解析式；（2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P为圆心，r 为半径作P当点 P 运动到点 D 时，若P 与直线 BC 相交，求 r 的取值范围；若 r= ，是否存在点 P 使P 与直线 BC45相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由提示：抛物线 y=ax2+bx+x（a0）的顶点坐标（ ，2ba24c），对称轴 x= ba变式二 22 （2012 广东省，20，9 分）如图，抛物线 与 x 轴交于 A、 B213=-9y两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC、 AC.(1)求 AB 和 O
29、C 的长；(2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、 B 不重合)，过点 E 作直线 l 平行于BC，交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m，ADE 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接 CE，求CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC相切的圆的面积(结果保留 ).【答案】(1)当 y=0 时， ，解得 x1= 3，x 2=6.AB=|x 1 x2|=| 36|=9.213-90x当 x=0 时，y=9.OC=9.(2)由(1)得 A(3,0) ，B(6,0) ，C(0,9)
30、 ，直线 BC 的解析式为 y= x9，直线 AC 的解析式为 y=3x9.2AE 的长为 m，E (m 3,0).又直线 l 平行于直线 BC，直线 l 的解析式为 y= x .2(-)m由 得 ，点 D( , m).39-()2yx9=3-xy93ADE 的面积为：S= AE|D 纵|= (m 3)| m|= .(0m9)12213-(3)CDE 面积为：S ACE SADE = ( )= = ，92+219-(3)+当 m=3 时，CDE 面积的最大值为 .此时，点 E(0,0).如图，作 OFBC 于 F，OB=6，OC=9，OF= = = .OBC269183以点 E 为圆心，与 B
31、C 相切的圆的面积为： .21834()=第 6 题 分类讨论“程序化” ， “分离抗扰”探本质例题（2011 贵州遵义，27，14 分）已知抛物线 经过 A(3，0), )0(32abxyB(4，1)两点，且与 y 轴交于点 C。（1）求抛物线 的函数关系式及点 C 的坐标；)0(32abx（2）如图（1）,连接 AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点 P，使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合）经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当 OEF 的
32、面积取得最小值时，求点 E 的坐标。【答案】 （1） 2(3,0)4,y=ax+b3=9a+b612b=12(0,3)ABC、 代 入 中解 得 解 析 式 为 令 时 ， 点 坐 标 为（2）若PAB=90 ，分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F。图（1）易得APEBAF,且BAF 为等腰直角三角形，APE 为等腰直角三角形。设 PE=a，则 P 点的坐标为（a，a3）代入解析式3-a= 解得 a=0，或 a=3（与 A 重合舍去）25P （ 0,3）若PBA =90，如下图，直线与 x 轴交与点 D, 分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F。由图可得PED、B
33、AD 为等腰直角三角形，设 PE=a，则 DE=a，AB = ,所以2AD=2，则 P 点坐标为（5a ，a ） 代入解析式，解得，a=1，或 a=6 （与 B 重合）是21()()3所以 P 点坐标（1,6）综上所述 P（0,3）或 P（1,6）（3）由题意得，CAO= OAF=45利用同弧所对的圆周角相等，OEF=OAF=45EFO=EAO=45EOF 为等腰直角三角形，S EOF = 。21OE当 OE 最小时，面积最小。即 E 为 AC 中点（ 3,)变式一（2011 山东枣庄，25，10 分）如图，在平面直角坐标系 中，把抛物线xoy向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到
34、抛物线 .所得抛物2yx 2()yxhk线与 轴交于 两点（点 在点 的左边） ，与 轴交于点 ，顶点为 .AB、 BCD（1）写出 的值；hk、（2）判断 的形状，并说明理由；CD（3）在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐MAO B M标；若不存在，说明理由. xy解：（1） 2()yxhk的顶点坐标为 （，） ， . ， =-4（2）由（1）得 2(1)4yx.当 0y时， 0 解之，得 123x， . (3)AB， ， ，又当 x时， 22(1)4()yx， C 点坐标为 0， -.4分又抛物线顶点坐标 14D， ，作抛物线的对称轴 1x交 轴于点 E， DFy轴于点 易知
35、在 RtAE 中， 2240；在 OC 中， 318；在 tFD 中， 22； 22ACD ACD 是直角三角形 （3）存在作 OMBC 交 AC 于 M， 点即为所求点由（2）知， AO 为等腰直角三角形， 45BAC， 1832由 MBC ，得 即 3329442， . 过 点作 GA于点 ，则2981964M， 934OGA.又点 M 在第三象限，所以 . 3-（ ， ） xyMFE G变式二（2011 南充市，21，8 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC,AD=AB=CD=2,C=60 0,M 是 BC 的中点。（1）求证：MDC 是等边三角形；（2）将MDC 绕点 M 旋转，
36、当 MD(即 MD)与 AB 交于一点 E,MC 即 MC)同时与AD 交于一点 F 时，点 E,F 和点 A 构成AEF.试探究AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值.DCMFEDCBA【答案】 （1）证明：过点 D 作 DPBC,于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q,C=B=60 0CP=BQ= AB,CP+BQ=AB 2又ADPQ 是矩形，AD=PQ, 故 BC=2AD,由已知，点 M 是 BC 的中点，BM=CM=AD=AB=CD, 即MDC 中，CM=CD, C=60 0,故MDC 是等边三角形.（2）解：AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接 AM,由（1）平行四边形 ABMD 是菱形，MAB, MAD 和MCD是等边三角形，BMA=BME+AME=60 0, EMF=AMF+AME=60 0BME=AMF）在BME 与AMF 中，BM=AM, EBM=FAM=60 0BMEAMF(ASA) BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=ABEMF=DMC=60 0 ,故EMF 是等边三角形，EF=MF. MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离 ，即 EF 的最小值是 .33AEF 的周长=AE+AF+EF=AB+EF,AEF 的周长的最小值为 2+ .
