1、11.1 函数定义域通过介绍函数定义域的类型和求法，以全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。一、常规型其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或不等式组）即得原函数的定义域。注：1、给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，即能使函数式有意义的自变量 的集合称为函x数的定义域。2、求函数的定义域的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 类型 1、含分式
2、的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为 0； （2）绝对不能先化简后求函数定义域。例 1、求下列函数的定义域（1） )(xf解：要使函数有意义，必须： 即 20,x.x函数 的定义域是： 21)(xf |（2） f类型 2、含偶次根式的函数（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于 0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例 2、求函数 的定义域？23)(xf解：要使函数有意义，必须： 即0,2.3x函数 的定义域是23)(xf |.2类型 3、复合型函数函数是
3、由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例 3、 xxf21)(解：要使函数有意义，必须： 01.2x函数的定义域是： 1|x且练习：求函数 的定义域？243)(f解：要使函数有意义，必须： 2340131413xxxx或 或 或且函数的定义域为： | 4.或 或二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有四种情况。类型 1：已知 )(xf的定义域，求复合函数 的定义域()fgx解法：若 的定义域为 则 中 ，从中解出 x的取值范围即为,abab的
4、定义域。()fgx例 4、已知函数 的定义域为 ，求 的定义域()fx15，(35)fx分析：若 的定义域为 ，则在 中， ，从中解得 的取值范围即为abg()agxbx的定义域本题该函数是由 和 构成的复合函数，其中 是自变量， 是中间变量，()fgxux()fuu由于 与 是同一个函数，因此这里是已知 ，即 ，求 的取值范围()fu15135xx解： 的定义域为x4015,3,.xx，故函数 的定义域为 (35)f40，练习：31、若函数 的定义域为 ，求 的定义域？)(xfy2,1)(log2xf2、已知 的定义域为 ，求 的定义域？f,1yf3、已知 的定义域为 ,求 的定义域？)(x
5、y13()x4、已知函数 的定义域为 求函数 的定义域？f(0)2f5、设函数 的定义域为 ，给出下列函数： ，)x(y,4A )4x(fy),2(fy2，其定义域仍是 A 的有（ ）16f),2(fyA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个6、若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是()yfx0,(2)1fxgA B C D0,10,(0,1)7、已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域？)(xf,2(2)yfx类型 2：已知复合函数 的定义域，求 )f的定义域()fg解法：若 的定义域为 ，则由 确定 的范围即为 的定义域。()fx,abxb)(xg)(xf例 5、已知函数
6、的定义域为 ，求函数 的定义域2)03，f分析：若 的定义域为 ，则由 确定的 的范围即为 的定义()fgxmxnxn()x()fx域这种情况下， 的定义域即为复合函数 的内函数的值域。本题中令 ，则()fg2u，由于 与 是同一函数，因此 的取值范围即为 的定义域2()(fxfu()ffxu()fx解：由 ，得 03x215令 ，则 故 的定义域为 2()(,15.fxfu()fx15，练习：1、若函数 的定义域为 则函数 的定义域是（ ）)3(f,2)(f5 1.,.1,.1,5.,22ABCD2、已知函数 的定义域为 求 的定义域？()yfx09()yfx3、已知函数 的定义域为 求 的
7、定义域为lg,44、已知 的定义域为 求 的定义域。(21)yfx1,2()fx类型 3、已知复合函数 的定义域，求 的定义域(fgfh可先由 定义域求得 x的定义域，再由 x的定义域求得 的定义域。xgf xhf例 6、函数 定义域是 则 的定义域是（ ）1)yf2,3(21)yf5.0,.,4.5.3,72ABCD解：先求 的定义域，因为)(xf的定义域是 所以 所以1y2,3,x14,x即 的定义域是 再求 的定义域()fx1,4hf 52,0.2x所以 的定义域是 ，故应选 A2yf50,2练习：1、函数 的定义域为 则函数 的定义域为（ ）)(xf1, )(log2xfy .0,.,
8、2.2,4.4,16ABCD2、已知 的定义域为 ，则 的定义域为_。2()fx,()xf3、若函数 的定义域为 求 的定义域1y1,22f分析：已知 的定义域为 满足 于是 得到 xf的定义域，()fxx,x13,2x然后 的定义域由 的定义域可得2()f解：先求 xf的定义域：由题意知 则 即 xf的定义域为 再求12,x13,x1,.2的定义域： 解得()fh213,.或 的定义域是 2()fx 2| ,3.xx或类型四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。例 7、若 的定义域为 ，求 的定义域()fx35，()(2
9、5)xffx分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，5然后再求交集解：由 的定义域为 ，则 必有 解得 ()fx35，()x352x， 40x 所以函数 的定义域为 40，练习：已知函数 xf的定义域是 求 的定义域。(,1 1()(),02gxfafxa分析：分别求 与 的定义域，再取交集。()af解：由已知，有 ，即01x1,.xa函数的定义域由 确定 函数1, .2a的定义域是()gx(.三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 求参数的范围问,R题通常是转化为恒成立问题来解决。例 8、 已知函数 的定义域为 求实数 的取值范围。268ymx,Rm分析：函数的定义域为 表明 使一切 都成立，因为 项的系数是 所,R20xx2x,m以应分 或 进行讨论。0m解：当 时，函数的定义域为;当 时， 是二次不等式，其对一切实数 都成立的充要条件是2680xmx综上可知20, 1.(6)4(),m 01.m练习：例 6 已知函数 的定义域是 求实数 的取值范围。27()43kxf,Rk解：要使函数有意义，则必须 恒成立，因为 的定义域为 即0(*)()fx,R无实数根。2430kx当 时， 恒成立，解得21643k3;4k6当 时，方程 恒成立。综上 k 的取值范围是0k(*) 30;4k
