1、 1 第 二 章 群的 线性 表示理论 和置换群一样，矩阵群也有资格作为样板群，且适用范围更广。 群论在物理中的应用一般都是线性表示的形式； 我们对 矩阵和数 更熟悉。 F. G. Fronenius, W. Burnside 开创 一、 群的 线性 表示 （ linear representation） 1 定义 线性表示 即群 G 到 GL(n, C)的同态：群 G 的每个元素与一个 n 阶非奇异复矩阵 )(gT 对应，且保持群的乘法结构， )()()(G, hgghg TTT ，象 (G)f 称为群 G 的一个 n 阶（线性）表示。 单位表示 所有元素均映射为 1 酉 (unitary)
2、表示 （幺正表示） 1, TT1 实表示 表示矩阵是实矩阵（广义定义是和实数矩阵等价的表示） 忠实（ fidelity）表示 群表示和原来的群同构 定理 1)(eT , (1) = 1() 2 例 作 3D 群的线性表示。 写出 3 维空间的旋转矩阵 即可。 e ：不动， 1,1,1diag)( eT 。 a ：绕 1 轴转 1800， 1,1,-1-diag)( aT 。 b ：绕 2 轴转 1800 。 可以利用转动群的生成元按公式 Jiexp 来写（参考转动群一章） 。 这里 我们 把 b 看成是zz ，且坐标 x 、 y 在平面内对 2 轴作镜像。 二维平面上的直线方程为 crn ，或
3、 0)( ncrn 其中 n 是原点到直线的垂线方向， c 是原点到直线的距离。容易得到 ， 任意一点 0r 对直线的镜像为 nnrncr )(22 00 。 AB CO xy1232 对于直线 2， 0c ，直线与 x 轴夹角为 300， n 与 x 轴夹角为 1200， )2/3,2/1(n ， yxyxyxyxyx212323212/32/1)2321(2 ， 10002/12/302/32/1)( bT 。 c ：绕 3 轴转 1800， n 与 x 轴夹角为 600， )2/3,2/1(n ， 10002/12/302/32/1)( cT 。 d ：绕 z 轴逆时针转 1200。二维
4、空间逆时针转 的转动矩阵为 cossin sincos ， 10002/12/302/32/1)( dT 。 f ：绕 z 轴逆时针 转 2400， 10002/12/302/32/1)( fT 。 3 性质 （ 1） 复共轭表示 ： 群 G 的 线性 表示 ()| 的 复共轭 ()| ，也是群 G 的 线性表示 。 （ 2） 对偶 (dual)表示 ： )()( 1 gg TT （ 3） 酉表示的对偶表示即复共轭表示 （ 4） 直积 表示 ： 群表示的直积 是 直积群的表示。 （ 5） 商群的表示 可以 提升为 群的表示。 4 表示 空间 群作用空间（ action space） 群表示变换
5、的对象 ，又称为表示空间。 例如转动群作用空间是三维空间矢量，在函数空间的表示的作用 对象是三元函数。 3 群的不变 子 空间 作用空间中 V， 在群变换下封闭的子空间 W。 invariant subspace ,() 平庸 不变子空间 （ trivial invariant subspace）： 零 空间和 V 推论： 对 有限维表示， T(G)W W T(G)W = W 例如 在四维时空中， 转动群 的 不变 子 空间 是三维空间 。 群表示论的核心问题是 怎样找出一个群所有的线性表示 。 5 等价表示 等价表示只相差一个相似变换 ：设 G 是群， (G)T 和 (G)T 都是群 G 的
6、线性表示，如果存在一个矩阵 S，使得 )()(G, 1 ggg TSST ，则称这两个表示是等价的 注：规范矩阵（ AAAA ）都可以对角化，但是 一般来说， 对不同的群元素，变换矩阵不会相同， )(gSS 。 所以不会出现所有 的酉 表示均等价于对角矩阵表示这种情形。 群的线性表示之间的等价是一个等价关系。集合 群 G 的所有线性表示 可按这一等价关系分拆为等价表示类，只要找到一个代表就可以了。可以选择这个代表为 酉表示： 定理 有限群的每个等价表示类中都存在一个酉表示。 证明 设 )(GT 是群 G 的一个表示， 我们把 与之等价的幺正表示找出来。 相似变换矩阵 S 必然取决于 GggT
7、|)( ，即由 )(gT 来构造；但是又必须与 g 无关，是一个常数矩阵，可以尝试 令 Gg gTgTS )()(2。 由重 排定理 ， 22 )()()()( SghTghThTShTGg ， 从而有， 如果 矩阵 2S 能够开方， 并且 开方后所得矩阵 S 是非奇异的厄米矩阵 ， SS ，0det S ， 则 可以 取 1)()( ShSThU ， )(GU 是群 G 的幺正表示 ， 1)()()()( 12111 SSSShSSThTShUhU 。 下 面 对 2S 开方： 因为 2S 是厄米矩阵，可以对角化， 122 QQDS ， 其中 2D 是对角矩阵，对角元都是实数 ，是 2S 的
8、本征值； Q 是酉矩阵，每列都是 2S 的归一化本征矢 。 取等价表示 4 QgTQgT )()( 1 ， )()(2 gTgTD Gg ， 可得对角元非负， 0)()()(22 Gg jjkGg jjkkjkkgTgTgTD进一步的，对角元非 0， 如果为 0，则 Gg ， )(gT 的第 k 列 全为 0， 与表示矩阵 )(gT非奇异矛盾 。 于是可以将 2D 开方，对角元取 相应的 正实根，则 D 是非奇异的实对角矩阵，1QDQS 为非奇异厄米矩阵。 另一种 证明 ： 群 G的线性表示表示 (G)是 矩阵，作用在 维复线性空间 V。在 V上定义两个矢量的内积 (|) 正交标准基为 ()
9、。 定义新的内积 | 1|G|()|()G则这个内积在群变换下不变， ()|() 1|G|()|()G= 1|G| ()|()G= | 设新的内积定义下，正交标准基为 。 | = 设 两组标准基之间的坐标变换为 = | = = (|) | = (|), | = (1|1) 现在有 (|) = | = ()|() = (1()|1() 由 ,的任意性知 () 1()是幺正矩阵，构成 群 G的 幺正表示。 性质 酉表示矩阵的本征值模为 1， |迹 | n. 5 二、 不可约表示 两个 线性表示可以通过直和得到一个 更高 维数的表示 () = (1() 2() 我们 认为这种表示不是 “ 基本 ”
10、的 。 1 可约表示 定义 ： 表示空间中含有群的 非 平庸 不变子空间 （ 真 不变子空间 ） W， , , () 推论 ： , , ,( ,() = 0 定义 ： 表示矩阵 ()等价于 （把 W 中 的分量排在前面） , () ( ) 2 完全可约 正交补空间 ：设 W是 V的 子空间，其正交补空间 W = V| W, (,) = 0 性质： 正交 补空间 W满足 WW = 0, WW = V. 定义 ： 表示 空间中含有非平庸的不变子空间，并且其正交补空间也是不变子空间 定义：表示矩阵 ()可以同时准对角化， , T() ( ) 3 不可约表示 定义：表示空间中 不存在真 不变子空间 不
11、可能 把 表示矩阵 () = ()| 同时 准 对角化 。 4 性质 （ 1） (Maschke)有限 群的 任意 线性表示可约 完全可约。 证明 1： 设 T(G)可约 ， 不变 子空间为 W。等价 的酉表示 为 () = ()1 可得 6 ,() = ,1() = ,() = 是 U(G)的 不变子空间 。 现在 W的 正交补空间 W也是 U(G)的 不变子空间 ： , , (,() = (1),) = (,) = 0 ,() () 所以 U(G)完全 可约 。 证明 2： T(G)可约， 设已经通过相似变换，成为如下形式 () = (1() () 2(), ()是 同态， 所以 () =
12、 ()() (1() () 2() = (1()1() 1()()+()2() 2()2() 取 常数矩阵 ( 1|( )2(1) ), S1 = (1|( )2(1) ) 则 ()1 = ( 1|( )2(1) )(1() () 2()(1|( )2(1) ) = (1() ()1|( )2(1)2() 2()(1|( )2(1) ) = (1()1|1()( )2(1)+() 1|( )2(1)2() 2() 利用同态 性， 1()( )2(1)= ( )()2()2(1)= ()2(1)=|() = ()2(1)2()|() 1()( )2(1) ( )2(1)2() = |() 1|1
13、()( )2(1)+() 1|( )2(1)2() = 0 ()1 = (1() 2() （ 2） 有限 群 的 在内积空间的 表示 等价于若干不可约表示的直和； )()( )(1 gTgT pmqp p 相应的表示空间可化为若干不变子空间的直和。 于是群表示的核心问题成为 找出所有不等价不可约 的幺正 表示 。 7 三、 群代数 和正则表示 所有的不等价不可约表示均包含在一个特殊的线性表示 正则表示 之中 。 作为准备为此需 引进群代数 、群函数 的概念。 1 线性代数 R 是数域 K 上的 线性空间 （定义了矢量的加法和数乘） ，在 R 中定义乘法，使之满足, KaRzyx （ 1） 乘法
14、封闭： Rxy ， （ 2） 分配 律 ： yzxzzyxxzxyzyx )(,)( ， （ 3） 数乘： )()()( ayxyaxxya ， 则称 R 为线性代数。 结合代数：额外满足 )()( yzxzxy 例如三维空间对矢量的叉乘，构成线性代数，但不是结合代数。 2 群空间 对群 nggG ,1 ，定义数乘和加法可得线性空间 GV ： Cana aaG xgxxxV ,| 1即群元是线性空间的基底， 设 GVyx , ，则 na aana aa gyygxx 11 , ，； na aaa gyxyx 1 )( ； na aa gxx 1 )(, C 。 若进一步定义 nggG ,1 为
15、标准基， jkkj gg ),( ，可得 GV 为酉空间。 8 3 群代数 在群空间 GV 中进一步定义乘法， nba baba ggyxxy 1, )( ，得到一个结合代数 GR 。 （是含幺环） 4 正则表示 取群代数 RG作为群 G 的表示空间， Gg ，将其 映射 为 GR 上的线性变换 )(gL ，满足 ghhgLGh )(, （即 na aa ggxxgL 1 )()(） 。 )(gL 构成一个忠实表示，称为 左正则表示 。 矩阵元为 ghfhfgL ,)( 。 右正则表示 按 1)( hghgR 定义 例 二元群 aeC ,2 。 令群空间的基矢为 01e ， 10a 。 那么按
16、定义 0101)(eL ， 1010)(eL ， 10 01)(eL ； 1001)(aL ， 0110)(aL ， 01 10)(aL 。 例 三元群 23 , aaeC 。 令群空间的基矢为 001e ， 010a ， 1002a 。 按左正 则表示的定义，把三个基矢并在一起写成矩阵的形式， 9 100010001100010001)( eL 001001)(eL ； 010001100100010001)( aL 100100)(aL ； 001100010)()( 2222 aeaaaeaLaL 。 正则表示矩阵都是由 0 和 1 组成。 正则表示是实正交 表示。 （因为正则变换是幺正
17、变换） 置换表示可以很简单的写成线性表示 ： 只需要将作用空间中的元 素定义为标准基 如上面两个例子那样， 就可以得到各个群元的表示矩阵。 上一章中的左诱导表示、右诱导表示和共轭表示，都可以直接写成线性表示，矩阵都是由 0 和 1 组成的幺正表示。 这里定义的左正则表示，就是是左诱导表示中取子群为 e 本身，然后写成线性表示的形式。 正则表示一般都是可约的 ， 如果 要得到不可约表示，就 需要 将所有的表示矩阵同时准对角化。 这两个例子中都是 Abel 群，正则表示矩阵是实数矩阵，并且互相对易， 能够 比较容易的通过求本征值、本征矢 ，将所有的矩阵同时 对角化，得到不 可约表示。 非 Abel
18、 群需要另外的手段，才有可能将所有的表示矩阵同时准对角化。 为了证明正则表示已经含有所有的不等价不可约表示，下面 还 需要引进群函数的概念，并证明不等价不可约表示的正交性、完备性定理。 四、 不可约表示 的正交完备性 1 群函数 群函数 是 群 CG 的映射。 （对有限群函数图像是一些散点） 例 1 群 空间 中的任意向量可以看成是群函数。 na aana aa ggxgxx 11 )(例 2 群 的 表示矩阵的矩阵元 )(gTij 是群函数。 在群函数 上定义加法和数乘，张成一个线性空间，即为 群函数空间 )(GF 。（对有限群为有限维） 群函数空间的 自然基 10 .,0 ;,1)( hg
19、 hggh自然基 独立无关，且完备。 群函数的内积 ,， 定义为相应的群空间矢量的内积， )()(),( Ggg F ， GgGhghgGhGggghghhgg),()()()()(,)(),(*,* Gg ggG )()(| 1)( * . 这使得群函数空间成为酉空间。 可验证满足内积定义： （ 1） *, ， （ 2） ),(, ， （ 3） ),(),(),( 2121 ， （ 4） 时成立。等号仅在 0)(,0, g 在这个内积定义下， 自然基正交 完备 ，但 是 未归一 化 。 利用群函数空间，可以证明不可约表示的正交性、完备性，在此之前需要 证明 舒尔引理（重要） 。 2 Schu
20、r 引理 引理 1 设 ()是群 G 的一个不可约表示， 如果矩阵 P M(,)满足 ,() = () 那么 P必然 正比于单位矩阵 = , . 证明 设 是 P的一个本征值，令 Q P 于是 det = 0 并且 , () = () 现在 把 Q 看成列矢量， = (1,2,)， () = (), () = () () = ()1,2,张成一个 矩阵 ()| 的不变子空间 。 det = 0等价于 1,2,线性 相关，不变子空间 span1,2,的维数 2的 情形。 把矩阵 P看成 2个 列矢量 ， = (1,2,2)，等式 (1)() = (2)() 相当于 说这些矢量 生成 的线性空间
21、span 1,2,2（线性 包络） ， 是 T(1)()的 不变子空间。 此 空间的 维数 2 1时 ，取转置得 , (2)() = (1)() 即 , (2)(1) = (1)(1) (2)() = (1)() 由于对偶 表示 也是 不可约表示，同上，可证 P = ,P = . 最后 若 1 = 2，由于 (1),(2)不等价， 只能有 det = 0。 同 上 ，把 看成 列矢量组成，这些矢量 的 线性包络为 T(1)的 不变子空间。 而 det = 0即 空间维数小于 1， 所以只能是零空间 ， P = . 3 正交定理 群 G的不等价不可约 酉 表示 ()(),()()的维数分别为 ,
22、， | = ，则 ()|() ) = 1 证明：（ 1）先看 = 的情形，令 () = 1()()()(1)其中 为 维方阵。 计算 ()() = 1()()()()()(1)= 1()()()(1)= 1 ()()()(1)= 1 ()()()(1)()() = ()() 由 Schur 引理 1， 知 () = (). 现在 令 矩阵 D 为除了 一个 元素 = 1之外，其余的元素 都 为 0， 则 = 1()()() (1) 取迹得 1()()()(1) , 1()(1)()() , 1()(1) , 1()(1) , 12 = , = 1 所以 ()|() ) = 1 （ 2） 再看
23、。 定义 () 1()()()(1)其中 D是 矩阵。有 ()() = = ()() , 由 Schur 引理 2， C = 。 现在令矩阵 D 为除了一个 元素 = 1之外，其余的元素都为 0，则 = 1()()() (1)= 0 1() (1)()()= 0 1()()()()= 0 () |() = 0 4 完备定理 ()()| = 1,2,是群 G 的所有不等价不可约 酉 表示， 记第 个不可约表示的维数为 ， 则 ()()| = 1,2,; , = 1,2,在群函数 空间完备。 证明 由于群函数和群空间矢量的一一对应关系，群函数空间 )(GF 的维数，就是群代数空间 GV 的维数。下
24、面在群空间考虑问题。 作群空间 GV 中 的矢量 Gh rr hhT )(v )()( 。 群空间的线性变换构成群的表示，我们来看正则表示的作用。 在 正则表示的作用下， ,v)()()()()()()()(v)()(1)()(1)(,)(1)(1)()()()(rrGhrrGhrrGhrGhrGhrrgThhTgThhTgThhgTghhThhTggL即 线性空间 rrr s,2,1|vs p a nV )()( 是正则表示的不 变子空间， )(GL 可约；又由于 )(GL 幺正，得 )(GL 完全可约。 系数 )( 1)( gT r 不可约，不变子空间 )(Vr 在左正则表示下是不可约子空
25、间。于是对每13 个不等价不可约酉表示表示 )()( GTr ，按上式，可以得到 rs 个 rs 维不变子空间， 都 按照)()( GTr 变换。从而在正则表示中，不可约表示 )()( GTr 的重复度（至少）为 rs 。 前面 的 正交定理 ， 等价于 说 矢量 )(vr 相互正交， rrrrr sn)()( v,v ， 因此可以 令 (r), VrV ， 于是 V 是 )(GL 的不变子空间， )(GL 完全可约， VVVG ；只要证明 V 是零空间 即可。 反设 V ，那么 V 是 )(GL 的不变子空间， VVGTGTVGL G )()()( 21 0 0， )(2GT 是群 G 的幺
26、正表示，作 用空间是 V 。 )(2GT 一定可以约化为若干不可约酉表示的直和，设其中一个不可约表示为 )()( GTp ，其作用空间 W 是 V 的不变子空间， W 的基为 seee , 21 ， Gg ggxe )( 。 那么 s p egTegL 1 1)( )()( ， ,)()()()()()(11)(11)(1 sGhps pGhGhhhxgTegThhgxghhxgeegL也就是 Ghg , ， s p hxgThgx11)(1 )()()( 。 现在取 Gh 1 ， 1 gg ，得 s Gp xgTgx 1 )( )1()()( 。 所以 W 的基矢 ,v)1()()1()(1
27、)(1)(VxggTxggxespGsGgpGGgaa VW ， 与 VW 矛盾，除非 W 。 至此，我们证明了 GV 中的任意矢量都可以表示为 )(vr 的线性组合，也就是不等价不可约酉表示的群函数完备。 14 推论 正则表示 )()( )(1 gTgL psqp p5 Burnside 定理 nsss q 22221 其中 q 是不等价不可约表示的个数， n 是群的阶， js 是各不可约表示的维数。 证明 上面的完备性定理证明过程中已经知道，群空间 GV 可以按不等价不可约酉表示分解为不变子空间 )(rV ，各不变子空间的维数为 rr sV )(dim ，重复度为 rs ，而 nVG di
28、m ，公式成立。 在 下面 还可以 利用特征标理论证明 ， js 是 n 的因子，而 q 刚好等于群的共轭类数目。 例 6 元群的不可约表示维数 6 的因子 1， 2， 3， 6； 6=12+12+12+12+12+12（ C6、 Z2 Z3 群） 6=12+12+22（ D3 群） 五、 特征标 (Characteristics) 要判断我们找到的群表示是否不可约表示，两个表示是否等价，是很困难的问题。 群表示的可约性、等价性在作用空间的坐标变换下是不变的。能不能找到某些不依赖坐标变换的量， 用以 判断可约性、等价性等性质？ 表示矩阵在不同的基的选取 下（相似变换），其矩阵元不同， 但 矩阵
29、的特征值 ， det， trace不变。 特征值不方便使用； det 无法帮助我们判断群的性质（如 SO(3)群，所有行列式恒为 1），所以选用 )(GTtr 作为群表示的特征标。 1 特征标 T 是群 G 的表示，其特征标为 )(g ， )()(tr)( gTgTg 不可约表示的特征标又称为单纯特征标（不可约特征标）。 共轭元素的特征 标相同，即特征标是类函数。 不可约表示的正交完备定理可以搬过来： 15 2 正交定理 prg rprp ggn )()(1| )(*)()()( 3 完备定理 有限群的所有不等价不可约表示的特征标在（共轭）类函数空间完备。 推论 不等价不可约表示 的数目等于群
30、的共轭类的数目。 4 第二正交关系 ijiqr jrir nnKK 1)(*)( )()( ， 其中 ji KK, 是共轭类； in 是第 i 个共轭类的元素数目 。 证明：令 )()(iriri KnnF ，第一正交关系即 1FF ， 1 FF 。 5 一些 推论 （ 1） se )( （ s 是群表示的维数） （ 2） 共轭元素的特征标相同。 （ 3） 不可约表示 1| （ 4） 任何一个表示的特征标的内积 1| ，并且为整数。 （ 5） 不可约表示在某个线性表示中的重复度 )(| ppm 任何一个表示都有 )()( )( gTgT pmp p ， 因而特征标为 p pp gmg )()(
31、 )( ， 其中的重复度 pm 可以由特征标求出为 )(| ppm 。 （ 6） 等价的表示 特征标相同。 （ 7） 有限群的不等价不可约表示的个数，等于群的共轭类的个数。（由完备性 可 得） （ 8） 一维非恒等 幺正 表示与高维不可约表示相乘，仍是群的不可约表示。 （ 9） 类的乘法 恒等式 ： 16 l lpljk lkpkjpjp KnfKnKns )()()(1 )()()( *， 其中 ps 是第 p 个不可约表示的维数， lkj nnn , 是共轭类 lkj KKK , 包含的元素数目，jklf 是非负整数，来自类的乘法 l ljklkj KfKK ， jKgj gK . 这个恒
32、等式可以用来求解群表示的特征标表 （见后面的例子） 。 （ 10） 有限群表示的特 征标皆为代数整数。 考虑正则表示的的本征方程 0)(det 1gL 。 因为 )(gL 的矩阵元都是 0 或 1，左边是关于 的首 1 整系数多项式，方程的根 )(1g ，)(gn 是代数整数。 将正则表示准对角化，可知群元 g 在任何一个不可约表示的特征标，是若干个本征值之和，因而也是代数整数。 如何一个表示都相似 于一些不可约表示的直和， )()( )( gTgT pmp p ， p pp gmg )()( )( ， 特征标 )(g 是代数整数。 （ 11） 不可约表示的维数必然是群阶因子。 （参见 M.
33、赫尔，群论 ， P.328） 记矩阵 jklklj fF ，特征标的恒等式成为 )()()(1 )()()( lplkljkpkjpjpKnFKnKns ， 即 整数 矩阵 jF 的本征矢量为 )()( lpl Kn ，本征值 )()(jppj Ksn 是代数整数。 现在已知 )(*)( ip K 和 )()(ippi Ksn 都是代数整数， 由 pi ipippi snKKsn )()( *)()( ， 从而psn 是代数整数；psn 又是有理数 psn 是整数。 （ 12） 右完备表示 )()( )(1 gTgR psqp p证明：按定义 1)( hghgR ， * )()()()( 1j
34、j KTgTKTgT ，由 Schur 引理， 1jjKT )( 。 用 1gg 乘即可证得。 17 所以右完备表示的矩阵元为 1, )( hgfhf gR ， 特征标为 egGf fgfGhf hgfR ng ,)( 11)( 。 于是 重复度为 ppGgpegGgpRpRpsegggnm)()()()(1|)()(,)(*)()()(6 特征标表 把群 G 所有的不等价不可约表示的特征标按等价类列成表，列为不同的等价类，行是不同的不可约表示： n1, K1 n2, K2 nq, Kq T(1) (1)( K1) (1)( K2) (1)( Kq) T(2) (2)( K1) (2)( K2
35、) (2)( Kq) T(q) (q) ( K1) (q) ( K2) (q) ( Kq) 特征标表满足 ,)()(,)()(1)(*)(1)(*)(ijqpjpipiprqiiripinKKnnKKn 即行与行正交，列与列正交。 例 循环群 C4 的特征标表 略 例 正三角形对称群 D3 的特征标表 ：先给出共轭等价类 cbafde , 。 6 12 12 22。其中一个一维表示是单位表示， 另外一个一维表示可以由 D3 到 Z2 上的同态 1, fde ， 1, cba 推出。 2 维表示 则 可由特征标表的正交性求出。 1e 2d 3a T(1) 1 1 1 T(2) 1 1 -1 T(
36、3) 2 -1 0 18 7 利用类的乘积求特征标表 以 S3 群 为例。 （ 1） 将群拆分为 共轭类 )1(1K ， )23(),13(),12(2 K ， )132(),123(3 K 。 （ 2） 推出类 算符 的乘法公式 jj KKK 1 ， jj KKK 1 ， 3122 33 KKKK ， 232 2KKK ， 223 2KKK ， 3133 2 KKKK 。 （ 3） 确定不可约表示的维数 由 Burnside 定理， 6211 222 ，有两个不等价的 1 维不可约表示和一个 2 维表示。 （ 4） 写出 方程 l plplj k lpkpkpjpj sKnfsKnsKn /
37、)(/)(/)( )()()( ， 即在类算符的乘法公式中，把 pjjj sKnK /)( 。 （ 5） 具体的求解过程 对 1 维表示，单位元的特征标为 1)()( 1 Ke ， 3133 2 KKKK )(22)(22 323 KK 2/1,1)( 3 K ，而有限群的特征标为代数整数，代数整数与有理数的交集为整数， 1)( 3 K ； 3122 33 KKKK 12313)(3 22 K 1,1)( 2 K 。 2 维表示 2)()( 1 Ke , 3133 2 KKKK )(222)(22 323 KK 1,2)( 3 K ； 3122 33 KKKK )(23232)(3 322 KK 2,2)( 2 K 2)( 3 K 这两个表示可约（ 1, ）； 或 0)( 2 K ， 1)( 3 K 。 六、 有限
