第二章_群表示理论.doc

1、28 第二章 群表示理论基础2.1 群表示【定义 2.1】 （线性空间）数域 K（实数域 R 或复数域 C）上的线性空间 V 是一个向量集合， ；xV该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合 V 在加法运算下构成交换群，满足： ， 唯 一 逆 元）（）（ 唯 一 单 位 元， 有 oxxozyzyV,)()(,数乘运算 KV V 满足： xxbaybKa1)(,【定义 2.2】 （线性无关和维数）线性空间 V 中，任意 n 个向量 ，其线性组合nx ,21当且仅当 时成立，则称此021xaxa 021naan 个向量线性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数 m，称为空间

2、V 的维数，记为 dimV = m。【定义 2.3】 （基矢）设 V 是 n 维线性空间，则 V 中任意一组 n 个线性无关的向量，称为空间 V 的基矢，记为 。空间中任意矢量均可表示为 n 个基矢的线性组合，),(21ne。矩阵形式：niix29 niii eee 001210,0),(21ini eee nnini xxeex 212121,),(【定义 2.4】 （线性变换）线性变换 A 是将 V 映入 V 的线性映射，满足： )()(,(,:, yAxayxK线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法 n nnijijiijjjj njjiijjj jjjjye xAexaaeAxeae yA

3、 121 1122121),( ),()() ),(,故有矩阵形式： nnnyxAyxA 11,30 若 ，则称线性变换 A 非奇异，A 有逆变换 A-1，A -1=A-1。0detA【定义 2.5】 （线性变换群）定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则 n 维复线性空间 V 上的全部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为 n 维复一般线性群，记为 GL(V , C)，其子群 L(V, C)称为 V 上的线性变换群。【定义 2.6】 （群表示）设有群 G，如果存在一个从 G 到 n 维线性空间 V 上的线性变换群 L 的同态映射A，则同态映射 A 称群 G 的一个线性表示，

4、 V 为表示空间， n 称为表示的维数。EggAgLo)( )()( ,: 其中 g0 为 G 的单位元，E 为 L 中的恒等变换。系 1 在表示空间 V 选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间 V上的线性表示，亦可定义为 G 到矩阵群的同态映射 A。系 2 若群 G G，则 G 的表示也是 G的表示。系 3 一个群 G 原则上可有无限多的表示。【定义 2.7】 （忠实表示）如果群 G 到线性变换群 L 的映射 A 为同构映射，则该表示称为忠实表示。群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。例 2.1 任何群 G 恒与1同态，1是任何群 G 的表示，称为一维恒等表示。例 2

5、.2 三个简单的二阶变换群的表示。其矩阵形式即为它们的表示。取表示空间为 R3，基矢： 。kji, 为对 xy 平面的反演。,ke31 群 本身是定义在 R3 空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表示，,ke选择一个具体基矢 可以将其矩阵化：ji, kjikjikejj )1(0)(,10)( 故表示矩阵为： 0,)(AeA ，表示矩阵为：),(),(:) ),(, zyxzyxCekk 10)(,10)( kAA ，其表示为：),(, , zyxzyxIe ）为 空 间 反 演 ： （ 10),10)(IAA以上三个群均是 R3 上的变换群，故其本身就是他们的表示（忠实表示） 。他们还可以

6、有其他的表示。如空间反演群有表示，如：10)(,10)(IAeA它实际上是三个一维表示的合成： 个 非 恒 等 表 示个 恒 等 表 示,)(,)2Ie或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。，均是互相同构的二阶循环群 ，具有相同的群表 ,)( , ,IeCkk 2Z示。他们两个最基本的表示为：, a 分别为 。1)(,)( ;1)(AaAe ICk),(,32 例 2.3 D3= 群的表示。,cbafde D 3 有一维恒等表示， ；1)()()( cAbafAde D 3 与 Z2 同态： 1,23Z,1,fdecba故 D3 有非恒等一维表示：1)()(cAbaf D 3 为

7、R3 的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。表示空间 V 为 R3，取基 ：kji, )2( ,10)( zCdeA,10)()2(3)(kjikdjjii102/31)(dA同理，可得表示矩阵 )(, )(,cbaf D 3 在 x , y, z 的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为： . , , , , 6542321 xzyxz任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换g 对向量 r 的改变 ，同时将对定义在该空间中的标量函数 作变换，即 grg )(r对应一个标量函数变换算符 ，即 。由 容易发现，P)()(rg33 。可以验证变换群 与算符做成的函数

8、变换群 同构。)()( 1rgPrg ggP对于 ，有：G21, )()()()( 21121212 rrrrr ggg 故 , 故 在函数线性空间上的矩阵形式即为群 的一个表12 Pg 示。上 的 表 示 ：，在 6543213D 102/31 , ),(1fdCdk654321213 6543 22212 6543 2221 00)(4313)1()( 0043)()( zrdP xyxyxr xyxyxrPydxd34 654321116 65432115 65432 22114 )21()(00 )213)()( )2()(00 231)()( 003 )413(43)123)()()

9、( xzyzxrdP xzyzxrd xyyxyxyxrdPzxd zyd yxd故可得 Pd 的表示矩阵： 2/1300/02/1/3244/d其他群元的表示矩阵可以同样得到。例 2.4 设粒子的哈密顿量 H 的对称群为 ，以粒子某一能级的简并波函数为gG表示空间，求 G 的群表示。解：所有使哈密顿算符 H(r)不变的变换 形成哈密顿算符群 G：，,g与变换 对应有标量函数变换算符 。设 H 的本征值为 En 的，对应本征数gP为 u 为简并度指标，简并度为 fn ，有：),(rn35 。nnunufrErH,1 ),()(这些简并波函数的任意组合均是相同本征值下的本征函数。可以检验，也是

10、H 的本征函数：)(Pnug )()()() 11rPEHrgrrPrnugnugnunug 故 En 能级的所有简并波函数构成哈密顿算符群 不变的线性空间。在简并g本征函数空间中变换算符的矩阵形式即为哈密顿算符对称群的表示。记 的表示矩阵为 ，具体形式由下式确定： gP)(gA)()(1rgrrnvfvuanunug n2.2 等价表示、不可约表示和酉表示一个群的表示原则上可以有无穷多个，它们可以分解或约化为有代表性的最基本表示的组合。【定义 2.7】 （等价表示）设群 G 在表示空间 V 取基 下的表示为 ，在另一组基),(21ne )(gA下的表示为 ，若 ，X 为两组基之间的变换，有：

11、),(21ne gA，det X0XgA)()(136 则称表示 等价，或 为 A 的等价表示。A,系 1 两个用相似变换相联系的表示互相等价： 或 ，1PBABP1(detP0), A 和 B 等价。等价表示只是不同基的选择而已，故重要的是寻找不等价的表示，这样就产生了寻找不等价表示的问题。【定义 2.8】 （可约表示）设 A 是群 G 在表示空间 V 上的一个表示，V 如果存在 G 不变的非平庸子空间， 是子空间 W 上的变VW)( ,)(, , ),( AxgWxGg换群。此时称 A 是 G 的一个可约表示。系 1 设 是子空间 W 的基，则取空间 V 的一组基：),(2me，使得 。在

12、此基下表示),1nee mjj,.21,矩阵 具有如下形式：)(gAm 列 n-m 列 行行 -n)()()(gDOCBgA为 mm 矩阵， 为 m (n-m) 矩阵， 为)(B )(gD矩阵。子空间 W 中矢量的形式： （t 表(n mxX0,.,.(21示转置，成列矩阵） ，X 经过 变换仍然在子空间 中： )(gA。tmxAX0,.,.( 21系 2 可以验证 在 变换下不具有封闭性：tnmx),.(21)(gA。tnmx,.,.0( 21系 3 另外，37 )()( )()( )()(gDOCgBgDCOBgBAg仍然具有相同的结构，故 、 均构成新的群表示。)系 4 对于有限群，上述

13、阶梯矩阵都可以通过相似变换化为对角分块形式。【定义 2.9】 (线性空间的直和 )设线性空间 V 有子空间 W1 和 W2， W1W 2 =0。对任意 ，可找到Vx，并唯一的将 表示为： ，则称线性空间 V 是子空21 ,xxx间 W1 和 W2 的直和，记为 。21【定义 2.10】 (完全可约表示 )设群 G 的表示空间 V 可以分解为子空间 W1 和 W2 的直和，且 W1 和 W2 都是A(G)不变的( 即 A(G)是 W1 和 W2 上的变换群)，则称 G 在 V 上的表示为完全可约表示。系 1 2121 x),A(gx,(gx, 系 2 总可以选一组基 ，使 和 分别, ,1nme

14、e ),(1me ),(1ne为子空间 W1 和 W2 的基，在此基下表示矩阵 具有如下形式：gm 列 (n-m)列 )()()()0)()( DBngDBgA行行系 3 若表示 A 有一个等价表示具有对角形式，则 A 为完全可约表示。系 4 对于有限群，可约表示的矩阵总可以化为分块对角形式，因而一定是完全可约的。对于无限群，存在可约而不完全可约表示。这样的表示虽然存在群不变非平庸 子空间，但无论如何选择，其补空间都不是群不变的，这样的表示38 仍然称为可约表示，是不能完全约化的可约表示。如，一维平移群 T：，)()( ,)( baTaxT它是无限阿贝尔群，存在不能完全约化的可约表示： 。10

15、(aA【定义 2.11】 (不可约表示)设 A 为 G 群在表示空间 V 中的表示，若 V 不存在 A(G)不变的真子空间，则称A 是 G 的不可约表示。系 1 G 的不可约表示矩阵不具有对角或三角形式。系 2 一般地，G 的表示空间 V 总可以表示为不可进一步分解的 G 不变子空间的直和，而 G 在 V 上的表示可以写为 G 在这些不可分解的子空间上的不可约表示的直和： ppgAmgA)()(其中整数 mp 为不可约表示 Ap 在表示 Ap 中出现的次数，称为重)(g复度。系 3 群的任何表示都可以写成其不等价不可约表示的直和，故寻找一个群的所有不等价不可约表示有重要意义。【定义 2.12】

16、 （内积和内积空间）设 V 是数域 C 上的线性空间，将 V 中两个有序向量 x， y 映为复数域 C 上的一个数 ，满足： ，有yx)( Cazyx, ；)(z ；)(yxa （共轭）*39 ，时 等 号 成 立0,)(x则称 为 的内积，而定义了内积的线性空间称为内积空间。y和内积空间中向量的长度或模： ；)(x向量 垂直若 ；yx,0)(x系 1 U,)0(证： 0)(1)()(xyxyx系 2 任何内积空间总存在正交归一基， 。ijjinee)|( ,2证：设 是 V 的一个基，用施米特正交化方法可以构造正交归一基。ne ,1作 有|/11)|(e又作 有：,22e，0)|()|()|

17、(|)|()( 2121111 eee;| ,|,/ 222 e有作一般地，可令 ，可得正交归一基：|/ ,)(1 iiijiijji ee（ ） 。,321nee【定义 2.13】 （幺正变换）设 U 是内积空间 V 上的线性变换，若对任意 U 保持 x 和 y 的内积不,Vyx变，即： ，则称 U 为 V 上的幺正变换。)|(|(yx40 系 1 幺正变换将正交归一基 变为另一组正交归一基：),(21ne。ijjijinUeUe |(| ),(2系 2 记 U+为幺正变换 U 的共轭变换，则其逆变换 U-1=U+，U +U=E 为恒等变换。证：内积空间上的线性变换 A 的共轭变换为 A+，

18、 ，有： ),|()|(yAxy故有 ，由于 x，y 任意，故有 U+U=E，U -)|(|()|(xyxy1=U+。系 3 在正交归一基下，线性变换 U 的共轭变换 U+的矩阵即酉矩阵有：U +=为U 的转置共轭 U*t (即 )。 （对于幺正变换有：* *jiij）ijjiij*1【定义 2.14】 （群的酉表示）群 G 到内积空间 V 中的幺正变换群 A 上的同态映射，称为群 G 的酉表示。系 1 群 G 到幺正矩阵群的同态，也是群 G 的酉表示。 定理 2.1 设 V 是内积空间，W 是 V 的子空间，定义 ，WxVxW11,0)(为 V 中所有与 W 中矢量垂直的向量的集合，则有 称

19、为 ,W 的正交补空间。证明：设 W 的一个正交归一基为 ,21me ,Vxmiiex1,)|(作，可证 与 W 中的任意矢量垂直：12x令因 miillllll exexee 11)()()()( 41 ，对 成立，0)()()(1xexelllimil ml,21，)()()( 212121 ximiiii故 有故 ，从而 ；W Wxx,又若 即 则有：,0,0yy ,)(y ,即 .所 以.V故 有 定理 2.2 若群 G 的酉表示 A 是可约的，则 A 是完全可约的。证明：设表示空间为 V，G 的表示 A 可约，则 V 有 G 不变的子空间 W。由定理 2.1 有： 为 W 的正交补空

20、间；,对 ；0)(,yzWzy有而 W 是 G 不变的，故 故：,)(,1ygA有)(|)(1yzygA0)()(| 1ygA记即 或,)(WzgA故 也是 G 不变的子空间。因此 A 是完全可约的。适当选择正交归一基 A 具有如下形式：42 。)()(0)( gBCBggA系 1. 若 W， 中仍然有 G 不变的子空间，则上述分解可以继续进行下去， A 最终可表示为：。pgAmgA)()(其中整数 为不可约酉表示 表示中的重复度。)(,gp在定理 2.3 有限群的每一个表示都有等价的酉表示。证明： 设 ，为群 G 的表示),(gA若能找到相似变换 X，对 有A)(，使 为酉矩阵)(1g即 E

21、gA)(则定理得证。 （ + 表示矩阵的转置共轭）构造如下矩阵 :W)(为显然为厄密矩阵：W + = W， 并且有如下性质： )()()( gAgAgA= )(= = W可以检验如上的厄密矩阵 可以表示为 ，X 为非奇异矩阵：首先厄密矩阵 总可以找到酉矩阵 U 使之完全对角化为 ，其对角元为实数，即：W43 ，UW并且可以发现 为正定矩阵：W g kaagak gAAU)()()( g aaka UBB)()( ,)(令 gjakjgj akjakgj akjak B2* |)(|)()(故正定对角矩阵 可以表示为 形式，其中 D 也是正定对角矩阵。W由 可得： ， 。DU )(UX可以验证

22、， X 即为所寻找的使表示 A 化为酉表示的相似变换：令 1)()( XgA则 )()()( 11Xgg A 11)()(WX 1 1)( X= )(1 E44 故 为酉表示。 得证。1)()( XgA2.3 群代数和群代数正则表示【定义 2.15】 （代数或线性代数）在数域 K 上的线性空间 D 中，若定义了乘法，满足： （封闭性）;,yx （加法分配律）)(zz乘法和数乘满足： );()(yaxyxa则称 D 为代数或线性代数。若还满足结合率： 则 D 称为结合代数。),()z例 2.5 全都 复矩阵集合，在矩阵乘法下构成结合代数。n【定义 2.16】 （群空间）设群 ，以 G 的群元为基

23、作复数域 C 上的线性空间 VG，即：ngG,21，满足：,|CxxVii ，其中 ，Gini xgx212121,)( iigx1，iigx2 ，Cagxaini,)(1称 VG 为群空间。45 【定义 2.17】 （群代数）按照群 G 中群元的乘法，可以定义群空间 VG 中矢量的乘法：，定义niiniigyx11,Gkki kijjkiiiijk kijkjiijjiVgyx ygyy )( )(,)(1 111为） 上 的 分 量（ 在 基记 有令 (上述过程应用了矢量 在 上的分量 等于 在 上的分量 ，jjyki1kiy1,1kijy)1kijg因故 VG 构成代数，可以验证 VG

24、满足结合律 ，故 VG 构成结合代数，)()(zyx记为 DG，代数的维数等于群 G 的阶。【定义 2.18】 （群代数空间中的正则表示）取群 G 的群代数空间 DG 为群 G 的表示空间，定义 G 到 DG 上的线性变换的映射为 线性变换 定义为：),(:L)(Lgi，令xgii)( xjijiji )(故映射 L 保持了群的乘法结构不变,为同构映射, L(G )称为群 G 的左正则表示。系 1. 若定义 G 到 DG 上的线性变换的映射为：，线性变换 定义为：)(:R)(Rgi1)(iigx46 , 同态映射 R 称为群 G 的右正则表示。)()(jiji gRg同 样 可 证系 2. L

25、(G)和 R(G)为群的忠实表示。例 2.6 二价循环群的正则表示。, 群代数 Dz2 的基底为 e,a, 则:eaZ2,， ， 有 a.L()01.L()1001e， ，有 aea.L()1 aea.L()0101正则表示 L(Z2)可约：取相似变换矩阵： 有 ：,1XX, 具对角化形式。 10)(,10)( aLeLX例 2.7 正三角形对称群 D3 的正则表示： ,3cbafde群代数 的基：e, d, f, a, b, c,线性变换 L（d）,对基底的作用：347 cbafdebdcL() ;aff() c;bafdedLe 010100L(d)的表示矩阵： 010)(dL同理可求出其

26、他群元的左正则表示矩阵。群的代数空间正则表示相当于对代数空间的基进行变换 621621621654132 )().() )(,:3 xbacefdxcbafdexLxf cxbafdexDxi 如2.4 群函数和群函数空间正则表示【定义 2.19】 （群函数）G 为一个群，以 G 为定义域、以复数域 C 为值域的函数称为群函数：如： 。Cxgf)(群函数的例子如群表示矩阵的矩阵元。【定义 2.20】 （群函数空间）48 对 ，定义群函数 ，GgiijjggfCGfii )(,: n,21以此 n 个函数为基，可以构造复数域 C 上的群函数空间 V(G)：，并且满足：,|)(1affVinigi

27、 ,21f ；igii ff)(2121 。Cbfafbigni,)(称 V(G)为群函数线性空间，简称群函数空间。系 1 群函数空间的基函数 fg1, fg2, ，f gn 线性无关。则 ， ，,0nigif证 ： 若 0,)(1ijijir由 j有，故基函数 fg1, fg2, ，f gn 线性,2, 2,1 nijj（有取无关。系 2 ,jniijnigjnig afafafGVf ii 111 )()( ,),( 有。nigiffi1)（故系 3 定义基函数乘法 ， 有则 有 )(, ,GVhfffjijig V(G)fghf gffhghfkikii kijkji jijigjiji

28、jijijiji )()( ) ,)()(1 1, 令可以验证如此定义的群函数矢量乘法满足代数条件：49 );(),(,GVyxx zz 数乘： 故 V(G)构成结合代数，),();()( zyxyaxyxa ）且 （记为 D(G)系 4 群代数 DG 与群函数代数 D(G)代数同构（不同于群的同构） 。同构影射 ： 满足：),( :,)( fgii，故 ，有()(yxyx GniiDgx ， （nigininigni ii ffg1111 )()()() )f(gxii有）因此，两个代数结构相同，如有关于代数 DG 上的定理，则群函数代数 D(G)中必有相同的定理成立。【定义 2.21】 (

29、群的群函数代数空间正则表示 )取群 G 的群函数代数 D(G)为表示空间，定义 G 到 D(G)上的线性变换的映射， 为： ，)(:LLginjgiiffff1)( ,定义线性变换 ：i njgjik kikjiki njgjnjgjii j jijff ffgf)( ) ,( )()()(1 1j11令50 又 有：)(,GDfgjifgLffgLgLjinkgkinkjiji kjikjk)()()(11故映射 为同构映射， 为群 G 的表示，称为群 G 的群函数空间左正则表示。系 1 若定义 G 到 D(G)上线性变换的映射 为： Rnjgij ikkijkingjnjgjii j ij

30、jff ffgRf)( ) ,( )()j11k 1令且 ， 称为群 G 的群函数空间右正则表示。fRfgRjiji )()(系 2. 由于 DG 与 D(G)代数同构，G 在 DG 和 D(G)上的正则表示的矩阵形式相同。例 2.8 D3 的群函数空间区别表示：D3 = e, d, f, a, b, c群函数空间的基：f e , fd , ff , fa , fb , fc cbafdebdcab cbafdecdaaff cbafdefde f + +f= f ()L f f () f L +01010051 表示矩阵： 010)(dL【定义 2.22】 (群函数空间的内积 )群 G 的群

31、函数空间 D(G)，定义其基底的内积： , n 为 G 的阶。jji igf1)|(空间中矢量的内积定义为： )(,hfiiiijijjiij gjinjjnigighfnnffhfhf jiji)(11)()( |)|(*1系 1 为该内积下的酉变换。)(igL)|()(11)( |)( )()(*1 1hfgnnhffgfgfhLfLhf jjj jkjkjnknjj gnkijjiii kiji kj故 (G)为酉表示。同理可证 (G)也是酉表示。LR52 2.5 有限群表示理论关于有限群的不可约表示，有如下舒尔引理。定理 2.4 (舒尔引理一)设群 G 在有限维向量空间 VA 和 VB

32、 上有不可约表示 A 和 B，M 为将 VA 映入 VB的线性变换，若对任意 g G, 满足：)()(gM则有：（1）当 M0 时，表示 A 和 B 必等价；（2）当表示 A 和 B 不等价时，必有 M0。证明：（1）假设 M0，证明 A 和 B 等价( 即证 M 为一一映射)：作 VA 的子空间：， 为 M 的 0 空间；,|VxNN 是 G 不变的： ，)()(xgB xgA)(即 N 构成 VA 中 G 不变的子空间。由于 A 是 G 在 VA 上的不可约表示，故 VA 无真不变子空间；又由于 M0，故必有 N0，为零空集。 由 N0 可证，M 是从 VA 到 VB 的单射：反证：若 x

33、1，x 2 VA，x 1x 2，且 M x1 = y, M x2 = y，则 M(x1 - x2)=0，则 x1 - x2 N即 N 不为零空间，这与 N0矛盾故 M 是 VA 到 VB 的单射； 还可以证明 M 也是 VA 到 VB 的满射：作 VA 在 M 作用下的象集合 R：,|AVxMy53 R 是 G 不变的： ， yxgMAxgBy)()()( AV ，RygB)(即 R 构成 VB 中 G 不变的子空间。而 B 是 G 的不可约表示，故 VB 无真不变子空间；又由于 M0，故必有 R = VB 故 M 是 VA 到 VB 的满映射。综上所述：M 为双射，故存在逆射射 M1，故表示

34、 A 和 B 等价)()(g（2）当表示 A 和 B 不等价时，M0反证： 若 M0，则由（1）知 A 和 B 等价与已知条件 A 和 B 不等价相矛盾 m故 M0。证毕 定理 2.5 (舒尔引理二 )设 是群 G 在有限维复表示空间 V 的表示，若有 V 上的非零线性变换或矩阵 M 满足：，g)()(gMA（1）若 A 为不可约表示，则仅当 （E 为恒等变换， ）时上式成立。C（2）反之，若有 的线性变换或非零矩阵与所有 对易，则 A 必为可E)(g约表示。(1 的逆否命题)证明：复线性变换 M 至少存在一个本征矢 y0，有54 yM则可用 M 的所有本征矢构造 V 的子集 ：,|V可证 是

35、 G 不变的子空间：, 有 yygAMgyA)()()(即 )(g故 为 V 中 G 的不变子空间而 A 为 V 上的不可约表示表明 V 无真不变子空间而 ，故： 0即： ， 故有 xxE证毕。舒尔引理的逆命题也成立：系 1. 除零矩阵外，若仅有单位矩阵的常数倍矩阵与群表示的所有矩阵对易，则该表示为不可约表示。系 2. 若群的表示为可约表示，则一定可以找到非零的、不是单位矩阵的常数倍的矩阵与所有群元的矩阵对易。 （系 1 的逆否命题）只需证明系 2 即可：假设群 G 的表示 为可约表示，则一定存在一个幺正矩阵 S，使 全)(gA )(gA部变成具有相同块对角结构的矩阵 ：)(g,)(1SG为分

36、块对角矩阵，例如： ，则可做一矩阵 ,)(gA )()()( 21gAAM,其中 、 为与 、 维数分别相同的单位矩阵，有：21bEaM122，)()( Mg55 即， ，)()( 11SMgASgM上式左边乘上 S，右边乘上 S 的逆，有，11)()( Sg取 ，显然 不具有单位矩阵的常数倍形式。1系 2 得证。定理 2.6 群表示正交性定理 有限群 的所有不等价不可,.21,ngG约酉表示记为 ，其维数分别为 。则由表示矩阵 Ap 构成的)21(,.qpAqs,.群函数空间矢量或表示矢量 有如下正交关系：nigiuvpuvpifA1)(1* 1)()()|( vuprni ivuriuvp

37、vurp SA证明：（一） 的情形，即证由同一表示 构成的两矢量的内积：rppA1)|(vupvupS证： 用任意 Sp 维非零矩阵 D，构造矩阵如下 C：(1)ni ipipgAC11)()用表示矩阵 Ap(gj)从左边作用于 C： ni jpjpipipjj gADg1 11)()(ni jpijpijp gAg1 1)()()(56 nk jpkpkpgADgA11)()(2)jpC即 ，由于 AP 为不可约表示，由舒尔引理二知，必有：)()(jjpgA(3)EDE 为单位矩阵， 为与 D 有关的常数。)(取 D 的一种特殊形式：除 外，所有其他元素 ，1v 0kl则由（1）得 C 的矩

38、阵元 uni ilupkikupSlku gAD1 1, )()(ni ipvuipvug11 )()（利用了（3）式） （4）u即： （5）uni ipvuipvugA11 )()为了定出与上面所取的特殊形式的 D 相对应的 ，求矩阵 C 的迹： (5)式中令，并对 u 求和：ni ipuvipvuSiiigAp111 )()(左 边57 11)(vniiipgApS右 右故： (6)v/由（5）和（6）得：(7)vupni ipvuipvuSngA11 )()由于 Ap 是酉表示，故有：(8)()()( *iuvipvuivug由（7）并利用（8） ，最后得：vupni vupipvuipuv SAgA1 * 1)|()( （二） 的情形，即证由两不同表示 、 构成的两矢量的内积：rppr0)|(vuA证：用任意 非零矩阵 ，构造矩阵prSD:Cni ipirg11)()(用表示矩阵 右乘 ，得：)(jpgAC